Texto PDS capitulos 2010

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Capítulo 1 SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO

1.1 Introdução

Um sinal pode ser definido como uma quantidade física, variante no tempo e que transporta informação a respeito do comportamento de um sistema. Em geral, ele é representado matematicamente como uma função de uma ou mais variáveis independentes (tempo, espaço, etc.), porém, neste estudo, eles serão admitidas funções com somente uma variável independente, o tempo.

O modo mais comum de se classificar um sinal é dividi-lo em duas importantes classes. Os determinísticos e os aleatórios. Os sinais determinísticos são aqueles utilizados para propósitos de testes, modelagem e caracterização de sistemas. Dentre eles pode-se destacar: os sinais senoidais, a onda quadrada, a função degrau unitário, a função impulso, etc. Eles são bem definidos e em geral representados ou descritos por uma função matemática ou gráfica, onde se conhece o seu valor em qualquer instante de tempo, presente, passado ou futuro. Amplitude, frequência e fase são os seus principais parâmetros. Na segunda categoria recaem os sinais de informação propriamente ditos e aqueles provenientes da natureza, tais como: sinais de voz, áudio, vídeo, temperatura, dados digitais e também o ruído. Devido à natureza aleatória, eles só podem ser descritos utilizando como fundamento a teoria de probabilidades e algumas propriedades que apresentam, como por exemplo, estacionariedade e através de algumas médias tais como: valor médio, valor quadrático médio, variância e desvio padrão, função de autocorrelação e espectro densidade de potência.

A variável independente também é uma outra quantidade muito importante para classificar os sinais.

Os sinais de tempo contínuo são classificados por uma variável independente que pode assumir qualquer valor dentro de uma faixa contínua e que pode se estender até o infinito; estes sinais são chamados mais raramente de analógicos. Já os sinais de tempo discreto são definidos em instantes de tempos discretos, tn, n ∈ Z. A variável independente assume valores discretos, provavelmente não enumerável, e portanto eles são representados por uma sequência de números.

A amplitude do sinal também pode ser discreta ou contínua. No caso discreto ela é quantizada, isto é aproximada para um valor pertencente a um conjunto finito de amplitudes e em seguida codificada digitalmente. Neste caso têm-se os sinais digitais, onde tanto a amplitude quanto o tempo são quantidades discretas. Neste estudo, na maioria das vezes não se fará nenhuma referência com relação à amplitude, de forma tal que os sinais serão admitidos de tempo discreto, mas cuja amplitude pode assumir qualquer valor dentro de uma faixa contínua pertencente aos números reais.

Um sistema pode ser definido como um dispositivo que realiza uma operação matemática em um sinal. Como um exemplo de sistema pode se citar um filtro utilizado para reduzir ruído ou interferências em um sinal aplicado em sua entrada. Os sistemas podem ser classificados do mesmo modo que os sinais. Sistemas contínuos ou analógicos são aqueles em que as entradas e saídas são sinais de tempo contínuo. Os discretos são aqueles cujas entradas e saídas são sinais de tempo discreto e os digitais são aqueles cujas entradas e saídas são sinais digitais. Quando se passa um sinal através de um sistema dizemos que ele foi processado, daí o nome processamento de sinais.

Neste capítulo serão estudados os principais conceitos e propriedades para sinais e sistemas de tempo discreto.

1.2 Sinais de tempo discreto

Os sinais de tempo discreto são em geral, originados através da amostragem do sinal contínuo, cujo intervalo de amostragem é constante e especificado pelo teorema de Nyquist, que será estudado no capítulo 2. Como um exemplo de um sinal contínuo e um de tempo discreto, considere o seguinte sinal exponencial,

Este sinal é definido para qualquer instante de tempo no intervalo -∞ < t < ∞, como mostra a figura 1.1.a., sendo portanto um sinal de tempo contínuo. Admitindo agora, que este sinal é definido somente

nos instantes tn: n = 0, ±1, ±2,, como mostra a figura 1.1.b, então este novo sinal passa a ser de tempo

discreto. Neste caso tem-se que,

t -5 0 5

Figura 1.1: Representação gráfica do sinal das equações (1.1) e (1.2).

Na figura 1.1.b o sinal discreto é representado por retas (raias) paralelas ao eixo de tempo discreto.

Observe que nada se especifica a respeito do sinal amostrado entre dois intervalos adjacentes tn e tn+1 pois a variável é definida somente para valores discretos. Isto não implica que ele não apresente valores nestes intervalos, mas somente que não é definido. Os instantes de tempo são regularmente espaçados tais que tn = nTa (Ta é chamado de intervalo ou período de amostragem). A notação comumente utilizada para este tipo de sinal é x(n) = x(nTa) e o sinal passa a ser representado por uma sequência de números {x(n)}. Admitindo, por exemplo, na equação (1.2) Ta = 0,1 s, tem-se a seguinte sequência,

Como foi comentado acima, um sinal de tempo discreto é associado a uma sequência de números {x(n)} como aquelas convencionalmente utilizadas em matemática. Assim é interessante especificar as operações básicas que se realizam com sequências.

(a) Soma de sequências

Soma-se amostra com amostra das sequências individuais. Observe que estas sequências devem apresentar o mesmo tamanho. No caso de sequências com tamanhos diferentes o problema pode ser resolvido acrescentando-se zeros à sequência de menor tamanho.

(b) Produto de sequências

Multiplica-se amostra por amostra das sequências individuais. Observe que, como anteriormente, estas sequências devem apresentar o mesmo tamanho.

(c) Multiplicação por um escalar α ()()nxnyα=

Multiplica-se cada elemento da sequência por α. (d) Atraso em uma sequência

Em que, nd é um número inteiro positivo qualquer. Observe que no instante n = 0, y(0) = x(-nd), assim, y(n) está atrasada por nd amostras em relação à x(n). Se nd for um número negativo então se diz que y(n) está avançada por nd amostras em relação a x(n).

1.3 Sinais de tempo discreto básicos

Existem alguns sinais discretos que são muito utilizados no desenvolvimento da teoria de processamento digital de sinais e no estudo, modelagem e teste de sistemas. Alguns destes sinais são definidos a seguir.

1.3.1 Sequência amostra unitária

Este tipo de sinal ou sequência desempenha o mesmo papel que a função impulso unitário δ(t) desempenha nos sistemas contínuos no tempo. Ele também é chamado, sem distinção com os sistemas contínuos, de função impulso, impulso unitário ou pulso unitário.

Qualquer sequência x(n) pode ser representada por uma sequência ponderada de funções amostras unitárias tais que:

k k kna em que: ak = x(k). 1.3.2 Sequência degrau unitário

Esta sequência é muito útil quando se pretende distinguir índices positivos (tempo positivo) dos negativos. Identificamos assim, os sinais causais, isto é, sinais que são nulos para n < 0, ou seja, que apresentam valores somente para índices positivos. Para esta sequência as seguintes relações são válidas:

0kn k knknu (1.7)

Esta sequência é muito utilizada em processamento digital de sinais. Ela aparece com frequência no estudo de sistemas lineares de tempo discreto. Um sistema linear de primeira ordem apresenta como resposta ao impulso uma função exponencial, como será visto mais adiante. Uma sequência exponencial causal é representada como abaixo, assim, ela apresenta todos os seus valores nulos para n < 0. No caso de α < 1 ela toma a forma de uma exponencial amortecida com mostra a figura 1.2.

0.2 0.4

0.6 0.8

Figura 1.2: Sinal exponencial. 1.3.4 Sequência senoidal

Um sinal senoidal de tempo discreto é uma oscilação harmônica que pode ser expressa por uma das formas mostradas abaixo,

A equação (1.13) representa a forma complexa da senóide e as outras duas anteriores representam as formas reais. Este sinal possui três parâmetros que o caracterizam completamente: a amplitude A, a frequência w0 e o ângulo de fase φ.

Figura 1.3: Sinal senoidal de tempo discreto.

É necessário fazer uma observação importante com relação à frequência dos sinais contínuos e dos discretos. As letras maiúsculas Ω e F serão utilizadas para representar as frequências analógicas e as minúsculas w e f serão utilizadas para representar as frequências digitais. Neste caso w tem a unidade de radianos por amostra e f a unidade de ciclos por amostra e estão relacionadas por:

As frequências analógicas e digitais estão relacionadas pelo período ou pela frequência de amostragem do sinal como segue,

em que, Ta é o período de amostragem do sinal. Observe que quando for necessário determinar a frequência de um sinal analógico que gerou o amostrado basta multiplicar a frequência digital pela de amostragem.

Para mostrar este resultado, considere o seguinte sinal senoidal de tempo contínuo,

Admitindo que se colhe uma amostra deste sinal a cada Ta segundos então o sinal amostrado será dado por:

Propriedades de um sinal senoidal de tempo discreto a) Sinais senoidais cujas frequências são separadas por múltiplos inteiros de 2π são idênticos.

b) A taxa mais alta de oscilação para sinais de tempo discreto é obtida quando w = π ou f = 0.5. Para provar esta propriedade, considere uma sequência x(n) tal que:

Seja uma outra sequência x1(n), com frequência maior que π, tal que: ( ) ( )[ ]nwcosAnx π+= 01

Assim, a princípio, a frequência de x1(n) seria w0 + π, mas esta afirmação não é verdadeira pois:

Pela propriedade anterior, propriedade (a) e ainda relembrando que a função cosseno é par tem-se que:

Assim, a frequência deste sinal será π - w0, logo ela pertence ao intervalo (0,π). Portanto a frequência de oscilação mais alta é obtida quando w = π.

c) Um sinal senoidal discreto é periódico se e somente se a frequência for um número racional.

Definição: “Se uma sequência x(n) é periódica, com período N, então x(n) será igual a x(n+N), em que N é o menor inteiro que satisfaz a relação x(n) = x(n+N)”.

Seja:

()()nfcosAnx02π= Se x(n) é periódica então:

Observe que pela propriedade (a) a relação acima é verdadeira se existir um número M, inteiro tal que:

Portanto f0 deve ser um número racional para a sequência ser periódica. d) Um sinal senoidal pode ser obtido pelas relações de Euler:

() j eesen

1.4 Algumas definições sobre sinais de tempo discreto 1.4.1 Energia A energia de um sinal de tempo discreto é definida pela seguinte equação:

Se o sinal x(n) apresentar energia finita ele é chamado de sinal de energia. Os sinais de duração finita, isto é, aqueles que apresentam somente N amostras não nulas, têm sempre energia finita. Os sinais de duração infinita e que apresentam energia finita são caracterizados por valores de amostras que tendem a zero conforme n tende a infinito.

Em geral, os sinais periódicos e os processos aleatórios apresentam energia infinita. Para estes casos é apropriada a definição de potência média que é dada pela seguinte equação:

Nn N nxN

Se o sinal é periódico, com período fundamental N, então a potência média é definida por:

n nxN

1 e AeAeAAeE n n n

Exemplo 2: Determine a potência da sequência degrau unitário u(n).

N/limN

NlimN limnuN limP N n N n N

Exemplo 3: Determine a potência de um sinal complexo, composto pela soma de duas componentes senoidais, com frequências w1 e w2 diferentes, tais que:

em que, A1 e A2 são constantes reais e positivas. - Cálculo de |x(n)|

- Cálculo da Potência nwwjnwwjN eeAAAAN

nwwjnwwjN eeN

Examinando o limite: ()01 11lim1lim )21(

∞→ ∑ wwj NwwjN nwwj

N eeNeN L

Portanto:

2221AAP+= Pode-se mostrar também que para M senóides complexas distintas a potência média será:

k kAP 0

Neste exemplo foram considerados sinais senoidais complexos. Para a situação em que se tem M sinais senoidais reais com frequências distintas, a potência média será dada por:

1.4.3. Sequências simétricas e anti-simétricas Seja x(n) uma sequência complexa e x*(n) o seu conjugado.

Uma sequência é denominada anti-simétrica (impar) se: ()()nxnx*−−=

É possível também obter uma sequência simétrica xe(n) ou uma anti-simétrica xo(n) a partir de uma sequência qualquer x(n) através das seguintes expressões:

1.5 Sistemas de tempo discreto

Os sistemas de tempo discreto são definidos do mesmo modo que os sistemas contínuos. Eles são definidos matematicamente como uma transformação que se opera em uma sequência de entrada x(n) produzindo uma sequência de saída y(n) chamada de resposta do sistema à excitação x(n). Esta transformação é representada pela seguinte relação:

em que o operador T[.] representa a transformação e a sua representação gráfica é feita pelo diagrama de blocos mostrado na figura abaixo.

Figura 1.4: Representação de um sistema de tempo discreto.

Exemplo 4: Segue a seguir alguns exemplos de sistemas de tempo discreto que são muito utilizados em processamento digital de sinais:

a) Sistema de atraso

Admitindo nd um número inteiro positivo, este sistema atrasa (desloca) o sinal de entrada por nd amostras. No caso de nd ser negativo ele avança pela mesma quantidade de amostras.

b) Acumulador

O sistema acumulador calcula a soma de todos os valores passados da entrada até o instante presente (atual). Ele é definido pela seguinte equação:

k kxny (1.28)

Isolando o termo de ordem n da expressão acima se tem que:

k kxnxny

A equação (1.29) justifica o termo acumulador, pois a saída depende do valor presente da entrada e do valor anterior y(n-1) da saída. Além disso, a sua resposta não é unicamente determinada pela entrada, mas depende das condições iniciais do sistema, isto é, do estado do sistema antes de se aplicar a excitação. Considerando, por exemplo, que no sistema que é aplicado a função nu(n), pode-se observar que a saída depende de y(-1).

- admitindo y(-1) = 0 tem-se:

0 nnnnkykkkuny

- admitindo y(-1) = 1 tem-se:

nnnnkykkkuny

nknkn k

as condições iniciais são nulas, isto é, y(-1) = y(-2) == 0, o sistema é dito estar em repouso (ou

Observe que os resultados anteriores mostram que a saída depende de y(-1). Frequentemente, quando relaxado).

c) Sistema sem memória

Um sistema sem memória é aquele cuja saída depende somente da entrada no instante n. Por exemplo, o sistema definido pela equação (1.30) não tem memória.

1.5.1 Sistemas lineares de tempo discreto

princípio da superposição, isto é: Admitindo y1(n), y2(n),, yM(n) as respostas do sistema
correspondentes, respectivamente, às excitações x1(n), x2(n),, xm(n), então o sistema é linear se e

Um sistema linear de tempo discreto (que será abreviado pela sigla (LTD) é aquele que obedece ao somente se :

- 10 -

em que, M é um número inteiro qualquer e a1, a2,, aM são constantes.

a) O sistema y(n) = nx(n) é linear pois:

nknkn k

1.5.2 Sistemas lineares invariantes ao deslocamento

Um sistema LTD invariante ao deslocamento é aquele cuja característica não varia com o deslocamento provocado na entrada. Assim, um sistema LTD é invariante ao deslocamento se e somente se:

Exemplo 6: Exemplos de sistemas invariantes e variantes ao deslocamento:

Seja ()dn,ny a saída do sistema quando se aplicado em sua entrada uma sequência ()dnnx−. a) O diferenciador, y(n) = x(n) – x(n-1) é invariante ao deslocamento pois:

() ( ) ( ) ( )d nnynnxnnxn,ny −=−−−−= 1 b) O sistema y(n) = nx(n) é variante ao deslocamento pois quando é aplicado x(n-nd) tem-se:

() ( ) ( ) ( )d nnynnxnxny −≠−−=−= 1 d) O compressor y(n) = x(Mn) é variante ao deslocamento a não ser que M =1.

- 1 -

x(n-1), x(n-2),}, e não depende dos valores futuros {x(n+1), x(n+2), ..., y(n+1), ...}.

Um sistema é chamado causal se o sinal presente na sua saída y(n), em qualquer instante n, depende somente dos valores nos instantes passados da saída e nos instantes presente e passados da entrada {x(n), Uma outra definição muito usual para os sistemas causais é a que segue:

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