Texto PDS capa intro 2010

Texto PDS capa intro 2010

Processamento Digital de Sinais

Marcelo Basílio Joaquim São Carlos - 2010

Índice

Apresentação i

Capítulo 1 – Sinais e Sistemas de tempo discreto 1 1.1 Introdução 1 1.2 Sinais de Tempo Discreto 1 1.3 Sinais de tempo discreto básicos 3 1.3.1 Sequência amostra unitária 3 1.3.2 Sequência degrau unitário 3 1.3.3 Sequência exponencial 3 1.3.4 Sequência senoidal 4 1.4 Algumas definições sobre sinais de tempo discreto 6 1.4.1 Energia 6 1.4.2 Potência 6 1.4.3 Sequências simétricas e anti-simétricas 8 1.5 Sistemas de tempo discreto 8 1.5.1 Sistemas lineares de tempo discreto 9 1.5.2 Sistemas lineares invariantes ao deslocamento 10 1.5.3 Sistemas causais 10 1.5.4 Sistemas estáveis 1 1.5.5 Representação em diagrama de blocos dos sistemas de tempo discreto 12 1.5.6 Sistemas lineares discretos e invariantes ao deslocamento 13 1.5.7 Soma de convolução 13 1.5.7.1 Propriedades da convolução e sistemas LID 15 1.5.8 Causalidade e estabilidade em sistemas lineares invariantes ao deslocamento 15 1.6 Equação linear de diferenças com coeficientes constantes 17 1.6.1 Solução da equação de diferenças 17 1.6.2 Resposta ao impulso 19 1.7 Representação de sinais e sistemas discretos no domínio da frequência 20 1.8 Transformada de Fourier para sequências 2 1.8.1 Espectro densidade de energia 23 1.8.2 Propriedades da transformada de Fourier para sinais discretos 25 Exercícios 30

Capítulo 2 – Amostragem de sinais 35 2.1 Sinais de tempo discreto 35 2.2 Amostragem de sinais 35 2.3 Teorema da amostragem 36 2.4 Conversão da taxa de amostragem 39 Exercícios 4

Capítulo 3 – A transformada z 45 3.1 Introdução 45 3.2. Definição de convergência 45 3.2.1 Região de convergência 46 3.2.2 Propriedades da região de convergência 50 3.3 Transformada z inversa 51 3.3.1 Método formal pela integral de contorno 51 3.3.2 Método por inspeção 53 3.3.3 Método por expansão em frações parciais 54 3.3.4 Método por expansão em série de potências 57 3.3.5 Método pela divisão longa 58 3.4 Propriedades da transformada z 59 3.4.1. Linearidade 59

3.4.2 Deslocamento no tempo 59 3.4.3 Diferenciação de X(z) 59 3.4.4 Multiplicação por uma sequência exponencial 60 3.4.5 Complexo conjugado de uma sequência 60 3.4.6 Reversão no tempo 60 3.4.7 Convolução de sequências 60 3.4.8 Teorema do valor inicial 60 3.4.9 Teorema do valor final 60 3.4.10 Teorema da convolução complexa 60 3.4.1 Teorema de Parseval 60 3.5 Aplicação em sistemas lineares 61 3.5.1 Representação de um sistema utilizando a transformada z 61 3.5.2 Função do sistema a partir da equação de diferenças 61 3.5.3 Estabilidade e causalidade 63 3.5.4 Obtenção da resposta em frequência a partir do gráfico de polos e zeros 65 Exercícios 67

Capítulo 4 – Transformada discreta de Fourier 71 4.1 Introdução 71 4.2 Transformada de Fourier para tempos discretos 72 4.3 Transformada Discreta de Fourier 73 4.4 Transformada Discreta de Fourier Inversa 75 4.5 Propriedades da TDF 75 4.5.1 Periodicidade 76 4.5.2 Linearidade 7 4.5.3 Deslocamento circular x(n) 7 4.5.4 Deslocamento circular em X(k) 78 4.5.5 TDF de sequências reais 78 4.5.6 Convolução circular 78 4.5.7 Convolução linear 80 4.6 Uso da DFT em análise espectral 81 Exercícios 84

Capítulo 5 – Filtros Digitais 85 5.1 Introdução 85 5.2 Projeto de filtros digitais com resposta ao impulso infinita - IIR 85 5.2.1 Método por aproximação das derivadas 86 5.2.2 Método por invariância ao impulso 8 5.2.3.Método por transformação bilinear 91 5.3 Família de filtros analógicos 93 5.3.1 Resposta de Butterworth 93 5.3.1.1 Especificações para o projeto de filtros passa-baixas 95 5.3.2 Resposta de Chebyshev 96 5.3.3 Filtros Elípticos 103 5.3.4 Filtros de Bessel 106 5.4 Exemplo de projeto de um filtro IIR 107 5.4.1 Pelo método por aproximação das derivadas 107 5.4.2 Método por transformação bilinear 108 5.5 Projeto de filtros digitais com resposta ao impulso finita - FIR 110 5.5.1 Definição de um filtro FIR 110 5.5.2 Condição de fase linear 110 5.5.3 Localização dos zeros de um filtro FIR com fase linear 112 5.6 Projeto de filtros FIR por janelas 113 5.7 Projeto de filtros FIR utilizando janela de Kaiser 117 5.8 Projeto de filtros FIR por amostragem em frequência 119 Exercícios 122

Capítulo 6 – Projetos otimizados de filtros 125

6.1 Projeto de filtros FIR equiripple 125 6.2 Aproximação de Padé 131 6.3 Método de Prony 133 6.4 Projeto de filtros FIR pelo método dos mínimos quadrados 134

Bibliografia 139

Apêndices

A1 – Janelas 141 A2 – FFT 145 A3 – Fórmulas e tabelas 153

Apresentação

Processamento digital de sinais (PDS) é o tratamento que se aplica a um sinal de tempo discreto. Este processamento é executado por meios digitais: computadores ou processadores digitais.

Com o advento dos computadores no início da década de 60, e com o desenvolvimento de algoritmos como o da transformada rápida de Fourier - FFT (Coley and Tukey – 1965), tem início a uma nova etapa no campo de tratamento de sinais e suas aplicações. O desenvolvimento dos microprocessadores (década de 1970) e dos processadores digitais (década de 1980): ampliaram as aplicações de PDS. Por volta de 1975 tem-se a publicação dos primeiros livros importantes no assunto:

• Openheim, A. V. and Schafer, R. W., Digital Signal Processing. • Rabiner & Gold, Theory and Applications of Digital Signal Processing.

A maior parte dos sinais encontrados são contínuos no tempo, por exemplo, áudio, vídeo, temperatura. Assim, para o tratamento digital, tem-se necessidade de converter as informações em sinais elétricos de tempo contínuos por meio de transdutores e em seguida digitalizar estes sinais, isto é: converter do tempo contínuo para o tempo discreto (digital) utilizando conversores AD. Os principais componentes de um sistema DSP típico são mostrados na figura 1.

Filtro

Filtro

(I) x(t) y(t) x(t) x(n)

− Filtro I: Filtro anti-aliasing − AD: Conversor analógico digital

− DSP: Computador digital ou processador digital de sinais

− DA: Conversor digital analógico

− Filtro I: Filtro anti-imaging (filtro de reconstrução)

Figura 1: Componentes de um sistema para processamento digital de sianis. Algumas vantagens DSP:

− Programabilidade: Uma implementação em PDS é mais flexível, desde de que é mais fácil de se modificar (o software pode ser atualizado, refeito ou modificado).

− Estabilidade e Repetibilidade: Apresenta melhor qualidade do sinal, estabilidade e repetibilidade no desempenho do sistema, pois o sistema é representado na forma digital e a implementação é através de algoritmos que não dependem de tolerância de componentes, envelhecimento, etc.

− Aplicações especiais: Alguns processamentos são realizados com mais eficiência na forma digital: compressão, filtros com fase linear.

Agumas desvantagens de DSP:

− Não é econômico em aplicações simples: os conversores AD e DA, em geral encarecem o sistema.

− Limitação em frequência, consumo alto de potência.

Algumas aplicações de DSP

− Gravação digital de áudio.

− Compressão de sinais de voz e de áudio para aplicações em telefonia digital, armazenamento em CD.

− Implementação de modem.

− Enriquecimento de imagem e compressão.

− Síntese da fala e reconhecimento.

− Predição de sinais ou saídas de sistemas.

− Controle.

− Bioengenharia.

Este texto tem como objetivo apresentar aos alunos iniciantes uma abordagem dos tópicos básicos da matéria processamento digital de sinais. Alunos de Engenharia Elétrica têm a necessidade de entrar no mercado de trabalho com algum conhecimento básico de PDS. A intenção é apresentar um texto introdutório para ser utilizado em cursos de graduação nas áreas de Engenharia Elétrica, Engenharia de Computação e áreas afins, onde existe a necessidade de se trabalhar com sinais e sistemas de tempo discreto.

No capítulo 1 são introduzidos os conceitos de sinais e sistemas de tempo discreto e como trabalhar com estes nos domínios do tempo e frequência. São apresentados também os sistemas lineares de tempo discretos e suas ferramentas matemáticas de análise. No capítulo 2 são introduzidos o conceito de amostragem periódica de sinais, o teorema da amostragem e seus efeitos. Os capítulos 3 e 4 são reservados, respectivamente, para a apresentação da transformada z e da transformada discreta de Fourier (TDF) com exemplo de aplicação em análise espectral. A transformada rápida de Fourier, através do algoritmo de decimação no tempo, é apresentada no apêndice A-2, para os interessados em conhecer tal algoritmo. E os capítulos 5 e 6 são utilizados para o estudo de projetos de filtros digitas. No capítulo 5 são estudados os projetos clássicos de filtros seletivos em frequência utilizando os filtros com resposta ao impulso infinita (IIR) e os projetos de filtros com resposta ao impulso finita (FIR): projeto por janelas e por amostragem em frequência. No capítulo 6 são apresentados alguns projetos otimizados de filtros, incluindo o algoritmo de Parks-McClellan para filtros FIR e os métodos de aproximação de Padé, de Prony e método dos mínimos quadrados para filtros IIR. Para auxiliar o estudo outros dois apêndices são incluídos: um para janelas (A-1) e um com formulas e tabelas utilizadas em PDS (A-3).

Marcelo Basilio Joaquim

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