Integrais de Superficies

Integrais de Superficies

(Parte 3 de 5)

    1. Integrais de superfície de um campo escalar

Para GONCALVES & FLEMMING, 1999: 339, diz que, dada uma superfície S suave, representada por , , . Seja f um campo escalar definido e limitado sobre S. a integral de superfície f sobre S, denotado por , é definida pela equação:

= , quando o integral duplo à direita existe.

Se f é dada duma forma explicita por z = z(x, y), então:

= , onde R é a projecção de S sobre o plano XY.

Exemplo

Calcular I = onde S é a superfície , e e .

Resolução

A superfície deste exemplo é a parte da calha, isto é, comparamos com canal ao longo lateral de um telhado e que serve para escoar a água das chuvas.

Neste caso, x = u, y = v e z = + 1, obtêm a equação cartesiana: z = + 1.

Como x = u e y = v, a superfície esta definida para e , que é cilindro parabólico.

Usando a equação de integração, tem-se:

I =

I = =

I = , usando método de substituição, tem-se:

= k 8udu = dk udu , logo:

= = =

= = = = ()

= = .

    1. Integrais de superfície de um campo vectorial

Na óptica de GONCALVES & FLEMMING, 1999: 353, diz que, dada uma superfície S suave, representada por: para (u, v) ., e um vector unitário, normal a S. Seja f um campo vectorial definido sobre S. a integral de superfície de sobre S, denotado por , é definida pela equacao:

= , quando o integral à direita existe.

Se a superfície S é suave por partes, o integral é definida como a somo dos integrais sobre cada pedaço suave de S.

Cálculo do integral

Seja n1, o vector normal unitário de S, dado por: =

Podemos ter e . Portanto:

=

Teremos o sinal positivo em frente à integral dupla, quando o lado de S escolhido para a integração for o lado do qual o vector normal unitário . Em caso contrário, teremos o sinal negativo em frente à integração dupla.

Exemplo

Calcular , sendo = x + y + z e S a superfície exterior da esfera representado por = (a.cos(u).sen(v), a.sen(u).cos(v), a.sen(v)), e .

Resolução

Num exemplo anterior , calculamos , obtendo: ()).

Como o lado escolhido para a integração é o lado exterior da superfície S, teremos sinal (+) em frente à integração dupla.

Usando a equação = , teremos

= ())dudv

=

=

= = = =

= = = . sen(v) / = = .

  1. Aplicação de integrais na física

    1. Centro de massa e momentos de inércia

O centro de massa e o momento de inércia de uma lamina delgada pode ser calculado usando integrais de superfície.

Supúnhamos que S representa uma lâmina e que o campo escalar f(x, y, z) representa a densidade (massa por unidade de área) no ponto (x, y, z). então a massa m da lamina é dada por:

m =

o centro de massa () é dado por

O momento de inércia IL de Sem relação a um eixo L é dado por

IL =

Onde é a distância do ponto (x, y, z) de S ate ao eixo L.

Exemplo

Uma lâmina tem a forma do plano z = x, recortada pelo cilindro . Determine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto (x, y, z) é proporcional a distancia desse ponto ao plano XY.

Resolução

Como a densidade no ponto (x, y, z) é proporcional a distancia desse ponto ao plano XY, temos:

f(x, y, z) = k.z, onde k é a constante de proporcionalidade.

Usando a fórmula principal, temos

m = = m = = m = = passando para coordenadas polares, temos:

m = = =

= = unidades de massa.

  1. Teorema de divergência. Fórmula de Ostrogradsky - Gauss

Se S é uma superfície lisa orientada e um campo vectorial, chama-se fluxo de campo através de superfície S ao integral da superfície. (BEIRAO, 1992: 83)

, em que o é o vector normal unitário exterior a S.

Teorema (Teorema de Divergência): seja V uma região de espaço tridimensional limitada por uma superfície fechada lisa S e = , um campo vectorial definido e um componente de classe C em V.

Então: =

Isto é, o integral de superfície do componente normal de , estendido à superfície S (ou o fluxo de através de S), é igual ao integral triplo da divergência de , estendido à região V limitada por S. (BEIRAO, 1992: 83) esta fórmula denomina-se Fórmula de Ostrogradsky – Gauss e o teorema diz-se por vezes, teorema de Green para no espaço. Este teorema pode por sua vez estender-se à superfície que seja intersectada por mais de dois pontos por paralelas aos eixos coordenados, por que basta decompor a região limitada por S em sub-regiões tais que, se cumpre a condição exposta. O resultado final é a soma dos resultados parciais assim obtidos.

Observação: se o vector normal exterior for , a fórmula de Ostrogradsky assume a forma:

= :

Tendo , da fórmula anterior resulta ainda:

=

Exemplo

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