FENOMENOS DE TRANSPORTES Nogueira Dylton UFSC

FENOMENOS DE TRANSPORTES Nogueira Dylton UFSC

(Parte 1 de 4)

2 FENOMENOS DE TRANSPORTES

Antonio Carlos Ribeiro Nogueira Dylton do Vale Pereira Filho

Professores do Departamento de Engenharia Mecanica

Universidade Federal de Santa Catarina Florianopolis - SC - Brazil e − mail : nogueira@sinmec.ufsc.br dylton@emc.ufsc.br

0.1 Preface7

Conteudo

I MECANICA DOS FLUIDOS 1

1.1 Definicao de fluido5
1.2 Propriedades dos fluidos7
1.2.1 Massa especıfica7
1.2.2 Campos de velocidade e de temperatura8
1.2.3 Campo de tensoes8
1.2.4 Viscosidade10

1 Introducao 5

2.1 Equacao fundamental da estatica dos fluidos13
2.2 Forcas sobre superfıcies submersas18
2.2.1 Forca hidrostarica em superfıcies curvas24
2.3 Forcas de flutuacao27
2.4 Consideracoes sobre estabilidade de corpos flutuantes30

2 Estatica dos fluidos 13

3.1 Campos de velocidade37
3.2 Dois pontos de vista40
3.3 Aceleracao de uma partıcula de fluido41
3.4 Princıpios gerais de conservacao e equacoes constitutivas43
3.5 Sistemas e volumes de controle43
3.6 Aplicacao das leis basicas45
3.6.1 Equacao da conservacao da massa45

3 Fundamentos da analise de escoamentos 37 3

3.6.2 Equacao da conservacao da energia48

4 CONTEUDO 3.6.3 Equacao da conservacao da quantidade de movimento linear 72

4.1 Escoamentos internos e externos8
1.1 Esforco tangencial6
1.2 Taxa de deformacao7
1.3 Lei da viscosidade de Newton10
2.1 Distribuicao de pressao em um fluido estatico16
2.2 Barometro de Mercurio17
2.3 Forcas sobre superfıcies planas20
2.4 Ponto de aplicacao da forca resultante24
2.5 Corpo completamente submerso em um fluido27
2.6 Corpo na interface de dois fluidos imiscıveis29
2.7 Corpo flutuando em um unico fluido31
2.8 Corpos flutuando na interface de fluidos imiscıveis32
2.9 Secao do casco na linha d’agua3
2.10 Posicao inclinada do navio34
3.1 Mudanca de referencial38
3.2 Linhas de corrente39
3.3 Tubo de corrente40
3.4 Sistema4
3.5 Volume de controle4
3.6 Area e volume elementar46
3.7 Sistema termico49
3.8 Mudanca de estado termodinamico50
3.9 Clclo termico51
3.10 Trabalho termodinamico52
3.1 Funcao de linha53
3.12 Transformacao aberta54

Lista de Figuras 5

3.13 Trabalho de escoamento60
3.14 VC com uma unica entrada e uma unica saıda61
3.15 Aplicacao da Equacao de Bernoulli65
3.16 Tipos de pressao67
3.17 O tubo de Pitot-Prandtl69
3.18 O tubo venturi70
3.19 Curva de reducao7
3.20 Forca externa atuante sobre a curva redutora79
3.21 Jato sobre a pa curva81
3.2 Volume de controle englobando todas as forcas82
3.23 Pa movel com movimento retilıneo uniforme84
3.24 Comporta85
3.25 Volume de Controle Envolvendo a Comporta85
4.1 Escoamentos ideais: (a) interno, (b) externo87

Lista de Tabelas

0.1 Preface This is the preface.

8 LISTA DE TABELAS 8 LISTA DE TABELAS

Parte I

E a parte da disciplina, Fenomenos de Transportes, na qual estudamos os princıpios gerais de mecanica dos fluidos, de interesse mais restrito com vistas as aplicacoes nas engenharias civil, eletrica e sanitaria.

Capıtulo 1 Introducao

Neste capıtulo serao apresentados alguns conceitos fundamentais relativos a classificacao da materia, com enfoque na sub-divisao da materia, denominada fluidos . Nestes, os princıpios gerais da mecanica newtoniana serao aplicados, dando origem as equacoes governantes dos fenomenos pertinentes as engenharias citadas.

1.1 Definicao de fluido

De um modo geral, podemos dividir a materia em solidos e fluidos . Sendo os fluidos classificados em lıquidos , vapores e gases . Esta primeira divisao se baseia em caracterısticas moleculares, tais como, distancias e forcas de coesao intermoleculares e magnitude dos movimentos das moleculas. Os solidos se apresentam com pequenas distancias intermoleculares e grandes forcas de coesao, com baixa intensidade de movimento das moleculas. No outro extremo, os gases apresentase de modo oposto, com grandes distancias intermoleculares, forcas de coesao muito tenues e com intenso movimento das moleculas, situando-se numa posicao intermediaria, os lıquidos .

Esta abordagem e de utilidade para a teoria cinetica dos gases, para a termodinamica estatıstica e em determinados campos da fısica nao determinıstica.

Na maioria dos calculos de engenharia estamos interessados nas manifestacoes medias mensuraveis de varias moleculas, tais como a massa especıfica, ρ , a pressao, P , a temperatura, T , e outras. Podemos considerar estas manifestacoes medias como resultante de uma distribuicao conveniente da materia,

6 CAPITULO 1. INTRODUC AO denominada de contınuo [8]. Assim, uma substancia definida como um contınuo, e identificada por suas caracterısticas medias ao inves do aglomerado complexo de moleculas discretas da materia real. Neste texto as dimensoes caracterısticas utilizadas serao bem maiores do que o caminho livre medio das moleculas, a fim de que a hipotese do contınuo seja satisfeita.

Considerando-se o exposto acima e tendo-se em mente que desejamos estudar, tambem, o fluido em movimento, observamos que a definicao de fluido baseada na abordagem molecular ja nao satisfaz para os propositos da engenharia aplicada. Mais util seria uma definicao que contemplasse o comportamento dos materiais quando submetidos a esforcos cisalhantes ou tangenciais , como apresentado na Figura 1.1. Assim, um solido sujeito a um esforco deste tipo, apresenta uma deformacao finita ou se rompe, dependendo da magnitude do esforco aplicado.

Figura 1.1: Esforco tangencial

Por outro lado, um fluido quando submetido a um esforco tangencial , deforma-se continuamente, por menor que seja este esforco. Tal comportamento esta representado esquematicamente na Figura 1.2, podendo-se observar o aumento contınuo do angulo de deformacao δθ . Assim, diferentemente do que se observa na mecanica dos solidos, quando um fluido esta sujeito a um esforco cisalhante , ele sofrera uma taxa de deformacao, dθ/dt , e nao simplesmente uma deformacao finita δθ .

Esta diferenca de comportamento dos fluidos em relacao aos solidos e que faz com que tenhamos equacoes especıficas para o estudo do escoamento de um fluido. Estas equacoes devem carregar em seu bojo informacoes relativas as taxas de deformacao, bem como ao carater contınuo da materia, para representar, adequadamente, o fenomeno fısico sob analise.

1.2. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 7

Figura 1.2: Taxa de deformacao

1.2 Propriedades dos fluidos

O objetivo desta secao e apresentar algumas propriedades de interesse no contexto deste conteudo, necessarias ao entendimento dos fenomenos que serao estudados.

Assim como a tensao cisalhante define o carater da substancia como fluido ou solido, a tensao normal de compressao atuante num fluido vai caracterizar a sua compressibilidade ou incompressibilidade . Dizemos entao que, quando um fluido e submetido a uma variacao de tensao normal e seu volume especıfico varia de forma desprezıvel, ele e chamado de fluido incompressıvel . O comportamento oposto caracteriza o fluido compressıvel . Sao exemplos de fluidos incompressıveis, a agua, os oleos e os lıquidos em geral. Caracterizam-se como fluidos compressıveis, o ar, os vapores e os gases em geral.

1.2.1 Massa especıfica

A massa especıfica, representada por ρ, e definida como a quantidade de massa contida em uma unidade de volume.

onde δ∀′ representa o menor volume de maneira a satisfazer a hipotese do contınuo[8]. No sistema internacional de unidades (SI), a massa especıfica tem unidade de kg/m3.

O volume especıfico, representado por v, mencionado na conceituacao da compressibilidade de um fluido, e o inverso da massa especıfica (v = 1/ρ).

E bastante comum na pratica da engenharia, a utilizacao de padroes comparativos. Na mecanica dos fluidos, a comparacao da massa especıfica de um

8 CAPITULO 1. INTRODUC AO fluido com a massa especıfica da agua a 4◦C e P = 1atm (ρ = 1000 kg/m3), resulta num cociente denominado de densidade relativa, dr. Por exemplo, um oleo de masa especıfica ρ = 800kg/m3 diz-se ter dr = 0,8. Uma outra variavel comumente utilizada e aquela obtida fazendo-se o produto da massa especıfica, ρ, pelo modulo da aceleracao da gravidade local, g. Este produto e a grandeza intensiva peso especıfico, representada pelo sımbolo grego γ, cuja unidde no SI e N/m3.

1.2.2 Campos de velocidade e de temperatura

A hipotese do contınuo possibilita a introducao do conceito de campo de uma propriedade, que e a sua distribuicao expressa em funcao das coordenadas espaciais e do tempo. Isto permite associar a cada ponto do meio contınuo, uma velocidade, que corresponde a velocidade das moleculas contidas no volume infinetesimal δ∀′.

O numero de variaveis espaciais que sao necessarias para expressar o campo de velocidade, define o carater uni, bi ou tri-dimensional do escoamento. Por exemplo, um campo de velocidade bi-dimensional pode ser representado por:

onde a e uma constante com unidade [1/s], e x e y sao as variaveis espaciais, expressas em [m], para se obter a velocidade do fluido no ponto, em [m/s].

Podemos tambem definir o campo de temperatura como sendo a temperatura da partıcula, definida pelo conjunto de moleculas,contidas no volume δ∀′, que no instante de tempo t esta passando pelo ponto de coordenadas (x,y,z).

1.2.3 Campo de tensoes

Podemos tambem definir o campo de tensoes , a partir do conceito de tensao em um ponto atuando em um elemento de fluido, a qual e funcao das forcas superficiais que atuam no contorno deste elemento. Considerando um elemento de area, δ ~A, na superfıcie que envolve um elemento de fluido, onde a orientacao do vetor δ ~A seja dada pelo vetor normal unitario , ~n, tal que δ ~A = δA~n, ao

1.2. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 9 termos uma forca elementar δ~F atuante sobre δ ~A, esta acao provocara no meio fluido o surgimento de tensoes, expressas matematicamente por:

O conceito de tensao em um ponto exige que facamos o cociente entre duas grandezas vetoriais. Isto implica em se fazer o cociente entre tres componentes do vetor d~F (dFx, dFy, dFz) e tres componentes do vetor d~A (dAx, dAy, dAz), resultando portanto nas nove componentes do tensor. Assim, para expressarmos as componentes do tensor, adotaremos uma convencao de duplo ındice, onde o primeiro ındice diz respeito a direcao da normal (~n) ao elemento de area onde a forca elementar esta atuando e o segundo ındice corresponde a direcao da componente desta forca. Assim, as nove componentes do tensor em um ponto em um meio fluido podem ser expressas por:

σx = dF dA τxy = dA τxz = dF dA τyx = dF dA σy = dA τyz = dF dA τzx = dF dA τzy = dA σz = dF dA

O conjunto de equacoes 1.6 pode ser representada pela seguinte matriz:

σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz

Os valores do tensor em cada ponto no meio fluido definem o campo de tensoes. De um modo geral, os fluidos apresentam a propriedade de serem isotropicos, implicando que o tensor tensao e simetrico, ou seja, τij = τji, com i e j assumindo as ordenadas x, y e z. Assim sendo, bastam seis componentes para representar o estado de tensao em um ponto, em um fluido.

Para um fluido em repouso ou em movimento de corpo rıgido, as tensoes cisalhantes sao nulas, significando que o tensor apresentara apenas os componentes da diagonal principal da representacao matricial, dada pela equacao 1.7. Nesta situacao pode-se definir uma tensao media como sendo:

10 CAPITULO 1. INTRODUC AO

Define-se entao a pressao como a reacao do meio a acao da tensao media, ou seja,

Esta pressao e uma caracterıstica fundamental na analise de qualquer meio fluido, sendo importante compreende-la, pois as forcas de contato, tanto na estatica quanto na dinamica dos fluidos, estao associadas a ela. Cabe observar que para os gases reais, nas proximidades do ponto crıtico, a relacao dada pela equacao 1.9 nao e valida. Este conceito tambem pode ser empregado para os lıquidos, exceto para valores proximos do ponto crıtico[9].

A viscosidade e a propriedade que expressa a resistencia que um fluido oferece a taxa de deformacao. Assim, considerando-se o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas planas, conforme a Figura 1.3, onde a placa superior movimenta-se a uma velocidade δU, sob a influencia de uma forca δF, observa-se que o elemento se deforma a uma taxa δα/δt.

Figura 1.3: Lei da viscosidade de Newton

Newton definiu como sendo um fluido verdadeiro, aquele para o qual a tensao cisalhante originada pela forca δF, e proporcional a taxa de deformacao.

τyx ∝ dα

E interessante expressar a taxa de deformacao δα/δt em termos de grandezas mais facilmente mensuraveis do que a variacao do angulo δα com o tempo. Atraves de relacoes geometricas, podemos escrever:

1.2. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 1 δt = δU tomando-se o limite quando δt e δy tendem para zero, obtem-se:

dt = dU

Desta forma a equacao 1.10 na pagina oposta pode ser expressa por:

τyx ∝ dU

Quando se tem uma proporcionalidade e se quer transforma-la numa igualdade, deve-se introduzir um coeficiente de proporcionalidade. Para os fluidos verdadeiros, tambem chamados de Newtonianos, o coeficiente de proporcionalidade a ser inserido e o coeficiente de viscosidade absoluta, µ. Assim, a equacao 1.12, tambem conhecida como lei da viscosidade de Newton, resulta:

τyx = µ onde o coeficiente de viscosidade, µ, tem, no SI, a unidade kg/(ms), ou Pa.s.

A viscosidade, que e uma caracterıstica de cada substancia, para um lıquido, diminui com o aumento da temperatura, enquanto que, para um gas, o comportamento e inverso. Esta variacao com a temperatura pode ser explicada examinando-se o mecanismo de atuacao da viscosidade. A resistencia de um fluido a taxa de deformacao, depende da coesao e da velocidade de transferencia de quantidade de movimento entre as moleculas. Em um lıquido, cujas moleculas estao muito mais proximas do que em um gas, as forcas de coesao sao muito maiores do que nos gases. A coesao parece ser a causa predominante da viscosidade no lıquido e, como a coesao diminui com o aumento da temperatura, a viscosidade tambem diminui. Por outro lado, em um gas, a troca de quantidade de movimento entre as moleculas e o mecanismo mais intenso. Assim, um aumento de temperatura provocara uma elevacao no vıvel de agitacao das moleculas, fazendo com que a troca de quantidade de movimento aumente e, por consequencia, a viscosidade aumenta[1].

De acordo ainda com [1], para nıveis de pressao moderados, a viscosidade e praticamente independente da pressao, dependendo somente da temperatura. Porem, para pressoes muito elevadas, a viscosidade dos gases e da maioria dos lıquidos, nao tem lei bem definida de sua variacao com a pressao; podendo

12 CAPITULO 1. INTRODUC AO contudo, nestes casos, ser utilizado com aceitavel precisao[10], o princıpio dos estados correspondentes, para se obter a relacao µ/µc, em funcao dos valores reduzidos da pressao (P/Pc) e da temperatura (T/Tc). Deve ser observado que para alguns fluidos, a relacao tensao-deformacao nao e linear, ou, ainda, mesmo que sendo linear, exigem uma tensao inicial para que a taxa de deformacao se inicie. Nestes casos os fluidos nao sao mais classificados como fluidos verdadeiros e fogem ao escopo deste livro. Sao exemplos destes pseudo-fluidos, a pasta dental, algumas tintas, o pixe, etc.

Por ser frequente na mecanica dos fluidos a relacao viscosidade/massa especıfica, este cociente recebe o nome de viscosidade cinematica, e e representado pelo sımbolo ν. A unidade da viscosidade cinematica no SI e m2/s.

Capıtulo 2 Estatica dos fluidos

Neste capıtulo sera enfocado a distribuicao de pressao de um fluido em repouso ou em movimento de corpo rıgido, o qual sera designado como fluido estatico. Nesta situacao o fluido esta sujeito apenas as distribuicoes de tensoes normais, uma vez que, nao existindo o movimento relativo entre camadas adjacentes, as tensoes cisalhantes resultam nulas.

Em um fluido estatico e homogeneo, a segunda lei de Newton pode ser utilizada para avaliar a reacao de um elemento de fluido as forcas aplicadas.

2.1 Equacao fundamental da estatica dos fluidos

Para se determinar a distribuicao de pressao de um fluido estatico e homogeneo, utilizando-se a segunda lei de Newton, deve-se isolar um elemento infinitesimal de fluido e se proceder a um balanco da forcas aplicadas sobre ele. Estas forcas sao as forcas de contato e as forcas de campo.

Forcas de contato, ~Fs, sao forcas decorrentes da acao do meio externo sobre as fronteiras do elemento de fluido atraves de contato direto.

Forcas de campo sao forcas decorrentes da acao de um campo (gravitacional, magnetico, eletrico, etc.) sobre a massa distribuida no elemento de fluido.

Na Figura, o elemento de volume de fluido esta sujeito a uma forca de campo d~Fc, dada por:

14 CAPITULO 2. ESTATICA DOS FLUIDOS

Este elemento tambem esta sujeito a forcas de superfıcie, normais as faces do elemento cubico, como resultado das tensoes normais atuando sobre os seus contornos. Lembrando que pressao representa a media das tensoes normais de compressao, e que no centro do elemento de volume lhe e atribuido o valor P(x,y,z), o valor da pressao em cada face do elemento de volume sera obtido usando-se uma expansao em serie de Taylor. Assim, a pressao na face esquerda do elemento sera:

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