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3-7 FLUIDOS EM MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO

Estamos quase prontos para iniciar (no Capítulo 4) o estudo sobre fluidos em movimento, mas primeiro existe uma categoria de movimento de fluido que pode ser estudada utilizando as idéias de estática dos fluidos: o movimento de corpo rígido. Conforme o nome indica, trata-se de um movimento no qual todo o fluido se move como se fosse um corpo rígido — as partículas individuais de fluido, embora possam estar em movimento, não estão deformando. Isto significa que não existem tensões de cisalhamento, como no caso de estática dos fluidos.

Que tipo de escoamento de fluido possui movimento de corpo rígido? Lembre-se de que, na cinemática, o movimento de corpo rígido pode ser dividido em translação pura e rotação pura. Na translação, o movimento mais simples é o de velocidade constante, que pode sempre ser convertido para um problema de estática dos fluidos por um deslocamento de coordenadas. O outro movimento simples de translação que podemos ter refere-se à aceleração constante, a ser considerada aqui (Problema- Exemplo 3.9). Além disso, consideraremos um movimento consistindo em rotação constante pura (Problema-Exemplo 3.10). Assim como no caso de estática dos fluidos, podemos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento de modo a determinar o campo de pressão resultante de um movimento específico de corpo rígido.

Na Seção 3-1, calculamos uma expressão para as forças devido à pressão e gravidade agindo sobre uma partícula fluida de volume dV. Obtivemos dV p g

A segunda lei de Newton foi escrita

===dV
or

Substituindo da Eq. 3.2, obtemos

Se a aceleração a é constante, podemos combiná-la com g e obter uma “aceleração da gravidade” efetiva, gef ggaeff=−, de modo que a Eq. 3.16 fique com a mesma forma da nossa equação básica para distribuição de pressão em um fluido estático, Eq. 3.3. Isto significa que podemos usar os resultados das seções precedentes deste capítulo bastando utilizar gef em lugar de g. Por exemplo, para um lí- quido experimentando uma aceleração constante, a pressão aumenta com a profundidade na direção

gef, e a taxa de aumento da pressão será dada por FgVbuoyancy=∑=Fp=RTy0 

e sentido de gef, onde gef é a magnitude de gef. As li- nhas de pressão constante serão perpendiculares à direção de gef. O significado físico de cada termo nessa equação é como segue:

pga

net pressure force per unit volume at a point body force per unit volume at a point mass per unit volume acceleration of fluid particle

Esta equação vetorial consiste em três equações de componentes que devem ser satisfeitas individualmente. Em coordenadas retangulares, as equações de componentes são x g a x

y g a y

z g a z x x y y z z direction direction direction

(3.16) ou força líquida de pressão por unidade de volume em um ponto força de corpo por unidade de volume em um ponto massa por unidade de volume aceleração da partícula de fluido direção x direção y direção z

ESTÁTICA DOS FLUIDOS CD-1

As equações de componentes para outros sistemas de coordenadas podem ser escritas utilizando a expressão apropriada para ∇p. Em coordenadas cilíndricas, o operador vetorial gradiente, ∇, é dado por

onde eer e ê eer são vetores unitários nas direções r e ′ = +x x g I

Fc xyR

p e p r e r p k p

EXEMPLO 3.9 Líquido em Movimento de Corpo Rígido com Aceleração Linear

Para cumprir uma determinada tarefa, você deve transportar um tanque de peixes na traseira de sua minivan. O tanque tem 12 in × 24 in × 12 in. Quanta água você pode deixar no tanque e ainda estar razoavelmente certo de que ela não derramará durante a viagem?

DADOS:Aquário de 12 in × 24 in × 12 in, parcialmente cheio com água, a ser transportado em um automóvel.
DETERMINAR:A profundidade permitida de água para ter certeza razoável de que não haverá derramamento durante a

PROBLEMA-EXEMPLO 3.9 viagem.

SOLUÇÃO: O primeiro passo é formular o problema de modo a transformá-lo de um problema geral em um mais específico.

Reconhecemos que existirá movimento na superfície da água como resultado das curvas realizadas, bem como das sacudidelas devido ao movimento do automóvel sobre a estrada etc. Contudo, admitiremos que o principal efeito sobre a superfície da água é aquele devido às acelerações (e desacelerações) lineares do automóvel; vamos desconsiderar a agitação da água.

Desse modo, reduzimos o problema a um de determinação do efeito da aceleração linear sobre a superfície livre. Ainda não decidimos sobre a orientação do tanque relativa à direção do movimento. Escolhendo a coordenada x na direção do movimento, alinharíamos o lado longo do tanque paralelo ou perpendicular à direção do movimento?

Se não haverá movimento relativo na água, devemos admitir que estamos lidando com uma aceleração constante, ax. Qual é a forma da superfície livre sob estas condições?

Vamos enunciar novamente o problema para responder às questões originais, idealizando a situação física a fim de obter uma solução aproximada.

DADOS:Tanque parcialmente cheio com água (até a profundidade d), sujeito a uma aceleração linear constante, ax. A altura do

tanque é 12 in; o comprimento paralelo à direção do movimento é b. A largura perpendicular à direção do movi-

DETERMINAR: (a) A forma da superfície livre sob ax constante. (b) A profundidade de água permitida, d, para evitar derramamento em

função de ax e da orientação do tanque. (c) A orientação ótima do tanque e a profundidade de água recomen- dada.

Equação básica:−∇+=pga

j p k p z ig jg kg ia ja kax y z x y z

j p y j g i ax

CD-2 CAPÍTULO TRÊS

As equações de componentes são:

x a

y g

O problema agora é encontrar uma expressão para p = p(x,y). Isto nos possibilitará determinar a equação da superfície livre. Mas talvez não tenhamos que fazer isso.

Como a pressão é p = p(x,y), a diferença na pressão entre dois pontos (x,y) e (x + dx, y + dy) é dp p dx p

Como a superfície livre é uma linha de pressão constante, p = constante ao longo da superfície livre, logo dp = 0 e dx p

y dy a dx g dyx

Portanto,

free surface

Note que podíamos ter deduzido esse resultado mais diretamente, convertendo a Eq. 3.16 em um problema de “aceleração da gravidade” equivalente, ef = 0 onde gef g a a gx

No diagrama, d = profundidade original e = altura acima da profundidade original b = comprimento do tanque paralelo à direção do movimento

b b dydx b ag free surface

Como desejamos que e seja o menor valor para um dado ax, o tanque deve ser alinhado de forma que b seja tão pequeno quanto possível. Devemos alinhar o tanque com o lado longo perpendicular à direção do movimento. Isto é, devemos es-

colher b = 12 in

Com b = 12 in,

O valor máximo permitido é para e = 12 – d in. Portanto,

Lembre-se de que uma derivada parcial indica que todas as outras variáveis independentes são mantidas constantes na derivação.

{A superfície livre é plana.} free surface

Válido somente quando a superfície livre inter-cepta a parede frontal no piso ou acima dele superfície livre b b dydx b ag free surface

ESTÁTICA DOS FLUIDOS CD-3

EXEMPLO 3.10 Líquido em Movimento de Corpo Rígido com Velocidade Angular Constante

Um recipiente cilíndrico, parcialmente cheio com líquido, é girado a uma velocidade angular constante, ω, em torno do seu eixo, conforme mostrado no diagrama. Após um curto tempo não existe movimento relativo; o líquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido. Determine a forma da superfície livre.

g d ag x xand max

Supondo que o valor máximo de ax seja 23g, o valor permitido para d é igual a 8 in. Para permitir uma margem de segurança, talvez devamos selecionar d = 6 in.

Lembre-se de que uma aceleração permanente foi considerada neste problema. O automóvel deveria ser dirigido muito devagar e cuidadosamente.

Este Problema-Exemplo mostra que:

Nem todos os problemas de engenharia são claramente definidos, e nem sempre têm solução única.

Para aceleração linear constante, nós temos efetivamente um problema hidrostático, com uma “gravidade” redefinida como o vetor resultante da aceleração linear com a gravidade real.

DADOS:Um cilindro, com líquido em rotação de corpo rígido, com velocidade angular

PROBLEMA-EXEMPLO 3.10 ω em torno do seu eixo.

DETERMINAR: A forma da superfície livre.

Equação básica:−∇+=pga

É conveniente utilizar um sistema de coordenadas cilíndricas, r, θ, z. Como gr = gθ = 0 e gz = –g, então

+ ∂∂  − = + +( )e

r e r p k p z k g e a e a kar r r z

Também, aθ = az = 0 e ar = –ω2r.

+ ∂∂  = − +e

r e r p k p z e r k gr r r 1 2

As equações de componentes são:

r p p e máx CD-4 CAPÍTULO TRÊS

Das equações de componentes, verificamos que a pressão não é uma função de θ; ela é uma função de r e de z somente. Como p = (r, z), a variação diferencial dp na pressão entre dois pontos com coordenadas (r, θ, z) e (r + dr, θ, z + dz) é dada por dp p dr p

Para obter a diferença de pressão entre um ponto de referência (r1, z1), onde a pressão é p1, e o ponto arbitrário (r, z), onde a pressão é p, devemos integrar dp r dr g dz rp z

Então,

Como a superfície livre é uma superfície de pressão constante (p = patm), a equação da superfície livre é dada por

z h

A equação da superfície livre é uma parabolóide de revolução com vértice sobre o eixo em z = h1.

Podemos resolver para a altura h1, sob condições de rotação em termos da altura original da superfície, h0, na ausência de rotação. Para tanto, utilizamos o fato de que o volume de líquido deve permanecer constante. Sem rotação,

Com rotação,

V r dz dr zr dr h r g r dr

RRzR

V h r r h R R

Assim,

R h h R R

g h h

Finalmente, z h

Rg r g

ESTÁTICA DOS FLUIDOS CD-5

Este Problema-Exemplo mostra que:

O efeito da aceleração centrípeta sobre a forma das linhas de pressão constante (isobáricas).

Porque a variação da pressão com a altura (hidrostática) e com a rotação depende da massa específica do fluido, a forma final da superfície livre é independente da massa específica do fluido.

Note que a expressão para z é válida somente para h1 > 0. Portanto, o valor máximo de ω é dado por ωmáx = ghR0 . CD-6 CAPÍTULO TRÊS

4-6 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME DE CONTROLE COM ACELERAÇÃO ARBITRÁRIA

Na Seção 4-5, formulamos a equação da quantidade de movimento para um volume de controle com aceleração retilínea. O objetivo desta seção é estender a formulação de modo a torná-la mais completa, incluindo a rotação e a aceleração angular do volume de controle em adição à translação e aceleração retilínea.

Primeiro, desenvolvemos uma expressão para a segunda lei de Newton em um sistema arbitrário de coordenadas, não-inercial. Em seguida, utilizamos a Eq. 4.25 para completar a formulação para um volume de controle. A segunda lei de Newton para um sistema com movimento relativo a um sistema inercial de coordenadas é dada por

F dPdt XYZ=

onde, como na seção precedente, XYZ denota o sistema inercial de referência (p. ex., estacionário).

e M (do sistema) é constante,

F d

V dm dV

dt dmXYZ

F a dmXYZM= ∫ (system)

O problema básico é relacionar aXYZ com a aceleração axyz medida em relação a um sistema de coor- denadas não-inercial. Para esse fim, considere o referencial não-inercial, xyz, mostrado na Fig. 4.5.

O referencial não-inercial, xyz, é localizado pelo vetor posição R relativo ao referencial fixo, XYZ.

O referencial não-inercial gira com velocidade angular . Uma partícula é localizada instantanea-

mente em relação ao referencial móvel pelo vetor posição rixjykz=++. Em relação ao sistema inercial de referência XYZ, a posição da partícula é denotada pelo vetor posição

XRr=+. Da geometria da

A velocidade da partícula relativa a um observador no referencial XYZ é

dXdt dRdt dr dt

V dr onde, como na seção precedente, Vrf é a velocidade instantânea do sistema de coordenadas do volu- me de controle em relação ao sistema inercial de referência XYZ.

Fig. 4.5 Localização de uma partícula em referenciais inercial (XYZ) e não-inercial (xyz). Partícula sistema

(sistema)sistema

(sistema) (sistema) (sistema)

EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VOLUME DE CONTROLE CD-7

Devemos ter cuidado na avaliação de d r/dt, porque tanto a magnitude, | r|, quanto a orientação dos vetores unitários, i, j e k, são funções do tempo. Portanto, drdt d dt xi yj zk i dx x di j dy y dj k dz z dk

= + + = + + + + +( )ˆ

Os termos dx/dt, dy/dt e dz/dt são as componentes da velocidade da partícula em relação a xyz. Então,

V i dx j dy k dz

Relembrando a dinâmica (e conforme veremos no Problema-Exemplo 4.13), para um sistema de coordenadas em rotação y dj

dt z dkdt

Combinando as Eqs. 4.37a, 4.37b e 4.37c, obtemos

dt V rxyz

Substituindo na Eq. 4.36, resulta

A aceleração da partícula relativa a um observador no sistema inercial XYZ é, portanto,

dVdt dVdt dVdt d dt rXYZ

XYZ rf xyz XYZ

dVdt d dt rXYZ rf xyz XYZ

Vxyz quanto r são medidos em relação a xyz, de modo que o mesmo cuidado observado no de- senvolvimento da Eq. 4.37d se aplica. Assim, i du j d k dw dt V a Vxyz

XYZ xyz xyz xyz

r d r dr

Substituindo as Eqs. 4.40a e 4.40b na Eq. 4.39, obtém-se

(4.37a) (4.37b)

(4.37c)

(4.37d) (4.38)

(4.39) (4.40a)

(4.40b) (4.41)

CD-8 CAPÍTULO QUATRO

A Eq. 4.41 relaciona a aceleração de uma partícula fluida quando medida nos dois sistemas de referência (o sistema inercial XYZ e o sistema não-inercial xyz). Tendo estudado dinâmica, você deve estar familiarizado com cada um dos termos da equação. São eles:

: Aceleração retilínea absoluta de uma partícula em relação ao sistema de referência fixo XYZ.

: Aceleração retilínea absoluta da origem do sistema de referência móvel xyz em relação ao sistema de referência fixo XYZ.

: Aceleração retilínea de uma partícula relativa ao referencial móvel xyz (esta é a aceleração que seria “vista” por um observador sobre o referencial móvel xyz;

axyz = d2

: Aceleração de Coriolis devido ao movimento da partícula dentro do referencial móvel xyz.

: Aceleração centrípeta devido à rotação do referencial móvel xyz.

: Aceleração tangencial devido à aceleração angular do referencial móvel xyz.

Substituindo aXYZ, conforme dado pela Eq. 4.41, na Eq. 4.35, obtém-se

Mas a dm dV dm d

V dm dP

dtxyz xyz xyz

M xyz M xyz= system

Combinando as Eqs. 4.42a e 4.42b, resulta

F a V r r dm dP dtrf xyz M system

F F a V r r dV dP

dtS B rf xyz xyzV system

A Eq. 4.43 é um enunciado da segunda lei de Newton para um sistema. A derivada do sistema,

Pxyz/dt, representa a taxa de variação da quantidade de movimento, Pxyz, do sistema medido em rela-

ção a xyz, conforme visto por um observador em xyz. Esta derivada do sistema pode ser relatada para as variáveis de volume de controle através da Eq. 4.25,

Para obter a formulação de volume de controle, fazemos N =

Pxyz, e η = Vxyz. Em seguida, as Eqs.

4.25 e 4.43 podem ser combinadas para fornecer

V d V V V dAxyz xyz xyz sistema (sistema)

(sistema)

(sistema) (sistema) (sistema) (sistema) sistema (sistema) sistema sistema (sistema) sistema SCVC

VC (4.4)

(4.42b)

(4.42a) a dm dV dm d

V dm dP dtxyz xyz xyz

M xyz M xyz=

EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VOLUME DE CONTROLE CD-9

A Eq. 4.4 é a formulação mais geral da segunda lei de Newton para volume de controle. Comparando a equação da quantidade de movimento para um volume de controle móvel com aceleração arbitrária, a Eq. 4.4, com aquela para um volume de controle móvel com aceleração retilínea, a Eq. 4.3, observamos que a única diferença é a presença de três termos adicionais no lado esquerdo da Eq. 4.4. Esses termos resultam do movimento angular do referencial não-inercial xyz. Na dinâmica, esses termos são referenciados freqüentemente como forças “fictícias” que aparecem devido aos efeitos de inércia presentes quando um sistema não-inercial de coordenadas xyz é usado: a força de Coriolis devido ao movimento da partícula dentro do sistema de coordenadas xyz, e as forças centrípeta e tangencial devido ao movimento de rotação do sistema de coordenadas xyz, respectivamente. Conforme esperado, a forma geral, Eq. 4.4, reduz-se à forma da aceleração retilínea, Eq. 4.3, quando os termos angulares são zero, e à forma do volume de controle inercial, Eq. 4.26, quando todos os termos

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