INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2453 Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores

1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Observação 0.1. As funções (a) e (b) são chamadas, respectivamente, de cosseno hiperbólico e de seno hiperbólico e são denotadas, respectivamente por cosh e senh. Verifique que

(c) tg b tg a > b

6. Seja f derivável em R e seja g dada por g(x) = f (x) x , x 6= 0. Suponha que x0 é ponto crítico de g. Prove

7. No seu livro de Cálculo de 1696, L’Hôpital ilustrou sua regra com o limite da função

quando x → a, a > 0. O valor desse limite é: (a) a (b) a2 (c) 3a/2 (d) nenhuma das anteriores.

8. Calcule, caso exista

(a) lim tg(pix) (b) lim ln x cotg x (c) lim x +lnx x arctgx (n) lim

15. Prove que se p é um polinômio, a equação ex − p(x) = 0 não pode ter infinitas soluções reais.

17. Seja f(x) um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de inflexão, que é a média aritmética das três raízes.

18. Seja f : R → R derivável e com um único ponto crítico x0. Prove que se x0 for ponto de mínimo (máximo) local de f, então x0 será o único ponto de mínimo (máximo) global de f.

19. Determine todos os números positivos a tais que a curva y = ax corta a reta y = x.

20. (Transferência Fuvest 2012) Considere o polinômio p(x) = x3 +ax2 +bx+c, em que a,b,c são números reais. Qual a alternativa verdadeira? (a) se c > 0 então p(x) terá pelo menos uma raiz positiva. (b) p(x) sempre terá pelo menos um ponto crítico. (c) p(x) sempre terá exatamente um ponto de inflexão.

21. Determine, caso exista, a constante a para que f(x) = x2 + ax tenha (a) um ponto de mínimo local em x = 2.

(b) um ponto de mínimo local em x = −3. Mostre ainda que, para qualquer valor de a, a função f não terá um ponto de máximo local.

2. (Transferência Fuvest 2013) Seja f(x) = ax + b x2, em que a e b são números reais. Sabe-se que x = 1 é

não supomos f de classe C1). Com base nesse teorema podemos afirmar que (a) não existe função f : R → R, derivável, tal que f ′(0) = 1 e f ′(x) = 0 para todo x 6= 0. (b) toda função derivável em I possui sua derivada f′ contínua em I. (c) toda função derivável em I possui f′ descontínua em todo ponto de I. (d) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

24. Seja f uma função cuja derivada tem o gráfico esboçado na figura abaixo:

(a) Em que intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Para quais valores de x f tem um máximo ou mínimo local? (c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baixo? (d) Ache os pontos de inflexão de f. (e) Admitindo que f(0) = 0, faça um esboço do possível gráfico de f.

25. Seja f : R −→ R uma função de classe C∞ cujo gráfico está esboçado abaixo.

a b

Quais das seguintes afirmações podem ser obtidas a partir da figura?

(b) A equação f′(x) = 0 possui exatamente duas soluções reais distintas.

26. (Transferência Fuvest 2007) Seja f uma função derivável até segunda ordem e suponha que o gráfico da função derivada f′ seja representado pela figura abaixo:

Pode-se afirmar que a única alternativa incorreta é (a) f possui concavidade para cima no intervalo ]1,2[. (b) x = 1 é ponto de máximo local de f e x = 3 é ponto de mínimo local de f. (c) f possui concavidade para cima no intervalo ]3,4[. (d) f é crescente para x < 1 e também para x > 3 e decrescente para 1 < x < 3. (e) x = 2 e x = 4 são pontos de inflexão de f.

27. Seja f : R −→ R uma função de classe C∞ cujo gráfico de f′ está esboçado abaixo.

Quais das seguintes afirmações podem ser obtidas a partir da figura?

(d) x = 0 é um mínimo local da função g(x) = xf(x2) (e) O gráfico de f possui assíntota horizontal

28. Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.

29. (Transferência Fuvest 2002) Sabendo que a figura abaixo é o esboço do gráfico de uma função f(x) = q(x) , em que p e q são polinômios, tem-se x y

x2 −1 . Prove que f tem exatamente um ponto de inflexão e que esse ponto pertence ao

32. Seja f : R → R uma função derivável e seja a ∈ R fixado. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.

(b) Prove que ea+b

35. (a) Esboce o gráfico de f(x) = x2e−x. (b) Determine, em função de k, o número de soluções reais da equação kex = x2.

36. Achar os valores mínimo e máximo de:

38. Qual é o menor valor da constante a para o qual a desigualdade ax + 1x ≥ 2√ 2 é válida para todo é o valor mínimo de f, então o produto ab é

x2 +3 . Então, o coeficiente angular máximo das retas tangen- tes ao gráfico de f é

41. (a) Latas cilíndricas fechadas devem ser feitas com um volume V especificado. Qual é a razão entre a altura e o diâmetro da base que minimiza a quantidade de metal gasto para fazer a lata? (b) Por que as latas encontradas no mercado não são em geral como em (a)? Em geral o metal vem em uma chapa retangular. Não há desperdício envolvido em cortar a chapa que formará a superfície lateral, mas as tampas devem ser cortadas de uma peça quadrada, e as sobras, são desprezadas (ou então recicladas). Ache a razão entre a altura e o diâmetro de uma lata de volume V que minimiza o custo do material utilizado.

42. Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio 3.

43. Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a 2. Determine o raio da esfera que maximiza e o que minimiza a soma de seus volumes.

4. Um triângulo isóceles está circunscrito a um círculo de raio R. Se x é a altura do triângulo, mostre que sua área é mínima quando x = 3R.

45. Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eixo x, onde a base do retângulo está apoi- ada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y = x x2 +1 . Qual é o maior volume que tal cilindro pode ter?

46. (Transferência Fuvest 2013) Dentre os cilindros circulares inscritos numa esfera de raio 1, seja h1 a altura daquele que tem volume máximo e seja h2 a altura daquele que tem superfície lateral máxima. Então, h1 h2

47. Sejam r e s duas retas paralelas com a distância entre elas igual a 2. Fixe um ponto C sobre a reta s. Fixe dois pontos A e B sobre a reta r de modo que a distância entre os pontos A e B seja igual a 1. É possível encontrar um ponto D na reta s, de modo que o segmento BD intercepte o segmento AC em um ponto P de forma que a soma das áreas dos triângulos ABP e DCP seja mínima? E seja máxima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, determine a altura h do triângulo ABP.

48. Sejam a,b > 0. Determine, caso exista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura (relativa à base dada) a.

50. (P2, 2016) Considere todos os triângulos retângulos formados pelos semi-eixos positivos e por uma reta que passa pelo ponto (1,2). Dentre todos esses triângulos, aquele que possui área mínima tem a

51. UmaramedecomprimentoLdevesercortadoem2pedaços, umparaformarumquadradoeoutroum triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos 2 pedaços seja (a) máxima? (b) mínima? Mostre que no caso (b) o lado do quadrado é 2/3 da altura do triângulo.

52. Um papel de filtro circular de raio a deve ser transformado em um filtro cônico cortando um setor circular e juntando as arestas CA e CB. Ache a razão entre o raio e a profundidade do filtro de capacidade máxima.

53. Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 10m de diâmetro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto B (veja figura abaixo). Seja α o ângulo AOC. Sabendo que ela pode caminhar duas vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α, as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo. (Observação: considere que a pessoa pode somente caminhar ou somente nadar).

54. Um reservatório tem fundo horizontal e seção transversal como se mostra na figura. Achar a inclinação dos lados com a vertical de modo a obter a máxima capacidade.

5. Um muro de 2 metros de altura está a 1 metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apóiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro?

56. Seja k um número real. Prove que todas as funções f : R → R tal que f′(x) = kf(x), para todo x ∈ R são da forma cekx, com c ∈ R.

57. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

58. Mostre que:

63. (a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n da função f(x) = ex em torno de x0 = 0. (b) Avalie e com erro, em módulo, inferior a 10−5.

6. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina?

67. (LEI DE REFRAÇÃO DE SNELLIUS) O objetivo desta questão é demonstrar como a lei da refração de Snel- lius, da Óptica Geométrica, pode ser obtida como conseqüência do princípio de Fermat, segundo o qual “a trajetória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso”.

Sejam P ∈ R2 um ponto no semi-plano superior e Q ∈ R2 um ponto no semi-plano inferior, fixos (vide figura abaixo). Uma partícula vai de P a um ponto M = (x,0) sobre o eixo Ox com velocidade constante u e movimento retilíneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constante v, também em movimento retilíneo. Seja T: R → R tal que, para todo x ∈ R, T(x) é o tempo de percurso de P a Q.

u = sen β

68. (CONSERVAÇÃO DE ENERGIA) Uma partícula de massa m desloca-se sobre uma reta real sob ação do campo de forças f, onde f é uma função contínua R → R (isso significa que, para cada x ∈ R, quando a partícula estiver no ponto de abscissa x, a força que atua sobre ela é f(x)). Seja V uma função derivável R → R tal que, para todo x ∈ R, V′(x) = −f(x) (diz-se que a força F “deriva do potencial V”). Seja x : I → R a função horária da partícula, definida no intervalo I ⊂ R (i.e. para cada instante t ∈ I, x(t) ∈ R é a posição da partícula no referido instante). Assuma que o movimento da partícula é governado pela lei de Newton:

Demonstre que existe uma constante E ∈ R tal que, para todo t ∈ I:

34. (a) 1 35. Não há soluções se k < 0; tem 1 so-

41. (a) 1; (b) 4 pi nunca é máxima.

drado; (b) o lado do quadrado é√ 3L

53. menor tempo α = pi; maior tempo

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