Integrais de Superficies

Integrais de Superficies

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.

Se usarmos x = u.cos v e y = u.sen v, podemos ter uma outra parametrização

.

, onde .

Exemplo:

Obter uma parametrização da parte do parabolóide abaixo do plano

Resolução

Usando x e y como parâmetros, uma equação vectorial do parâmetro é dada por:

Como queremos a parte do parabolóide abaixo do plano z = 8, os parâmetros x e y devem satisfazer ou .

Podemos afirmar que Neste exemplo, a região que é a projecção da superfície S sobre o plano XY.

    1. Curvas coordenadas

Seja uma superfície paramétrica representada por

para (u, v)

Se fixarmos o parâmetro v, a equação acima descreve uma curva. Tal curva esta contida em S e é chamada u – curva.

Analogamente, se fixarmos o parâmetro u, obtemos uma curva sobre S chamada v – curva.

Dado um ponto sobre S, de vector posição (u0, v0), a u – curva (u, v0) e a v – curva (u0, v) são chamada curvas coordenadas de S em P.

Exemplo

Determine as curvas coordenadas da esfera + + = 4 no ponto P(2, 0, 0).

Resolução

Usando a parametrização da esfera vem:

, onde e .

No ponto P(2, 0, 0), temos u = 0 e v = 0.

Portanto a u – curva em P tem a equação

,

),

E a v – curva em P é dada por

,

, onde .

    1. Superfícies Suaves e Orientadas

Uma curva suave não possui pontos angulosos. Analogamente uma superfície suave ou regular é caracterizada pela ausência de arestas. Podemos dizer que em cada ponto P se uma superfície suave existe um único plano tangente a S em P.

Segundo GONCALVES & FLEMMING, 1999: 322, as equações paramétricas podem ajudar na formalização de ideia de suavidade de uma superfície. Uma maneira conveniente de descrever a noção de suavidade de uma superfície S é dizer que S pode ser dividida em partes e cada uma destas partes admite uma parametrização , onde , e z = admitem derivadas continuas de todas as ordens e que, para todo (u0, v0) , as derivadas primeiras satisfazem a condicao:

(u0, v0) e (u0, v0) são linearmente independentes

Esta condição é conhecida como condição de suavidade ou regularidade.

Os pontos de S onde falha a condição de suavidade para qualquer parametrização são chamados pontos singulares.

NB: Uma má escolha de parametrização pode nos levar a pontos onde a condição de suavidade não é verificada, mesmo que a superfície seja suave. Estes pontos são chamados pontos singulares falsos

As superfícies suaves podem ser:

  • Suaves por parte: dizemos que uma superfície S é suave por partes de S pode ser dividida em um número de partes suaves. Como por exemplo: a superfície de um cubo é uma superfície suave, pois pode ser dividida em seis partes suaves. Cada parte corresponde a uma face do cubo. Planos, parabolóides, cilindros e esferas são superfícies suaves. Temos cone, que não é superfície suave.

  • Superfícies orientadas: dizemos que S é uma superfície orientada se for possível escolher um vector normal unitário n em cada ponto (x ; y ; z ) de S de modo que n varie continuamente sobre S.

    1. Área de uma Superfície

Seja uma superfície paramétrica suave, representada por:

para (u, v)

Podemos considerar que, na u – curva (u, v0), o parâmetro u representa o tempo. Desta forma representa o vector velocidade de uma partícula que se desloca ao longo de u – curva.

Quando u sofre um acréscimo , a partícula move-se a uma distância aproximadamente igual a sobre u – curva.

Analogamente, para u fixo, a partícula move-se a uma distância , no tempo ao longo de v – curva (u0, v).

Definição

A área da superfície S, denotado por a(S), é definida pela equação:

a(S) = dudv, quando o integral a direita existe.

Se S é suave por pares, a área da superfície S é definida como a soma das áreas sobre cada pedaço suave da superfície S.

Exemplo 1

Determinar a área do parabolóide z = 2(), abaixo do plano z = 8.

Resolução

Tomando u e v como parâmetro, a equação desse parabolóide é:

, (u, v)

R = . usando a definição, vem:

a(S) = = = a(S) =dudv.

Passando para coordenadas polares, o ângulo varia e o raio , com jacobiano = - r, tendo:

a(S) = = pelo método de substituição, tem-se: = k , logo:

a(S) = = =

= = = =

= () = unidades de área.

Exemplo 2

Determine a área de uma esfera de raio a.

Resolução

Vamos utilizar a equação vectorial da esfera de raio a, isto é, , onde e

Usando a definição, teremos:

a(S) =

= = =

= = . sen(v) / = = unidades de área.

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