desempenho de sitemas de mod digital

desempenho de sitemas de mod digital

Marcelo Basilio Joaquim

Departamento de Engenharia Elétrica – EESC-USP 2014

1. Introdução

Para analisar o desempenho de sistemas de modulação digital, tais como os sistemas

ASK, FSK e PSK é necessário ter uma base sobre o processo de detecção do sistema empregado. Neste texto será utilizado um diagrama de blocos para o processo de detecção como o mostrado na figura (1). Ele é constituído de dois estágios principais: um demodulador convencional que depende do sistema de transmissão empregado, e um circuito de decisão. O circuito de decisão é composto basicamente de um circuito comparador e de uma interface cuja finalidade é equalizar os níveis lógicos de tensão em sua saída.

Demodulador Decisão x(t) Sinal

Digital

Figura 1: Demodulação Digital

Na saída do circuito de decisão têm-se dois estados de tensão: 0 e V, que correspondem aos dígitos binários “0” e “1”, respectivamente. A saída deste circuito é praticamente isenta de ruído, pois os pulsos digitais foram regenerados. Assim, não tem sentido calcular uma relação sinal-ruído para analisar o desempenho do sistema. O que pode estar ocorrendo nesta saída são erros no processo de decisão dos dígitos binários, devido ao ruído presente em sua entrada. Estes erros irão degradar o sistema.

Dessa maneira, o melhor método de se avaliar o desempenho destes sistemas é através da medida da Probabilidade de Erro de bit (BER – bit error rate) de detecção de bits na saída do circuito de decisão e não simplesmente medir a relação sinal-ruído do sistema.

Para o cálculo desta probabilidade será admitido que na entrada do circuito de decisão o sinal demodulado, x(t), consiste do sinal digital na banda básica mais um componente de ruído aditivo que foi introduzido durante a transmissão. Isto é,

)t(n)t(m)t(x(1)

em que: m(t) é um sinal de tensão digital, NRZ, que apresenta dois estados: 0 e V, ou -V e +V e que dependem do processo de demodulação empregado. Cada um destes estados tem duração Tb. O sinal (t) é admitido ser um ruído branco, gaussiano e aditivo, com valor médio zero e densidade espectral de potência (variância) 2 =

O circuito de decisão atua de tal maneira que:

anteriorsaídatx Vousaídatx Vsaídatx

em que: é o limiar de decisão e é igual a V/2 ,caso os níveis de tensão sejam 0 e V, ou vale 0 caso estes níveis sejam V.

Como, por hipótese, o ruído é admitido ser gaussiano, então a saída x(t) será também uma variável aleatória gaussiana com valores médios 0 ou V para o caso unipolar, ou então –V ou V para sinais polares. A variância de x(t) será a mesma do ruído, ou seja,

2 . Assim, considerando que a saída do demodulador é polar, isto é, ela apresenta níveis de tensão V, pode-se dividir a função densidade de probabilidade de x(t) em duas partes:

i. Função densidade de probabilidade quando x(t) assume o estado “0”.

oexp(3.a)

i. Função densidade de probabilidade quando x(t) assume o estado “1”.

Vx exp (3.b)

x Figura 2: Função densidade de probabilidade.

Admitindo que os dois estados sejam equiprováveis, isto é,

)"1"()"0"(xPxP(4)

então, a probabilidade de erro do circuito de decisão será dada pela área hachurada da figura (2), isto é,

)"1"/"0"()."1"()"0"/"1"()."0"(01xxPxPxxPxPPERRO(5)

em que: )"0"/"1"(1 xxP, é a probabilidade de ocorrência do estado “1” dado que o estado “0” foi transmitido.

dxedxeP VxVx

Assim, após alguma manipulação algébrica obtém-se:

dxeP Vx

como neste caso o sinal é polar, então = 0, assim, dxeP )Vx(

erfcV erfcdxeP

ERRO(7)

Na situação onde os estados de tensão valem 0 e V tem-se que:

erfcerfcPERRO

(8)

As equações, (7) ou (8), são utilizadas para se analisar o desempenho dos sistemas de modulação digital binária, quando o ruído presente na saída do demodulador é gaussiano.

Para fazer uma avaliação do desempenho de alguns sistemas é necessário também saber calcular a potência ou energia de um sinal modulado digitalmente. Quando o sinal modulante é composto de diversos estados de tensão, a energia (Em) para um sistema M- ário é dada por:

imEiPE(9)

em que: P(i) é a probabilidade de ocorrência do estado “i” e Ei é a energia deste estado. Para um sinal binário, com iguais probabilidades de ocorrência dos estados tem-se:

EEEm(10)

A seguir serão calculadas as probabilidades de erro para alguns esquemas de modulação digital binária que foram abordados anteriormente.

2. Modulação ASK

Para o cálculo da probabilidade de erro será admitido um sistema ASK com índice de modulação 100%, amplitude do sinal igual a bE2, e que o processo de detecção utiliza demodulação coerente.

Neste caso o sinal x(t) na saída do demodulador apresenta níveis de tensão bE2 e 0 e a energia média será Em = Eb. Desse modo, pela equação (8), 2/Eb , e a probabilidade de erro de bit será dada por:

ERRO(1)

erfcP b

3. Modulação PSK

Admitindo que se esteja utilizando demodulação síncrona (coerente) e que na saída do detector tem-se um sinal polar com níveis de tensão bE. Assim, o limiar de decisão será = 0. Portanto a probabilidade de erro deste sistema é dada pela equação (7) com a substituição de V por bE. Assim:

erfcPbERRO(12)

em que Eb é a energia associada a um bit.

Para a modulação DEBPSK, onde se emprega o próprio sinal de entrada para se fazer a decodificação diferencial, a probabilidade de erro é calculada pela seguinte equação:

expPbERRO(13)

4. Modulação FSK

Admitindo que no processo de demodulação que o sinal FSK é decomposto, através de filtragem, em dois sinais ASK. Supondo ainda que estes sinais são aplicados em demoduladores de produto (detecção coerente) e não em detectores de envoltória. Então, como visto anteriormente, o sinal detectado será a soma das saídas dos demoduladores.

Neste caso os estados de tensões na saída do demodulador valem bE. Observe, porém que a variância do ruído na saída é a soma das duas variâncias do ruído presente nas saídas dos demoduladores de produto. Assim:

2s(14)

Portanto, a probabilidade de erro será dada por:

erfcE erfcP b

ERRO (15)

5. Comparação dos Sistemas

Para se realizar uma comparação do desempenho entre os sistemas de modulação digital é necessário estabelecer algum critério de equivalência. Neste texto serão considerados que a mesma energia média (Em) do sinal de entrada e mesma densidade de ruído ( 2 ) estão presentes nas entradas dos circuitos demoduladores. Tomando como base a energia média de entrada para uma modulação PSK com amplitude bE e fazendo todos os outros sistemas com esta mesma potência tem-se:

bmEE(16)

As probabilidades de erro de vários tipos de sistemas em função de Eb e são mostradas na tabela (1), e ilustradas na figura (3).

Sistema de Modulação Probabilidade de erro

ASK (coerente) erfcP b ERRO

PSK (coerente)

E erfcPbERRO

E expPbERRO

FSK (coerente)

E erfcPbERRO

Tabela 1. Probabilidade de erro em modulação digital.

0 5 10 15 20 25 SNR - dB

12 3

Figura 3: Probabilidade de erro: 1 - PSK; 2 - FSK e ASK; 3 - DEBPSK.

Pode-se verificar com o auxílio da figura (3) que a probabilidade de erro decai monotonicamente com o aumento da relação sinal ruído e que o sistema que apresenta o melhor desempenho é o PSK com detecção coerente. Portanto, sempre que possível, ele deveria ser utilizado. Ele é indicado principalmente para a transmissão de dados com alta taxa de bits. Para valores grandes de Eb/N0 os sistemas são praticamente equivalentes. O sistema DEBPSK apresenta um desempenho um pouco pior, porém o processo de demodulação é mais fácil o que faz este sistema ser muito atrativo.

Pode-se observar ainda que os sistemas ASK e FSK que utilizam detecção coerente são basicamente iguais, eles apresentam a mesma probabilidade de erro. Porém, observando com mais cuidado, pode-se verificar que a potência de pico do ASK é maior do que o FSK, além disso, o sistema FSK apresenta as propriedades da modulação angular, por esta razão ele é preferível aos sistemas ASK.

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