Baixe 3 - vectores e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! 3 VECTORES 3.1 Introducción 3.2 Concepto de dirección 3.3 Escalares y vectores 3.4 Adición de vectores 3.5 Componentes de un vector 3.6 Adición de varios vectores 3.7 Aplicación a problemas de cinemática 38 Producto escalar 3.9 Producto vectorial 3.10 Representación vectorial de una superficie 32 — Veciores (3.2 3.1 Introduceión Y Este capítulo servirá como una introducción, 0 re- paso, de las ideas esenciales asociadas con una rama de las matemáticas muy importante para el físico. El álgebra vectorial es. importante porque permite escribir en una forma conveniente y abreviada algu- nas expresiones muy complicadas. Por ejemplo, en álgebra elemental la ecuación 3 + 2y = 6 es una notación abreviada para todos los posibles pares de valores x- e y- que satisfagan esta ecua- ción. Es también posible describir esta misma re- lación de otra manera: mostrando un gráfico de esta ecuación como el de la figura 3-1. Ambos ejemplos son fácilmente comprensibles para cualquier estudiante que haya estudiado álgebra y geometria analítica, porque puede comprender la notación abreviada. En la misma forma, el álgebra vectorial es fácilmente com- prensible, una vez que la notación abreviada ha sido entendida. Al finalizar el capitulo se descubrirá que la notación vectorial no es diferente de la notación del álgebra y de la geometria analítica. La mayor diferencia está en la interpretación de esta notación. Una lectura meditada del capítulo acom- pafiada por una solución cuidadosa de todos los ejercicios ahorrará al estudiante muchos momentos difíciles en los capítulos siguientes. Figura 3-1 3.2 Concepto de dirección Cuando tenemos una linea recta, podemos movernos a lo largo de ella en dos sentidos opuestos, dichos sentidos se distinguen asignando a cada uno de ellos un signo, positivo o negativo. Una vez que el sentido positivo ha sido determinado, decimos que la linea está orientada y la Ilamamos un eje. Los ejes coordenados Xe Y son líneas orientadas en las cuales los sentidos positivos se han indicado 4) (h) Fig. 3-2. Ejes coordenados orientados. Fig. 3.3 Direcciones paralelas y antipa- ralelas. o Adición de vectores 35 ; , O Poe A | a da = LA Pal o Mr Li 4" Mass | - - LA mpnjoe X 112 3 4 | 1 i Fig. 3-6. El desplazamiento es una Fig. 3-7. Suma vectorial de dos cantidad vectorial, desplazamientos. ( AM. ; r | | i l ! V. sei 0 K All (a) d) A VF, B Vicos8 Fig. 3-8. La suma de vectores es conmutativa. Figura 3-9 Pero AD=AB+BD=Vi+V,cos6yDC = V, sen 8, Por consiguiente V? = =(V; + Vo cos de 02 + (V, sen 0) = Vi + VÊ 4 2V,V, cos 6, 6 V=/Vi + Vi42VVcos 6, (3.3) Para determinar la dirección de V, necesitamos solamente hallar el ângulo «. En la figura vemos que el triângulo ACD, CD = AC sen s, y que en el trián- gulo BDC, CD = BC sen 6, Por consiguiente V sena = V, sen 6 6 v V, sen 0 sena Análogamente, BE =Vsena=Vsenpó V Y sena senp. Combinando ambos resultados, obtenemos la relación simétrica v Y, A sen6 senB sena. (3.4) 3,5) Componentes de un vector 3? 8 Figura 8-19 Figura 83-18 Para encontrar el ângulo entre € y A, aplicamos la ec, (3.4), que en este caso es Cc B sen y sen 8 de tal modo que B sen 144º c Por consiguiente € es = 4,128 unidades y tiene una dirección que hace un ângulo de 36º + 85º = + 121º con el eje positivo X. senô = = 0,996 y 3 = 85º. (b) Para encontrar la diferencia entre dos vectores, debemos saber, justamente como en la aritmética ordinaria, qué cantidad debe ser substraída de otra. Esto es, si el vector D está definido como A — B (Fig. 3-14), entonces B— A es igual a — D. En esa forma, usando los enunciados de equivalencia de la parte (a) arriba, y de la ec. (3.6), encontramos la magnitud D = A— B en la forma D = [36 +49 26) (7) cos 144º = 12,31 unidades. Para encontrar la dirección de D, usamos la ec. (3.4): Y Do = +-sl. sen 36º sena * 0, desde que |— B| =D, sena = denso = 0,334 ó a = 19,5º y así resulta que D tiene 12,31 unidades de largo y Figura 8-14 hace un ângulo de 36º — 19,5º = 16,5º con eleje Positivo X. Se deja como ejercicio para el estudiante demostrar que — D = B — A tiene 12,31 unidades de largo y hace un ángulo de + 196,5º con el eje positivo X. 8.5 Componentes de un vector Cualquier vector V puede siempre considerarse como la suma de dos (o más) Vectores, siendo el número de posibilidades infinito. A cualquier conjunto de vec- tores. que al sumarse den V se les lama las componentes de V. 3.5) Componentes de un vector 3? Y A , = 36º . Lá B Õ A E B Figura 3-12 Figura 83-13 Para encontrar el ângulo entre € y A, aplicamos la ec, (3.4), que en este caso es C B seny senô de tal modo que B sen 144º sen 3 = E 0,996 y 3 = 85º. Por consiguiente € es — 4,128 unidades y tiene una dirección que hace un ángulo de 36º + 85º = + 121º con el eje positivo X. (b) Para encontrar la diferencia entre dos vectores, debemos saber, justamente como en la aritmética ordinaria, qué cantidad debe ser substraída de otra. Esto es, si el vector D está definido como A — B (Fig. 3-14), entonces B— A es iguala — D, En esa forma, usando los enunciados de equivalencia de la parte (a) arriba, y de la ec. (3.6), encontramos la magnitud D = A — B en la forma D= V 36 +49 — 26) (7) cos 144º = 12,31 unidades. Para encontrar la dirección de D, usamos la ec. (3.4): a sl, sen36º sena” 9, desde que |— B| = B, sena = sendo = 0,334 ó a = 19,5º y así resulta que D tiene 12,31 unidades de largo y Figura 8-14 hace un ângulo de 36º — 19,5º = 16,5º con el eje Positivo X. Se deja como ejercicio para el estudiante demostrar que — D = B— A tiene 12,31 unidades de largo y hace un ángulo de + 196,5º con el eje positivo X. 3.5 Componentes de un vector Cualquier vector W puede siempre considerarse como la suma de dos (o más) vectores, siendo el múmero de posibilidades infinito, A cualquier conjunto de vee- tores que al sumarse den V se les lama las componentes de V. 40 Vectores (3.5 El vector posición relativo de dos puntos P, y P, es 7 = P,P, (Fig. 3-19). En la figura notamos que OP, = OP, + P,P,, de modo que Fm =P, = OP, — OP, = fat = Uly — &y) + Uta — y) + Ud — 2). (3.14) Notamos que PP, =PP, Deberia observarse que, al aplicar Ia ecuación (3.11) a la ecuación (3.14), obtenemos la expresión de la geometria analítica para la distancia entre dos puntos: ta= Vm—m! + (h— nb + (o —a). EJEMPLO 3.2, Encontrar la distancia entre los puntos (6, 8, 10) y (— 4, 4, 10). Solución: Tracemos un sistema de ejes rectangulares e identifiguemos los dos puntos (Fig. 3-20). Vemos que ambos puntos están en un plano paralelo al plano X Y, puesto que ambos estân a una distancia (altura) de 10 unidades medidas según la dirección Z. Por la ec. (3.14), encontramos que el vector m es mm = u(—4—6) + u(4— 8) + ud10— 10) = ud 10) + ud 4) + ulO) = — 2410) — ud). 9 1-4, 4,10) Figura 8-19 Figura 83-20 Usando la ec. (3.11), encontramos que la magnitud es rã = 100 + 16 = 116 6 ray = 10,77 unidades. EJEMPLO 8.3. Hallar las componentes del vector de 13 unidades de largo que forma un ângulo 0 de 22,6º con el eje Z, y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo é de 37º con eleje + X (cf. Fig. 3-17). Encontrar también los ángulos con los ejesXeY. 3.6) Adiciôn de varios vectores 41 Solución: Usando la Fig. 3-17 para este problema, decimos que V = 13 unidades, 6 = 22,6º, cos6 = 0,928, sen 0 = 0,384, &=37º, cosg = 0,800, send = 0,800. Una simple aplicación de la ecuación (3.10) da Va = 13(0,384) (0,800) = 4,0 unidades, Vy = 13(0,384) (0,600) = 3,0 unidades, Ve = 13(0,923) = 12,0 unidades. En términos de la ec. (3.12) podemos escribir: V=uA4) + u(3) + ud12) Para los ânguios x y B que V forma con los ejes X e Y, tenemos cosa = = = 0,308 6 « = 721º cos 6 = =0281 68=77. EJEMPLO 38,4, Expresar la ecuación de una linea recta paralela al vector V = =usA + uB + ul y que pasa por el punto P,. Solución: Designando por r, el vector po- sición de P, (Fig. 3.21) y por r el vector posición de cualquier punto P en la Tecta, tenemos a partir de la ec. (3.14) que PP = = r— ro. Pero el vector P,P debe ser pa- ralelo a V, y por consiguiente debemos es- cribir P,P = AV, donde à es un parámetro aún indeterminado. Entonces r—rm=aF Figura 8-21 es la ecuación de la línea recta, al variar à, obtenemos los diferentes vectores de Posición r. Separando la ecuación en sus componentes rectangulares, tenemos >=, v—y=aB, w—z=AC, fã Ur Z—% A B Cc que es una de las formas usadas en la geometria analítica para expresar una línea recta. 3.6 Adición de varios vectores Para sumar varios vectores Vy Vo Va; -.., extendemos el procedimiento indicado en la Fig. 3-8 para el caso de dos vectores. El método para tres vectores se mues- 42 Veclores (3.7 tra en la Fig. 3-22. Esto es, dibujamos un vector después de otro, indicando la suma del vector por la línea que va del origen del primero al extremo del último. Entonces V=V+K+AW+.. (8.15) No existe una fórmula sencilla para expresar V en tér- minos de V,, Vo Vy ..., y es mejor utilizar el método de componentes. Consideremos, por simplicidad, el caso en que todos los vectores están en un plano, de tal modo que solamente tenemos que usar dos componentes, Entonces V = (ucVi + ua, Vig) + (UzVos + UyVog) Fig. 83-22. Suma de + Qua Vos + Us Voy) + nos varios vectores. = udVa + Vo + Voa d+...) +ufVio + Voy + Vagd-.) Por consiguiente Ve= Vad Vad Vad+.. =LVa=EVcosa, (3.16) Vo = Vi + Voy + Va = EViy= EVisena, donde «; es el ângulo que V; hace con el semieje positivo X y V; cos «q y V;sen a; son los componentes de V; a lo largo de los ejes X e Y. Una vez que conocemos Ve y Vo, calculamos V, usando la ec. (3.5). Ilustramos ahora el procedimiento con un ejemplo numérico, EJEMPLO 3.5. Hallar el resultado de la suma de los siguientes vectores: V, = u(4) + ul— 3) unidades, V, = uí(— 3) + uí2) unidades, V, = u2) + uí— 6) unidades, Vi = uM7) + uA— 8) unidades, y V, = 9) + uÁl) unidades, Solución: Aplicando la ecuación (3.16), tenemos Vz=4-34+2+7+9= 19 unidades, Vo=—34+2—6-—8+1=— 14 unidades, V = u(19) — w(14) unidades. La magnitud de Ves V = (19): 4 (— 14) = 23,55 unidades. Su dirección se halla a partir de tga = Vy/Ve = — 0,738 6 « = — 36,4º, que es el ângulo que V hace con eleje X. 3% Aplicación a problemas de cinemática Como una ilustración de cómo trabajar con los vectores en situaciones físicas sencillas, consideremos ahora algunos problemas de cinemática. La única supo- 3.8) Producto escalar 45 EJEMPLO 3.9. Hallar la aceleración de un cuerpo que se desliza a lo largo de un plano inclinado en un ángulo de 6. Solución: Sea P (Fig. 3-26) el cuerpo que P se desliza a lo largo del plano AB sin frie- ción. El plano AB está inclinado en un ángulo 6. Si el plano no estuviera presente el cuerpo caerta libremente a lo largo de ta vertical con la aceleración debida a la gravedad q = 9,8 m s“* (ver ejemplo 5.2). Las componentes de g paralela y perpen- > dicular ai plano (lamadas, respectivamen- [o te, a y a”) están dados por a = g sen 6 > 5 yu =gcos6. La componente a da la aceleración del Fig. 83-26. Aceleración a lo largo de cuerpo a lo largo del plano. un plano inclinado, 88 Producto escalar Es posible definir otras operaciones con vectores además de la suma, Una de estas operaciones es el producto escalar; otra es el producto vectorial, El producto escalar de dos vectores A y B, representado por el simbolo AB (leer “A multiplicado escalarmente por B”), se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de las magnitudes de Ay B con el coseno del án- gulo entre los dos vectores, A-B'= AB cos 6 (8.17) Obviamente A-A = 4º, ya que el ángulo en este caso es cero. Si los dos vectores son perpendiculares (9 = «/2), el producto escalar es cero, La condición de per- pendicularidad se expresa por A-B = = 0, El producto escalar es conmutativo; esto es, A.B = B-A, ya que el coseno de 6 es el mismo en ambos casos. El pro- ducto escalar es distributivo con respecto a la suma; esto es C(A+B)=CA+C-B. (318) Para probar la propiedad distributiva, notamos en la Fig. 3-27 que Fig. 8-27. El producto escalar es dis” CH(A+B)=|C||A+Bjcosy=C(0b), tributivo. ya que [A+ B] cos y = 0b. Análogamente, C- À = CAcosa=C(0a) y C.B=CBcosp = C(ab). Sumando, obtenemos C:A+C:B=C(0a + ab) = C(0b). 46 Vectores (3.8 Por consiguiente hemos probado la ecuación (3.18). Los productos escalares entre los vectores unitarios uz, Uy Y U; son UU Upu=U uu =], q º Ma nº 4g 2º UM (8.19) Url, = UytUz = UscUy — 0, Escribiendo Ay B en Iunción de sus componentes rectangulares de acuerdo con la ecuación (3.12), y aplicando la ley distributiva (3.18), tenemos A-B = (uz, + ua, + u,Ão) (usB; + u,B, + u.B,) = (ttg* Us)AzB + (tua ' u)A«By + (uz 'U)A;B, + (ug UA Br + (ug uDA,B, + (Wu) AB: + (uz U)A:Br + (mz u)A,B, + (uz Ui) A;B,. Aplicando las relaciones (3.19), obtenemos finalmente A-B = 4,B; + A,By + 4:By (3.20) resultado que tiene muchas aplicaciones. Notemos que A = AA SALA AÇ+ AS lo que está de acuerdo con la ecuación (3.11). Podemos aplicar las propiedades del producto escalar para derivar de manera sencilla la fórmula (3.3) para la suma de dos vectores. De V = V, + V;, tenemos VP=(N+V) (RAM =Vi+ Vi 2P PV, = Vi4 Vi+2VV cos 6 Este resultado se puede extender sin dificultar a cualquier número de vectores. Supongamos que V=V, + V+--:=2Z;V;. Entonces VP=(Nh+h+h+» =VIrViAviA +2W + 2F rs + + V + o, en una notación compacta, Vl= E V+2E VV; todos tos todos los vectores pares EJEMPLO 3.10. Encontrar el ángulo entre los vectores 4 = 2m; + 3uy—u y B=— us uy + us. Sotución: Calculamos primero su producto escalar, usando la ecuación (3.20): AB-U-DAMDAOI=—A1. 3.9) Producto vectorial 47 También A=/14941= 43,74 unidades B=J/1+1+4=/6= 245 unidades. Por consiguiente de la ec. (3,17), tenemos AB 1 AB 91 — 0.109, cos 8 = lo que corresponde a 6 = 96,3º. EJEMPLO 3.11. Expresar la ecuación de un plano perpendicular al vector V = = usA + uyB + w€ y que pasa por el punto P,. Solución: Designando el vector posición de P, por ro (Fig. 3-28), y el vector posición de cualquier punto P del plano por r, ve- mos que el vector PP ="— 1 debe ser perpendicular a V. Así Vr—r) =0 es la ecuación que debe ser satisfecha por los vectores posición r de todos los puntos del plano. Usando la ecuación (3.20), po- demos escribir A(r— 29) + Bly— to) + CE — am) = 0, que es la forma en la cual se expresa usual- mente la ecuación del plano en geometria Fig. 3-28. Ecuación vectorial de un analítica. plano. 38.9 Producto vectorial El producto vectorial de dos vectores A y B, representado por el símbolo A x B (leer “A multiplicado vectorialmente por B”), se define como el vector perpen- dicular al plano determinado por Ay B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B (Fig. 3-29). Un tornillo de rosca derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano derecha como se muestra en la (Fig. 3-29), con los dedos sefialando en la dirección de la rotación, el tornillo avanza en la dirección del pulgar. La mayoría de los tornillos ordinarios son de Tosca derecha. La magnitud del producto vectorial A x B está dada por JA x B|=AB sen 6 (3,21) Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A x B es la siguiente: Colocar el pulgar, indice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mos- E77) Vectores (3.9 Escribiendo 4 y B en función de sus componentes rectangulares, de acuerdo a la ec. (3.12), y aplicando la ley distributiva (3.23), tenemos AxB=(uAs +ou, uA) x (uzBe + (4,B, + u:B;) = (Uz x U)4cBr + (uz x U)A:B, + (ty x U)AB, + (uy x u)A,B: + (4, x U)A,B, + (Uy x U)A, Br + (um, x u)A;B: + (us x u)A;B, + (4; x UA. B.. Aplicando las relaciones (3.24), tenemos finalmente AxB=u(A4,B.— AB) + (AB: — AsB) + u(4:B,— 4,Bo). (3.25) La ec. (3.25) también se puede escribir en la forma más compacta de determinante, a UU As Ay A) (3.26) B. B, B AxB= Nata sobre los determinantes. Un determinante es una notación conveniente para designar cantidades que han sido combinadas en cierta forma simétrica. Un deter- minante de segundo orden es un arreglo de 2 x 2 números evaluados de acuerdo a la regla: q b, bd, Nótese que lo que hacemos es multiplicar a lo largo de las diagonales y sustraer. Un determinante de tercer orden es un arreglo de 3 x 3 números evaluados de acuer- do a la regla: = b, — ab. H % ds da bs by dy dd db dh b|=a +49 + a; GQ O Es €& E ts & G & = GíbaCa — Data) + au(baty — Dra) + Golbica — docs). Nótese el orden en que las columnas aparecen en cada término. El estudiante puede verificar que al aplicar esta regla a la ec. (3.26), obtendrá la ecuación (3.25). Para mayor información en determinantes, el estudiante debe consultar G. B. Thomas, Cálculo infinitesimal y geometria analítica, tercera edición; Madrid: Aguilar, seccio- nes 8-1 y 8-2. EJEMPLO 3.12, Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores A-lulJuy—us y B=—tu+ty + uz Solución: Calculemos primero el producto vectorial de 4 y B, usando la ecuación (3.26): Ur uy uz AxXxB= 2 3 0 —1|=7-u— Ju + Sus —1 i 2 3.10) Representación vectorial de un área 1 Luego el área del paralelogramo es justamente la magnitud de 4 x B, o Area = JA x B|= 49 +9 + 25 = 9,110 unidades. EJEMPLO 3.13. Hallar la distancia del punto P (4, — 1, 5) a la línea recta que pasa por los puntos P(—1,2,0)y Ps(1,1,4). Solución: La geometria del problema ha sido ilus- trada en la Fig. 3-33. Se ve que d = P,P sen 8. In- troducimos los vectores z A= PP y B= PPa de modo que, usando la ec. (3.14), obtenemos A = PP = Su 3% + 5, B= PP, = Qus—uy + dus Vemos entonces que ABsenO jAxB|. d=Aseng= sen B B Figura 8-38 De modo que, usando la ec. (3.26) para calcular el producto vectorial de 4 x B, obtenemos - Ur My Ms AxB=|5 —3 5 |=—TJuz— 104 + luz. 2 —1 4 Entonces [4x B|= V49 4 100 71 = /150=12,25,ygyaqueB= =V4+1+16= 21 = 4,582, obtenemos —4xBl “B d = 2.674, 3.10 Representación vectorial de una superficie En la discusión relacionada con la Fig. 3.31, indicamos que el producto vectorial A x B es igual en magnitud al área del paralelogramo cuyos lados están definidos por los vectores Ay B. Elio sugiere la posibilidad de asociar un vector con una superficie. Consideremos la superficie plana S (Fig. 3-34) cuya periferia L está orientada Como lo indica la flecha. Adoptaremos la convención de representaria por un Vector S, cuya magnitud es igual al área de la superficie y cuya dirección es per- Pendicular a la superficie. El sentido del vector es aquel en el cual avanza un tornillo de rosca derecha cuando su cabeza se gira en ei sentido de orientación dela periferia. Las componentes de S tienen un significado geométrico simple. Supongamos que el plano de la superficie $ hace un ángulo 8 con el plano XY (Fig. 35-35). La 52 Vectores (3.10 proyección de S en el plano XY es S cos 8, Pero la normal al plano de la super- ficie también forma un ângulo 6 con el eje Z. Por consiguiente, la componente Z del vector S es $, = $ cos 6. Luego concluimos que las componentes de S a lo largo de los ejes coordenados son iguales a las proyeccio- | nes de la superficie en los tres planos coordenados. ! Si la superficie. no es plana siempre puede ser posible i dividirla en un número muy grande de pequerias áreas A (figura 3-36) cada una de las cuales es prácticamente Plana, y representarla por un vector S;. De ese modo el vector que representa la superficie curva es S=S+S+8& +... =E 8. En este caso la magnitud de S no es igual al área de la superficie curva, la que es Z;S;; sin embargo, las magni- tudes de sus tres componentes son iguales a las áreas de las proyecciones de la superficie en los tres planos coor- COS | denados. Por ejemplo, consideremos un terreno, que sea en parte Fig. 8-84, Represen- horizontal y en parte esté en una ladera de una colina, tación vectorial de como se indica en la Fig. 537. Si S,y 8 son las áreas de una superficie. cada parte, el área total del terreno usable para la agricul- tura es S, + $,. Sin embargo, si el terreno debe ser usado para un edificio, lo que realmente es útil es la proyecciôn del terreno en un plano horizontal, esto es S, + Sy cos 6, El vector 8 = 8, + 8, que representa el terreno, tiene una magnitud S=V/S+45+28,8, cos 6, que es más pequefia que $, + S,. Pero su componente a lo largo del eje vertical Z es S,=S,+ S,cos 6, de acuerdo con la proyección del terreno en el plano horizontal XY. 8a 5 mo, mam, ny Fig, 38-85. Proyección de una superficie Fig. 8-86. Suma vectorial de superf- en un plano. cies. 3.43 Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vec- tores son iguales, entonces los vectores son perpendiculares. 3,14 Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpen- diculares, los vectores tienen magnitudes iguales. 3.15 Verificar que las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vectores A y B, expresadas en coordenadas rectangu- lares, están dadas por: = (As + Bat + (As + By) + + (As + Bopjtr y D = [(Ar— Bi) + (Ay— By + + (As — BJ respectivamente. 3.16 Dados los vectores A = ud) + dd) + ud 5) B = ud 1) + ui) + ud2). Encontrar: (a) la magnitud y dirección de su resultante, (b) la diferencia, de su vector 4—B, y (c) el ângulo entre AYyB, 3.17 Encontrar el resultado de la suma de los sigujentes vectores: (0) Vi= (5) + ud—2) + us, DD h=0(— D+ a) +ud(— 7), (O Pa=0d4) ud?) + ud6). Obtener la magnitud de la resultante Y los ângulos que hace con los ejes X-, Y,y Z.. 3.18 Dados los vectores: OD N= (D+) + wd4), (D) Vo=0A3) + ud—2) + ud—8), (O) Vo udd) +uXd) + ud4) (a) Determinar por cálculo directo si hay alguna diferencia entre los productos ha(Mxv) y (MxWxVo (D) Encontrar V(V, XV) y (HxV) PV Y determinar si hay alguna diferencia. Calcular (V, x V)"V, y comparar este Fesultado con los dos anteriores. 3.19 Expresar FPíV, x Vs) en forma de Problemas 55 determinante. A partir de ella derivar sus propiedades de simetria; esto es, Ve XV = Ve = VaeV, x Vi Demostrar que el valor del producto triple escalar es igual al volumen del paralelepípedo formado por los tres vec- tores. 3.20 Demostrar que: Vox (Vox Vo) = (Vr POP — (Pot Vos Sugerencia: Colocar el eje X a lo largo de Vs y eleje Y de modo que V, se encuentre en el plano XY, y verificar la relación por expansión directa. 3.21 Encontrar la distancia entre los puntos P, (4,5, — Ny P(—3, 6, 12). Escribir también la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos. 3.22 Encontrar la distancia del punto P(4, 5, — 7) a la recta que pasa por el punto Q(—3, 6, 12) y es paralela al vector V = udM4) — u/1) + u43). En- contrar también la distancia del punto P al plano que pasa por Q y es perpendicu- lar a V, 3.23 Demostrar que la distancia entre la recta que pasa por P, y es paralela a V,y la recta que pasa por P; y es paralela a V, es PPyvi* Vylldo x Vol. Nota: La distancia entre dos líneas que no se cortan se define como la longitud de la perpendicular más corta a ambas Kneas. Desarrollar el resultado anterior, utilizando las coordenadas de P, y P; y las componentes de V, y Vy. Aplicar al caso cuando P;(4, 5, — 7), P(—3, 6,129), H=wrutu y Pos (3) + ug + ud3). 3,24 Dados una recta que pasa por P(4, 5, — 7) paralela a V, = u(— 1) + + u(2) + ud— 4) y un plano a través de Q(—3, 6, 12) y perpendicular a Vau ud —1) + ud2). (a) Escri- bir las ecuaciones respectivas en coorde- nadas rectangulares. (b) Encontrar el punto de intersecclón de la recta y el plano. (c) Hailar el ângulo entre la linea y el plano. 56 Vectores 3.25 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(4, 5, — 7) y es paralela a la intersección de los planos 3x — 2y + +52 =10 y zx+y—2=4 Encon- trar también la ecuación de la intersec- ción, 3.26 Demostrar que si (V,, V, y V, su- man cero, entonces Px V,=F,x x Vo = VxV,. De estas relaciones, ob- tener: Vi/sen VV; = Vysen VaV, = = Vs/sen< V,V; donde < ViV; significa el ângulo entre los vectores V; y V;. 3.27 Demostrar que si dos vectores tienen la misma magnitud V y hacen un ângulo 6, su suma tiene una magnitud S=2Vcos1/20 y su diferencia D = = 2Vsen 1/28, 3.28 Utilizando las componentes de V, y V, expresadas en coordenadas esféri- cas (ec. 3.10) demostrar que el ângulo entre los vectores puede encontrarse a partir de cos O = sen 6, sen 8, cos (d, — — &) + cos, cosh, donde 6, es el ângulo entre los vectores. Este resul- tado es de gran uso en cálculos astronó- micos. Adoptar este resultado para obte- ner el ângulo entre las verticales en San Francisco (latitud: 37º 45º N; longitud: 122º 27' W) y New York (latitud: 40º 40' N; longitud: 73º 50º W). Verificar su respuesta con aquélla del problema 2.17, 3.29 Dado el conjunto de 3 vectores nocoplanares a, «,, as, los vectores al = RX ma xa” a — — AM mm xa dna ma, xa; se denominan vectores recíprocos. Demos- trar que ata =1 y que atm =0 donde i y j toman los valores 1, 2, 3. Discutir la disposición geométrica de los vectores recíprocos a!, a?, a* en relación Con m, &, &). 3.30 Demostrar que cualquier vector V puede escribirse en cualquiera de estas dos formas V=(Va) + (Veado, + (Va), = Ei(Veada ó V=(Veaa! + (Vea)o + (Vaso? = Ee(Vago'. 3.31 Denominando Via = Viy V'= = V-a' las componentes covariantes y con- travariantes de V, y gu= was, g!= alva, demostrar que Vi=EvVg!, Vi= EiV'gu Vi= EV! = DgVeVsg! = EgV'Vigu. Estas relaciones son muy importantes en cálculos vectoriales con coordenadas oblicuas, y son especialmente útiles en física del estado sólido en el tratamiento de la estructura cristalina de los sólidos. 3.32 Demostrar que algixa = 1jaca,x a. 3.33 Demostrar que r= as + bs+e (donde a, b y e son vectores constantes y s una variable escalar) representa una parábola situada en el plano formado por los vectores a y b y que pasa por un punto cuyo vector posición es e. 3.34 Demostrar que un vector unitarlo en tres dimensiones puede expresarse como u=ucosatucosB+tucose, donde los ángulos «, B y 6 están definidos en la Fig. 3-17, 3.35 Utilizando el hecho de que el vec- tor que representa una superficie cerrada es cero, demostrar que dos superfcies que tienen la misma línea cerrada como contorno están representadas por el mismo vector. 3.36 Una superficie abierta está limi- tada por un triángulo con vértices en (0, 0, 0), (2, 0, 0) y (0, 2, 0). Está cons- tituida por tres superficies triangulares teniendo cada una de ellas un lado coin- cidente con los lados del triângulo y un vértice común en el punto (a, b, e). De- mostrar que el vector que representa la superficie completa es independiente de (a, b, c). £Se esperaba este resultado en vista del problema 3.35? 3.37 Un tetraedro es un sólido limitado or cuatro superíicies triangulares. Con- siderar el tetraedro con vértices en los puntos (0,0,0), (2,0,0) (0,2,0) y (1, 1, 2). Encontrar: (a) el vector que representa cada cara; (b) el vector que representa todo el tetraedro; (c) la mag- nitud de la superficie del tetraedro. iEsperaba Ud. obtener el resultado ob- tenido en (b)? Problemas 57 3.38 Utilizando métodos vectoriales, encontrar: (a) la longitud de las diago- nales de un cubo; (b) sus ángulos con los lados adyacentes; (c) sus ângulos con las caras adyacentes; (d) el ángulo entre las diagonales. 3.39 Las caras de un tetraedro regular son triângulos equiláteros de lado a. Encontrar, utilizando métodos vecto- riales, el ángulo que hace cada lado con Ja cara opuesta y la distancia de un vér- tice a la cara opuesta,