Integrais de Superficies

Integrais de Superficies

(Parte 4 de 5)

Verificar o teorema de divergência para = ,m e a região V limitada por x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1.

Resolução

Começaremos por calcular o integral triplo da divergência

= =

Para calcular o fluxo através da superfície S que limita V há que considerar separadamente cada uma das faces de S (que a superfície do cubo) pois que a normal exterior é diferente em cada uma delas.

. Assim

- Em ABCD: = , x = 1, e portanto

= = = 2 = = 2

- Em EFGH: = , x = 0, e portanto

= = 0

- Em CDEF: = , y = 1, e portanto

= = = = =

- Em ABGH: = , y = 0, e portanto

= = 0

- Em ACEG: = , z = 1, e portanto

= = = = =

- Em BDFH: = , z = 0, e portanto

= = 0

Então, = 2 + 0 + + 0 + + 0 = que é precisamente o valor do integral triplo da divergência de F acima definido.

  1. Teorema de Stokes

Sejam S uma superfície regular orientada, ∂S sua fronteira, com a convenção de orientação já discutida, e um campo diferenciável em uma região que inclui S. Vale a igualdade

=

O teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema de green para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformar determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa.

O teorema de Green por seu turno, trata-se de um caso especial, em que S é uma região do plano xy. Nesse caso, o vector normal a S será sempre paralelo ao eixo z e denotado por  = (0,0,1). Dessa forma, temos:

∮ ∂SF .dr = S(rot(F ).n )ds = Srot(F ).(0,0,1)ds

∮ ∂SF .dr = S(∂F2∂x−∂F1∂y)dxdy.

Teorema

(GONCALVES & FLEMMING 2000: 371) Seja S uma superfície orientável, suave por parte, delimitada por uma curva fechada, simples, suave, C. então, se , é um campo vectorial continuo, com derivadas parciais da primeira ordem continuo em um domínio que contem SC, temos:

Onde o integra ao logo do C é efectuado no sentido positivo determinado pela orientação do S.

Se o campo tem componentes , podem ser rescritas como equação (1)

Aqui devemos comparar com o Teorema de Green. O termo da integral de linha tem apenas uma sutil mudança: a integral é feita em uma curva tridimensional (∂S). Enquanto a integral dupla foi substituída por uma integral de superfície (o fluxo do rotacional de ).

Exemplo

Seja calcule , onde C é a curva parametrizada por 

  1. Como essa integral não parece muito simples de se calcular pela definição, pode-se recorrer o cálculo do rotacional do campo vectorial para tentar simplificar o problema.

Logo, o campo é conservativo.

  1. Encontrar a função potencial f, para isso devemos fazer

Logo:

Vamos a cada uma dessas equações

Comparando as equações constamos que:

P(x,y) = 2z

Isso significa:

Agora temos

E a função potencial vai ser:

  1. Terceiro:  Aplicar a função potencial nos pontos inicial e final

Para A, temos t=0. Substituindo na parametrização da curva:

Para B, t = 1

.

Exercícios propostos

1-Determine uma representação paramétrica para as seguintes superfícies

  1. O plano XY;

  2. O plano x + y + z = 1;

  3. O cilindro de revolução , com a > 0;

  4. O parabolóide z = .

2-Calcule os seguintes integrais de superfícies

(Parte 4 de 5)

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