notas de aula sel0360 A

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Análise de Fourier

1.1. Introdução à representação de sinais

Os sinais elétricos tais como tensão e corrente são quantidades descritas, na maioria das vezes, no domínio do tempo. Em telecomunicações e em outras áreas relacionadas com tratamento de sinais é mais conveniente verificar o comportamento destes sinais no domínio da frequência, onde o sinal é constituído por componentes senoidais de frequências diferentes. Neste caso se consegue extrair uma série de parâmetros e informações que facilitam a análise.

Um sinal senoidal é completamente descrito no domínio do tempo, mas pode ser representado também no domínio da frequência, como ilustra a figura 1.1, na qual uma senóide é representada em um espaço tridimensional com um eixo de amplitude e outros dois eixos de tempo e frequência. Os eixos de tempo e amplitude determinam um plano que é chamado de plano de tempo, da mesma forma, os eixos de frequência e amplitude determinam o plano de frequência que é normal ao plano de tempo.

Figura 1.1: Representação de um sinal senoidal no domínio do tempo e da frequência.

A representação nos dois planos pode ser imaginada como a projeção da senóide em cada um deles. No plano de tempo a forma de onda assume o aspecto já conhecido sendo completamente determinada pela sua amplitude, período e fase. No plano de frequência a projeção da senóide assume a forma de uma raia com amplitude igual à da senóide. Devido à simetria do sinal não é necessário projetar a variação pico-a-pico da senóide, e sim apenas a amplitude positiva. Isso é mostrado no diagrama de amplitude por uma raia de amplitude positiva, sendo que a sua posição no eixo de frequência coincide com a frequência da senóide.

Uma informação adicional se faz necessária para determinar a posição da senóide em relação ao instante zero, tomado como referência. Esta informação é fornecida pelo diagrama de fase que consiste também de um impulso localizado no eixo de frequência e a sua amplitude indica a fase associada à senóide.

A função cosseno é tomada como referência. O diagrama de fase pode ser determinado por convenção, verificando o pico positivo mais próximo do instante zero. Para o caso da figura 1.1 o pico positivo mais próximo ocorre depois do instante inicial, distanciado de um quarto de período, ou seja, 90º. Como este pico ocorre depois do instante zero a senóide é dita atrasada. Por uma questão de convenção o atraso é representado por um sinal negativo na fase. Se o pico positivo mais próximo ocorresse antes do instante zero a senóide estaria avançada, e nesta situação, a fase seria representada com um sinal positivo. Esta convenção é mostrada na figura 1.2.

Figura 1.2: Representação de um sinal senoidal mostrando a convenção de fase.

1.2. Sinais não senoidais

É possível representar qualquer tipo de sinal elétrico, desde que ele seja periódico, como uma soma de senóides. Por exemplo, na figura 1.3.a observa-se a representação uma senóide com frequência f0 e atraso de fase de 90º, na parte b tem-se uma outra senóide com frequência 2f0 e atraso de fase de 45º, e na parte c está representada a composição (soma) destes dois sinais senoidais.

(b) Senóide com frequência 2f0, amplitude A/2 e fase -45º. (a) Senóide com frequência f0, amplitude A e fase -90º.

(c) Sinal não senoidal composto pela soma dos dois sinais anteriores.

Figura 1.3: Composição de dois sinais senoidais.

Para completar este exemplo a figura 1.4 mostra uma representação tridimensional do sinal, as projeções dos sinais nos planos de tempo e frequência, bem como o resultado da soma das duas senóides. As projeções no plano de tempo estão representadas por linhas tracejadas e a soma por uma linha contínua.

Figura 1.4: Sinal não senoidal resultante da composição de dois sinais senoidais.

O processo, ilustrado nas figuras 1.3 e 1.4, pode ser estendido com a adição de mais senóides, conduzindo a diferentes resultados. Cada forma de onda é caracterizada por uma única combinação de senóides, qualquer modificação na frequência, amplitude ou fase dos componentes senoidais muda a projeção no plano de tempo, e a forma de onda resultante se torna diferente. Esse fato pode ser ilustrado repetindo a soma feita na figura 1.4 com a fase da senóide de frequência 2f0 modificada de -45º para +45º.

Como pode ser observado na figura 1.5, uma simples mudança na fase de um dos componentes, acarreta uma modificação significativa na forma de onda final (linha contínua) em relação àquela vista anteriormente.

Figura 1.5: Soma de dois sinais senoidais com variação na fase de um dos componentes.

A partir dessas observações, pode-se imaginar que um sinal periódico qualquer, não senoidal, deve ser formado por um determinado número de componentes senoidais, cada um com frequência, amplitude e fase bem determinadas. O método matemático para se obter informação de um sinal no domínio da frequência é a técnica conhecida como Análise de Fourier. Esta técnica permite que um sinal no domínio do tempo seja descrito no domínio da frequência em termos de seus componentes senoidais, como será visto a seguir.

1.3. A Série de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu na França e se tornou um dos maiores administradores, historiadores e matemáticos do século XIX. Através de seu grande interesse em condução de calor iniciou em 1807 um trabalho sobre Théorie Analytique de la Chaleur que foi publicado em 1822. Este trabalho mostra como uma série matemática com termos em senos e cossenos pode ser usada para analisar a condução de calor nos corpos sólidos.

A análise de Fourier não se aplica apenas à condução de calor, mas se estende a outras áreas como por exemplo: controle, telecomunicações, antenas, processamento de notas de aula sel0360 -6- sinais, vibrações mecânicas, ótica, bioengenharia, etc.

1.3.1. Condições para existência

A primeira condição para se construir uma série de Fourier para um determinado sinal é que este seja periódico. Isto quer dizer que se uma forma de onda pode ser representada por x(t) há uma constante de tempo T, tal que x(t) = x(t + T), em que T é o período do referido sinal. O período T é o menor valor que satisfaz a condição x(t) = x(t + T). A rigor a periodicidade deveria se verificar para todo o tempo, ou seja, de menos infinito a mais infinito, mas na prática a série de Fourier pode ser definida dentro de um intervalo observável. Em outras palavras, a saída de um gerador de onda quadrada pode ser considerada periódica a partir do instante em que o mesmo é ligado até o instante do seu desligamento. A série de Fourier, entretanto, é escrita para o sinal de saída do gerador como se o mesmo funcionasse de menos infinito a mais infinito. Além da periodicidade outras condições necessárias para a existência da série de Fourier são as condições de Dirichlet:

1. Se a função apresenta descontinuidade, o número delas deve ser finito em um período. 2. A função deve conter um número finito de máximos e mínimos durante um período. 3. A função deve ser absolutamente integrável em um período, isto é:

t dttx em que x(t) descreve a função.

Na figura 1.6 as condições de existência da série de Fourier para a onda quadrada podem ser observadas.

TT
-T/2T/2

x(t) t a) periodicidade: x(t) = x(t+t) t T t b) Número finito de descontinuidades. c) Número finito de máximos e mínimos. d) absolutamente integrável.

Figura 1.6: Verificação das condições de existência da série de Fourier para uma onda quadrada.

1.3.2. Série de Fourier na forma trigonométrica

Uma função x(t) periódica com período T pode ser expressa pela série trigonométrica de Fourier abaixo:

ou em termos de somatória, n tnfsenbtnfcosaa tx (1.2)

em que f0 = 1/T é chamada de frequência fundamental do sinal. A série anterior pode também ser expressa na forma compacta por:

nntnfcosEEtx (1.3)

0 a E representa o valor médio da função ou valor dc.

n a b arctg (1.4)

A componente senoidal de frequência fn = nf0 é chamada n-ésimo harmônico da função, e o primeiro harmônico (f0) é chamado de componente fundamental, pois tem o mesmo período do sinal x(t). Os coeficientes En e os ângulos θn são conhecidos como amplitude e ângulo de fase, respectivamente.

conveniente ressaltar que os termos cos(2πnf0) e sen(2πnf0), n= 0,1, 2,, formam uma

Para a determinação dos coeficientes da série definida pela equação (1.2) é base ortogonal completa, com as seguintes propriedades:

nm/T nm, dttmfcostnfcos

nmT nm dttmfsentnfsen

nemtodoparadttmftnfsen T

Utilizando as equações acima pode-se mostrar que os coeficientes an são determinados pela seguinte equação:

O coeficiente a0 é determinado considerando n = 0 na equação anterior, isto é,

/T dttxT a (1.9) portanto, a0/2 é o valor médio do sinal periódico x(t). E os coeficientes bn são dados por:

Exemplo 1.1: Determine a série de Fourier da onda quadrada periódica, cujo primeiro período é definido como:

tT tx (1.1)

- T 0 t

Figura 1.7: Onda quadrada.

Para o cálculo dos coeficientes an utiliza-se a equação (1.8), assim,

tnfsennf tnfsen nfT dttnfcosdttnfcosT a como f0 = 1/T, então,

Para o cálculo dos coeficientes bn utiliza-se a equação (1.10),

n n n n tnfcocnf tnf nfT dttnfsendttnfsenT b

T n logo:

imparn n

Assim a série de Fourier da onda quadrada simétrica apresenta todos os coeficientes an nulos e coeficientes bn são não nulos somente para os harmônicos impares, portanto:

n tnfsenncosn ou,

Este resultado pode ser representado em uma figura mostrando as amplitudes dos componentes senoidais e uma outra para as fases. Estas figuras são chamadas de “espectro de amplitude” e “espectro de fase”, sendo que o espectro de amplitude notas de aula sel0360 -1- normalmente é representado pelo módulo dos componentes.

Figura 1.8: Representação espectral das amplitudes e fases da onda quadrada.

O componente fundamental apresenta amplitude 4/ , o 3º harmônico tem amplitude igual a 1/3 da fundamental, o 5º harmônico tem amplitude 1/5, o 7º harmônico 1/7, e assim por diante. A série aparece escrita em função de componentes senoidais por que cada harmônico apresenta componente de fase igual a 90 ou 2/ radianos.

Se cada componente senoidal da figura 1.8 for representado no tempo conservando amplitudes e fases corretas, a forma de onda resultante da soma de tais componentes será uma aproximação do sinal original. Isto é mostrado na figura 1.9.

Na prática torna-se impossível a soma dos infinitos componentes, conforme requer a série de Fourier, por isso a resultante sempre será uma aproximação do sinal original.

(a) fundamental, 3º, 5º e 7º harmônicos. (b) Soma da fundamental com 3º, 5º e 7º harmônicos.

Figura 1.9: Composição de apenas quatro componentes da série de Fourier. O sinal resultante é apenas uma aproximação.

Embora a série de Fourier seja composta de infinitos componentes, observa-se do espectro de amplitude que à medida que a ordem do harmônico aumenta a amplitude correspondente diminui. Isto significa que quanto maior o harmônico menor será sua contribuição na forma de onda original.

Se onda quadrada anterior é deslocada no tempo, como mostra a figura (1.10), a série de Fourier resultante para este caso será dada por:

Figura 1.10: Onda quadrada simétrica no tempo.

Os espectros de amplitude e fase são mostrados na figura 1.1. Observa-se então que, quando um sinal é deslocado no tempo seu espectro de amplitude não se altera, alterando-se apenas o espectro de fase.

f0 3f0 5f0 7f0

AMPLITUDE 4/ f0 3f0

5f0 7f0

(b) FASE

Figura 1.1: (a) Espectro de amplitude, (b) Espectro de fase.

Exemplo 1.2: Determine da série de Fourier da onda triangular periódica definida em um período por:

- T 00 T 0

x(t)

Figura 1.12: Onda triangular.

Observe que a0 = 0 (valor médio de x(t) em um período), pois x(t) é simétrica em torno da origem.

Como no exemplo anterior, para o cálculo dos coeficientes an a integral da equação (1.8) é também feita por partes, isto é:

dttnfcos T t dttnfcos t dttnfcos dttnfcos T t dttnfcos

Tt T como o primeiro termo da expressão acima é nulo, então:

dttnfcost T dttnfcostdttnfcostT a

A integral acima é feita utilizando a regra de integração por partes, isto é:

bab a vduuvudv (1.15)

/T n dttnfsennf tnfsen nft T como o primeiro termo da expressão acima é nulo, então, n tnfcos

ou de outro modo:

imparn parn, analogamente para os coeficientes bn

dttnftsendttnftsen T dttnfsen T t dttnfsen dttnfsenT b

Portanto os coeficientes bn são nulos e os coeficientes an são diferentes de zero para n par, logo:

tnf n ou

Assim, a onda triangular, da mesma forma que a onda quadrada, apresenta somente harmônicos ímpares, entretanto as amplitudes e fases são diferentes para os dois sinais. Isto justifica o fato de que dois instrumentos, mesmo que diferentes, por exemplo, violão e piano, emitem a mesma nota, mas é possível fazer a distinção entre eles. Os dois instrumentos produzem um som com a mesma frequência fundamental, mas o número de harmônicos significativos e as amplitudes dos mesmos são diferentes, produzindo assim uma diferença de timbre.

Figura 1.13: Representação espectral das amplitudes e fases da onda triangular. Exemplo 1.3: Determine a série de Fourier da função x(t) definida por:

0 /Tt,tfAsen

cosA tnfcos

dttnfAsenT a

Cálculo dos an, n = 1, 2, 3,

Figura 1.14: Sinal senoidal retificado.

T n

T n dttfnsentfnsen T sensensencomo dttnftnfAsenT a

para n = 2, 3,

quando n = 1 => a1 = 0;

n fn tfncos fn tfncosT

n ncosn ncosA imparn

Cálculo dos bn

n dttnfsentnfAsenT b coscos 2

n dttfntfn T

A b sensencomo para n = 1,

01 A dttfcos

T Ab

para n = 2, 3,

n nsenn nsenA fn tfnsen fn tfnsenT

A b

Portanto, a série trigonométrica de Fourier do sinal senoidal retificado será:

tfcostfcosA tfsen

Figura 1.15: Representação espectral das amplitudes e fases do sinal senoidal com retificação de meia onda.

1.4. Propriedades da série de Fourier na forma trigonométrica

1.4.1. Intervalo de Integração

Para o cálculo dos coeficientes de Fourier de uma função periódica não é importante onde se inicia a integração, mas sim que ela seja efetuada dentro de um intervalo de tempo correspondente a um período do sinal. Isto decorre do fato de que para sinais periódicos,

Ttt

Ttt

1.4.2. Função Par Uma função par, isto é:

tem todos os coeficientes (bn) dos termos em senos da série de Fourier nulos, apresentando somente os termos (an) dos cossenos.

1.4.3. Função Ímpar Uma função impar, isto é:

tem todos os coeficientes (an) dos termos em cossenos da série de Fourier nulos, apresentando somente os termos (bn) dos senos.

Exemplo 1.4: Determine a série de Fourier da onda dente de serra periódica, definida por:

t A

Figura 1.16: Onda dente de serra.

Como o sinal acima é uma função ímpar os termos em cossenos são nulos, assim,

/T n dttnftsen

A b

Utilizando a regra de integração por partes, conforme a equação (1.15), pode-se escrever que:

ncos n dttnfcostnfcost nT Ab logo,

tnfsen n ncos Atx (1.23) ou

tfsentfsentfsenA tx 0 32

Figura 1.17: Representação espectral da onda dente de serra.

1.5. Série de Fourier na forma exponencial

A série de Fourier da equação (1.2) pode ser colocada em uma forma mais usual através do uso de exponenciais complexas. Para fazer isto, utilizam-se os termos em senos e cossenos na forma exponenciais complexas, isto é, as relações de Euler:

substituindo na equação (1.2) tem-se:

n tnfjnntnfjnn n tnfjtnfjntnfjtnfjn e jbae jbaa e j b e a tx sejam:

jba A n jba A na A n n

tnfj n tnfj n tnfjn tnfj n eAeAA eAeAAtx portanto:

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