INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2453 Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores

1. LIMITES DE FUNÇÕES

EXERCÍCIOS 1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

x2 k. lim x→pi cos x sin x x q. lim x −sinx

1.2. A resolução abaixo está incorreta. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite corretamente.

a. Supondo que lim x→2

b. Supondo que lim x→0

1.5. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

1.6. Dê exemplos de funções f e g tais que

(0,0). Sejam ainda Pr o ponto (0,r) e Qr o ponto de interseção dos círculos C e Cr situado no primeiro quadrante.

Se Lr é a interseção da reta PrQr com o eixo Ox, o que acontecerá com Lr, quando Cr encolher arbitrariamente?

2. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

2.1. Determine, se existir, o valor de L ∈ R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas.

2.2. Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.

2.3. Decidaseaafirmacãoéverdadeiraoufalsa, justificandoouapresentandoumcontra-exemplo. a. Se f : R → R é tal que |f| é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0. b. Se f e g são funções descontínuas em x = 0, então a função fg é descontínua em x = 0.

2.4. Construa uma função f : R → R que é contínua em um único ponto. 2.5. Construa uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos.

3. DERIVADAS EXERCÍCIOS

3.1. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a ∈ I e h(x) =

Mostre que h é derivável em a se e somente se f(a) = g(a) e f′(a) = g′(a). Construa contraexemplos removendo uma das condições de cada vez.

3.2. Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x0 indicado.

3.3. Construa uma função f : R → R derivável num único ponto.

em termos

3.10. Derive:

3.1. Decida em que pontos as funções a seguire são deriváveis.

3.13. Responda, justificando:

a. Se f + g é derivável em x0, é verdade que necessariamente que f e g também são deriváveis em x0? b. Se f · g é derivável em x0, quais condições sobre f garantem diferenciabilidade de g em x0?

3.14. Prove que:

a. f(x) = anxn + an−1xn−1 ++ a1x + a0.
x3 ++ bk

c. Ache mais uma g para cada um dos itens acima.

d. Existe alguma função da forma

f(x) = anxn + an−1xn−1 ++ a1x + a0 + b1
x3 ++ bk

a. Mostre que x0 é raiz dupla de f se e somente se x0 é raiz tanto de f quanto de f′. b. Quando f(x) = ax2 + bx + c tem raiz dupla? Interprete geometricamente.

Dica. O que acontece se você tentar escrever g(x) = f(x)x ?

3.21. Interprete geometricamente os resultados obtidos no exercício 17.

3.23. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = ax2, (a 6= 0) tem como interseção um ponto que esta numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.

4. TAXAS RELACIONADAS

4.1. Um objeto circular tem seu raio variando de maneira desconhecida, mas sabe-se que quando seu raio é 6m, a taxa de variação deste é 4m/s. Determine a taxa de variação da área do objeto no instante em que seu raio é 6m.

4.2. Suponha agora que o objeto circular do exercício 1 é, na verdade, um equador de um objeto esférico. Determine a taxa de variação do volume do objeto e de sua área, quando o raio é 6m.

Dica. Você pode expressar o volume em termos do raio da esfera, ou então a partir da área

4.3. A área entre dois círculos concêntricos variáveis é constante igual a 9pim2. A taxa de variação da área do círculo maior é de 10pim2/s. Qual a taxa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área 16pi?

4.4. A partícula A se move ao longo do semi-eixo positivo Ox e a partícula B move-se ao longo

(5,0) e afasta-se da origem com velocidade 3 unidades por segundo e a distância de B até a origem é 3 unidades, afastando-se da origem com velocidade 4 unidades por segundo. Qual a taxa de variação da distância entre A e B nesse instante?

4.5. Num certo instante t0, a altura de um triangulo cresce à razão 1cm/min e sua área aumenta à razão de 2cm2/min. No instante t0, sabendo que sua altura á 10cm e sua área é 100cm2, qual a taxa de variação em relação ao tempo da base do triângulo?

4.6. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de 1.2m, a taxa de variação com que a areia é despejada é de 0,081m3/min. Qual a taxa de variação da altura do monte neste instante?

4.7. Uma lâmpada está acesa no solo a 15m de um edifício. Um homem de 1.8m de altura anda a partir da luz em direcão ao edifício a 1.2m/s. Determine a velocidade com que o comprimento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele esta a 12m do edifício e quando ele está a 9m do edifício.

4.8. Num motor à combustão, uma biela de 7cm tem uma de suas extremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3cm. Na outra extremidade da biela está um pistão que se move quando a manivela gira (vide 1). Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taxa constante de 200 rotacões por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é pi/3 (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco).

FIGURA 1. Pistão para a questão 8

4.9. Uma escada de bombeiro com 25m está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7m da parede e sua velocidade é de 2m/s. a. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante? b. Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7m da parede. c. Calcule a taxa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7m da parede.

4.10. Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro “deitado” de diâmetro 2m e comprimento 3m. A figura 2 representa uma seçãoo transversal do tanque no instante t. O ângulo θ varia de zero (tanque vazio) a pi (tanque cheio). No instante em que a altura h do líquido é de 0.5m, a vazão é de 0.9m3/min. Determine a taxa de variação do ângulo θ nesse instante. Determine também a taxa de variação da altura h do neste mesmo instante.

FIGURA 2. Tanque para a questão 10

4.1. Num filtro com formato de cone, como na figura 3, um líquido escoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis. Num certo instante, a altura H do líquido depositado na parte inferior é 8cm, a altura h do líquido da parte superior é 10cm e h está diminuindo a uma taxa de variação instantânea de 2cm/min. Calcule a taxa de variacão de H em relação ao tempo nesse instante.

5. DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS

5.1. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, f−1, também seja derivável. Mostre que

h H

30cm r

10cm FIGURA 3. Filtro para a questão 1

5.3. Derive:

6. MISCELÂNEA DE TESTES

É correto dizer que a. tal afirmação é verdadeira; c. tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum r > 0 tal que |g(x)| > r para todo x ∈ R; d. tal afirmação é verdadeira supondo que exista algum r > 0 tal que g(x) > r para todo x ∈ R; e. tal afirmação é falsa para toda g limitada.

a. y=1; b. y=1+x; c. y=1-x; d. y=1+2x; e. y=1-2x.

6.4. Seja f : R → R a função dada por

x3, se x ∈ R\Q Sendo D o conjunto descontinuidades de f então D é

6.5. Dizemos que duas funções reais f e g são equivalentes se limx→∞ f (x)

escrevendo f ∼ g. Qual das afirmações abaixo NÃO é consequência de f ∼ g?

0,se x = 0. Para quantos valores de x o gráfico de f tem reta tangente horizontal? a. Nenhum; b. 1; c. 2; d. 3; e. Infintos.

6.8. (P1-2016) Seja f uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em x = 0 e dada implicitamente pela equação

a. 1

6.9. (P1-2016) Para que a função

seja contínua em R o valor da constante k deve ser: a. −7; b. 1; c. 3; d. −1; e. −5.

6.1. (P1-2016) Um ponto desloca-se sobre o gráfico da curva y = 1x. No instante em que ele se encontra no ponto (2, 12), a taxa de variação de sua abscissa é 10m/s. A taxa de variação da distância do ponto até a origem neste mesmo instante é

6.12. (P1-2016) Considere as seguintes afirmações:

a. nenhuma das afirmações; b. todas as afirmações; c. somente as afirmações (I) e (I); d. somente as afirmações (I) e (I); e. somente as afirmações (I) e (II).

que f é

a. 1

6.16. (Exame de Transferência - Fuvest - 2014) Sejam f, g : R → R tais que: (i) f é contínua em x = 0 e (i) g é descontínua em x = 0. Pode-se concluir corretamente que é descontínua em x = 0 a função:

6.17. (Exame de Transferência - Fuvest - 2013) Considere todas as retas que são simultaneamente tangentes às parábolas y = x2 +1 e y = −x2 −1. Então o produto dos coeficientes angulares dessas retas é:

Então pode-se dizer que f ◦ g

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