lista 1- II unidade

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido Disciplina: Pesquisa Operacional Professora: Adricia Fonseca Mendes Monitor: João Víctor Lista 1 – I unidade

1) Um agricultor está interessado na produção do milho e algodão. Ele deseja saber qual a combinação dessas 2 (duas) linhas de produção que lhe pode proporcionar a maior renda possível. Ele possui área disponível de 100 ha (hectares) e sabe que pode dispor, durante o período de produção de milho e algodão, de 3.600 homens/dia e 240 dias de trabalho de um trator médio. Com base em sua experiência, ele sabe que naquela terra e com sua técnica de produção, o milho produz 2.0 Kg/ha e o algodão 1.800 kg/ha. A cultura do milho exige 30 homens/dia por ha e 4 dias de serviço de trator por hectare, enquanto o algodão exige 60 homens/dia por ha e 2 dias de trator por ha. As perspectivas de preço são de R$ 1.70,0 por tonelada de milho e de R$ 2.040,0 por tonelada de algodão.

Dado: 1tonelada=1.000kg

Baseado nas informações acima, pede-se:

a. Formule um modelo de programação linear que maximize a receita do agricultor e ache a solução ótima pelo método gráfico b. Use o método simplex para o problema acima e mostre no gráfico o “caminho” percorrido pelo algoritmo até a solução ótima. c. Qual é a solução ótima (valor da função objetivo e variáveis)?

Comente o resultado. d. Quais dos recursos são escassos e quais são abundantes? Justifique sua resposta. 2) Uma empresa produz três produtos A B e C. o volume de vendas de A é no mínimo 50% do total das vendas dos três produtos. Contudo a empresa não pode vender mais do que 75 unidades de A por dia. Os três produtos usam uma única matéria-prima, cuja disponibilidade diária máxima é 240 lb. As

O método simplex taxas de utilização da matéria-prima são 2lb por unidade de A, 4 lb por unidade de B e 3 lb por unidade de Os preços unitários de A, B e C são R$ 20, R$ 50 e R$ 35, respectivamente. a. Utilizar o método simplex para encontrar a solução ótima. b. Resolva o problema também pelo método gráfico e indique o caminho percorrido pelo simplex no gráfico. c. Quais são as variáveis básicas, não básicas e o que significa o resultado encontrado na variável de folga?

3) Uma empresa que funciona dez horas por dia fabrica três produtos em três processos sequenciais. A Tabela abaixo resume os dados do problema.

a. Formule um modelo de programação linear que determine o mix ótimo de produtos. b. Use o método simplex para o problema acima e mostre no gráfico o “caminho” percorrido pelo algoritmo até a solução ótima. c. Qual é a solução ótima (valor da função objetivo e variáveis)?

Comente o resultado. d. Quais dos recursos são escassos e quais são abundantes? Justifique sua resposta, comente sobre os valores de cada uma das variáveis de folga. e. Algum processo está sendo subutilizado?! Se sim, qual(is)? Justifique sua resposta.

4) Minimizar z = 10 x1 + 4 x2 + 5 x3 Sujeito a:

a. Tornar na forma padrão (canônica). b. Utilizar o método simplex para encontrar a solução ótima (Dica:

Utilize o método das duas fases). c. Resolva o problema também pelo método gráfico e indique o caminho percorrido pelo simplex no gráfico. d. Quais são as variáveis básicas, não básicas e o que significa o resultado encontrado na variável de folga?

5) Maximizar z = Sujeito a:

a. Tornar na forma padrão (canônica). b. Utilizar o método simplex para encontrar a solução ótima. c. Resolva o problema também pelo método gráfico e indique o caminho percorrido pelo simplex no gráfico. d. Quais são as variáveis básicas, não básicas e o que significa os resultados encontrados nas variáveis de folga?

6) Considere o seguinte conjunto de restrições:

Resolva o problema para cada uma das seguintes funções objetivo (Sugestão: utilize o método das duas fases) a. Maximizar

b. Minimizar c. Maximizar d. Minimizar

7) A tabela abaixo representa uma iteração no método simplex. Todas as variáveis são negativas. A tabela não é ótima nem para um problema de maximização, nem para um problema de minimização. Por isso, quanto uma variável não básica entra na base solução, ela pode aumentar ou reduzir z, ou deixá-lo inalterado, dependendo dos parâmetros da variável não entrar.

a. Categorize as variáveis como básicas e não básicas, e dê os valores atuais de todas as variáveis. b. Considerando que o problema é de maximização, identifique as variáveis não básicas que têm o potencial de melhorar o valor z. Se tal variável entrar na solução básica, determine a variável associada que sai, se houver, e a alteração associada em z. Não use as operações de linha Gauss-Jordan. c. Repita a parte (b) considerando que o problema é de minimização. d. Qual (quais) variável(is) não básica(s) não causará(ão) uma alteração no valor de z quando selecionada(s) para entrar na solução?

8) Se utilizarmos o método simplex, como podemos identificar se o problema é (a) ilimitado; (b) com soluções múltiplas (c) inviável? Explique de forma detalhada.

9) Obtenha a solução ótima para os problemas abaixo. Em seguida responda: quanto sobrará de cada recurso se a solução ótima for implantada e qual a quantidade ideal de produtos x1 e x2 a serem utilizados na solução ótima (Compare o resultado com a solução gráfica). a. Minimizar x1 + 2x2 b. Maximizar x1 + 2x2 c. Minimizar 6x1 + 10x2

Sujeito a: x1 + x2 ≥ 1 -5x1 + 2x2 ≥ -10 3x1 + 5x2 ≥ 15 x1,x2 ≥ 0 10) Considere o seguinte PPL:

Maximizar 3x1 + 2x2

Sujeito a: 4x1 - x2 ≤ 8 4x1 + 3x2 ≤ 12 4x1 + x2 ≤ 8 x1,x2 ≥ 0 a. Obtenha a solução ótima. b. Explique porque as iterações do simplex são temporariamente degeneradas. c. Identifique no gráfico os pontos extremos que definem o caminho do método simplex até o ponto ótimo.

1) Na fase I, se o problema de PL for do tipo maximização, explique por que não maximizamos a soma das variáveis artificiais na fase I. 12) Explique como pode ocorrer os quatro casos especiais que podem surgir na utilização do método simplex, a saber: degeneração, múltiplas soluções ótimas, soluções ilimitadas e soluções inviáveis.

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