intalgebra lna

intalgebra lna

(Parte 1 de 2)

Joao Pessoa

Edicao do Autor 2014

Prefacio

Este texto foi elaborado para a disciplina “Introducao a Algebra” que passou a ser ministrada na UAB/UFPB a partir de 2010. E um complemento de outro texto que contenha o desenvolvimento detalhado da teoria. Dedica-se principalmente a alunos dos cursos de Licenciatura ou Bacharelado em Matematica, Fısica, Quımica ou Engenha Eletrica (Telecomunicacoes).

No inıcio, fazemos um pequeno resumo dos assuntos vistos ao longo do semestre: operacoes binarias, grupos, aneis, corpos e polinomios. Depois, iniciamos a resolucao de varios exercıcios relacionados com os esses temas para ajudar na fixacao do conteudo. No final, sao apresentados alguns testes do tipo multipla escolha.

E importante observar que os exercıcios foram colocados em ordem crescente de dificuldade. Os que iniciam com “A” (Ex.: A1, A2, etc.) sao os mais faceis, os que iniciam com “B” (Ex.: B1, B2, etc.) sao os “medios” e os que iniciam com “C” sao os mais difıceis.

Joao Pessoa, 8 de janeiro de 2014 Lenimar Nunes de Andrade

Sumario

1.1 Operac oes binarias1
1.2 Grupos4
1.3 Homomorfismo de grupos6
1.4 Grupos cıclicos9
1.5 Principais proposic oes1
1.6 Aneis12
1.7 Corpos15
1.8 Homomorfismos de aneis16
1.9 Aneis-quocientes18
1.10 Polinomios20
1.1 Grau de um polinomio21
1.12 Notacao usual2
1.13 Polinomios irredutıveis26

1 Resumo da teoria 1

4 Homomorfismos, isomorfismos, grupos cıclicos 48

5 Classes laterais, subgrupos normais, grupos-quocientes 58

6 Aneis, subaneis, aneis de integridade, corpos 64

7 Homomorfismos de aneis, ideais, aneis-quocientes 74

10.1 Operac oes binarias100
10.2 Grupos e subgrupos105
10.4 Classes laterais, subgrupos normais, grupos quocientes113
10.5 Aneis, subaneis, aneis de integridade, corpos116
10.6 Homomorfismos e isomorfismos de aneis119
10.7 Ideais e aneis-quocientes122
10.8 Polinomios124

Capıtulo 1 Resumo da teoria

1.1 Operacoes binarias

Uma operacao binaria ∗ (ou simplesmente uma operacao ∗) sobre um conjunto

Comutatividade Uma operacao ∗ sobre A e comutativa quando

• A multiplicacao de matrizes nao e uma operacao comutativa, isto e, existem matrizes A e B tais que AB , BA.

Associatividade Uma operacao ∗ sobre A e associativa quando

Exemplos

Elemento neutro

Exemplos • O 0 (zero) e o elemento neutro da adicao de inteiros.

• O 1 (um) e o elemento neutro da multiplicacao de inteiros.

• A operacao de potenciacao x ∗ y = xy definida sobre os inteiros positivos nao tem elemento neutro.

Elemento inverso

Se uma operacao ∗ sobre A possuir elemento neutro e, entao um elemento x ∈ A e denominado invertıvel (ou simetrizavel) quando existir x−1 ∈ A tal que

Exemplos

inverso (multiplicativo) que e o elemento x−1 = qp, com excecao apenas do 0 (zero) que nao tem inverso com relacao a multiplicacao.

Distributividade

Exemplo

No conjunto dos numeros inteiros, a multiplicacao e distributiva com relacao a adicao porque:

Parte fechada

Tabua de uma operacao

e uma tabela onde o resultado da operacao ai ∗ aj e colocado na i-esima linha e jesima coluna.

1.2 Grupos

Um grupo e um conjunto G , ∅ no qual esta definida uma operacao ∗ que satisfaz as seguintes propriedades:

Alem disso, se ∗ for comutativa, entao o grupo G e denominado comutativo ou abeliano.

Exemplos • O conjunto dos inteiros com a adicao usual e um grupo.

• O conjunto dos numeros reais nao nulos ∗ com a operacao de multiplicacao usual e um grupo.

Grupos de permutacoes

Sejam E um conjunto nao vazio e SE o conjunto de todas as funcoes bijetoras

Notacao

e denotado por Sn. Se f : E −→ E for tal que f(i) = ai, para todo i ∈ E, entao f costuma ser denotada na forma

O total de funcoes que podem ser construıdas dessa forma e de n!.

Exemplo

Grupos de classes de restos

O conjunto n e denominado conjunto das classes de restos modulo n. Definindo-se a seguinte operacao de adicao sobre n

Exemplo

Subgrupos

Exemplos

1.3 Homomorfismo de grupos

Exemplos

Nucleo de um homomorfismo

Se f : G → J for um homomorfismo de grupos, o nucleo de f, denotado por

N(f), e o conjunto de todos os elementos do domınio G cujas imagens atraves de f sao iguais ao elemento neutro de J:

Exemplos

Vamos determinar o nucleo de cada um dos homomorfismos dos exemplos anteriores.

Isomorfismo de grupos

Um isomorfismo de um grupo G em um grupo J e um homomorfismo de G em

J que tambem e uma funcao bijetora. Se existir um isomorfismo de G em J entao dizemos que G e J sao isomorfos e denotamos isso por G ≃ J.

Exemplo

Potencias e multiplos

Em um grupo multiplicativo (G,·) com elemento neutro e, dados x ∈ G e n ∈ , definimos a potencia xn da seguinte forma:

Peladefinicao,x0=e,xn=x·x·x·····x|{z }
sen>0exn=x−1·x−1·x−1·····x−1|{z }

Em um grupo aditivo (G,+) com elemento neutro 0, dados x ∈ G e n ∈ , definimos o multiplo nx da seguinte forma:

Peladefinicao,0x=0,nx=x+x+x+·+x︸ {z } n parcelas

nx=(−x)+(−x)+(−x)+·+(−x)|{z }

A definicao de multiplo e muito parecida com a de potencia.

Grupo gerado por um elemento

[x] = {xk | k ∈ š} = {, x−3, x−2, x−1, x, e, x, x2, x3, . . . }

Seja x um elemento de um grupo multiplicativo (G,·). O grupo gerado por x, denotado por [x] (ou por ⟨x⟩) e o conjunto de todas as potencias de expoente inteiro de x:

[y] = {ky | k ∈ š} = {, −3y, −2y, −y, 0, y, 2y, 3y, . . . }
Em G = (‘∗, ·), temos: [2] = {2k | k ∈ š} = {, 18, 14, 12, 1, 2, 4, 8, . . . }

Exemplo

Grupos cıclicos

Um grupo G e denominado cıclico se existir x ∈ G tal que G = [x]. Neste caso, todos os elementos de G sao potencias (ou multiplos) de x que e denominado um gerador de G.

Exemplos

Um grupo cıclico pode ter mais de um gerador. Note que neste caso temos tambem = [−1].

• O grupo multiplicativo dos reais, ( ∗,·), nao e um grupo cıclico porque nao existe um numero real x tal que todo numero real seja igual a alguma potencia de x.

Classes laterais

As classes laterais a esquerda podem coincidir ou nao com as classes a direita. Podemos ter x ∗ H = H ∗ x ou x ∗ H , H ∗ x, dependendo do x e do H.

Exemplo 1

Exemplo 2

Indice de H em G

SejamG um grupo finito e H um subgrupo deG. Oındice de H emG e o numero de classes laterais distintas modulo H em G e e denotado por (G : H).

Exemplo

Subgrupo normal e grupo quociente

Sendo (G,∗) um grupo, um subgrupo N de G e denominado normal quando x ∗ N = N ∗ x para todo x ∈ G. Neste caso, denotaremos N normal em G por N C G.

Grupo quociente

Consideremos N ▹ G. O conjunto de todas as classes laterais modulo N e um grupo com a operacao definida por e e denominado grupo quociente de G por N. O grupo quociente de G por N e denotado por G/N.

1.5 Principais proposicoes

Teorema de Lagrange

Se G for um grupo finito e H um subgrupo de G, entao a ordem de H e um divisor da ordem de G e o quociente da divisao e igual ao ındice de H em G. Em sımbolos: o(G) = o(H) · (G : H).

Teorema do Homomorfismo

1.6 Aneis

Exemplos

• O conjunto dos numeros inteiros e um anel com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao de inteiros usuais.

definidas de forma usual.

Exemplo • Dado n um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos modulo n,

Subaneis

Exemplos

• O conjunto dos multiplos de 2, 2 , e um subanel de com as operacoes de adicao e multiplicacao de inteiros usuais.

Subaneis

A proposicao a seguir fornece um criterio bastante util para se determinar se um conjunto S , ∅ e subanel de um anel A.

Proposicao

Observacao

Subaneis Exemplo

• Alem disso, dados dois elementos quaisquer de S, M =

Aneis comutativos

• Tambem sao comutativos os seguintes aneis: , , , m com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao definidas em cada um desses conjuntos.

Aneis com unidade

Um anel com unidade e um anel A cuja multiplicacao possui elemento neutro, denotado por 1A ou simplesmente por 1, e denominado a unidade do anel.

Exemplos

Aneis de integridade Um anel comutativo com unidade A e denominado anel de integridade quando

Definicao

Dizemos que x , 0 e y , 0 em um anel A sao divisores proprios de zero quando x · y = 0.

Observacao

De acordo com as definicoes anteriores, um anel de integridade e um anel comutativo com unidade que nao tem divisores proprios do zero.

Exemplos

4 sao divisores proprios do zero em 8 e, consequentemente, 8 nao e anel de integridade.

Y nao sao matrizes nulas, no entanto X ·Y =

] . Logo, X e Y sao divisores proprios do zero e A nao e anel de integridade.

1.7 Corpos

Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja,

Exemplos

• Se p for um inteiro primo positivo, entao p e um corpo.

Proposicao Todo corpo e um anel de integridade.

Observacao

A recıproca da proposicao anterior nao e valida, ou seja, nem todo anel de integridade e um corpo. O exemplo mais conhecido dessa situacao e o anel dos inteiros .

Proposicao Todo anel de integridade finito e um corpo.

1.8 Homomorfismos de aneis

Uma funcao f : A −→ B de um anel A em um anel B e denominada homomorfismo de aneis quando forem verificadas as duas seguintes propriedades:

Exemplo

Homomorfismos de aneis

O nucleo de um homomorfismo f : A −→ B, denotado por N(f) ou por ker(f), e definido como sendo o conjunto de todos os elementos de A cuja imagem pela f e igual ao zero do anel B:

Exemplo

Homomorfismos de aneis Propriedades

Seja f : A −→ B um homomorfismo de aneis. Sao validas as seguintes propriedades:

• Se f for uma funcao sobrejetora e A possuir unidade 1A, entao o mesmo acontece com B e a unidade de B e 1B = f(1A);

Isomorfismos de aneis

Um isomorfismo de um anel A em um anel B e uma funcao f : A −→ B que e um homomorfismo e bijetora.

Observacoes

• Quando existir um isomorfismo de A em B, entao diremos que A e B sao isomorfos e denotamos isso por A ≃ B.

• Se A e B forem aneis isomorfos, entao eles tem as mesmas propriedades, a diferenca entre eles e basicamente os nomes dos elementos.

Ideais

Em um anel comutativo A, um subconjunto nao vazio I ⊂ A e um ideal em A quando ele satisfizer as seguintes propriedades:

Exemplo

Ideais

Exemplos

1.9 Aneis-quocientes

Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por I e o conjunto A/I = {x + I | x ∈ A} com as operacoes de adicao e multiplicacao definidas a seguir:

Exemplo

• Todas as possıveis adicoes entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tabua:

• Todas as possıveis multiplicacoes entre seus elementos podem ser observadas na seguinte tabua:

Observacoes e teoremas Observacao 1

Um ideal em um anel A e um tipo particular de subanel de A, mas nem todo subanel e um ideal.

Todo anel possui pelo menos dois ideais: o proprio anel e o conjunto unitario formado so pelo zero; esses sao chamados os ideais triviais do anel. Em um corpo K, seus unicos ideais sao os triviais: {0} e K.

Teorema 2

Seja A um anel. Uma sequencia de elementos em A e uma funcao f : −→

Nesse formato, estamos representando f(k) por ak, para todo k ∈ . O elemento ak ∈ A e denominado o k-esimo termo da sequencia.

Exemplos

Definicao

Observacao

Definicao

denominada polinomio sobre A quando existir um ındice s ∈ tal que ak = 0 para todo k > s. O conjunto de todos os polinomios com coeficientes no anel A e

Observacao

Uma sequencia que e um polinomio tem todos os seus termos nulos a partir de certa ordem. Por isso, um polinomio tambem e denominado sequencia quase-nula. Os termos de um polinomio tambem sao chamados de coeficientes.

Exemplo

1.1 Grau de um polinomio

Consideremos f = (ai) um polinomio nao nulo. O grau de f e o maior ındice dos termos nao nulos de f, ou seja, e definido como sendo igual a n se an , 0 e ak = 0

Notacao: O grau de um polinomio f e denotado por ∂f ou por gr(f).

Exemplos

1.12 Notacao usual

Exemplos

Proposicoes basicas

• A soma e o produto de dois polinomios de A[x] da como resultado um polinomio de A[x].

• Se A for um anel, entao A[x] tambem e.

• Se A for um anel comutativo, entao A[x] tambem e.

• Se A for um anel com unidade, entao A[x] tambem e.

• Se A for um anel de integridade, entao A[x] tambem e.

• Em geral, A[x] nao e um corpo (mesmo que A seja um corpo).

• Todo anel A e isomorfo ao subanel de A[x] formado por todos os polinomios constantes.

Divisao de polinomios

Sendo A um anel comutativo com unidade, dados dois polinomios f e g em A[x], dizemos que f divide g quando existir h ∈ A[x] tal que g = f · h. Notacao: Denotamos “f divide g” por f | g e “f nao divide g” por f - g.

Observacao f divide g e considerado o mesmo que: f e divisor de g ou g e divisıvel por f ou g e multiplo de f.

Exemplo

Teorema (Algoritmo da Divisao)

Dividindo 6x4 por x2 obtemos 6x2. Multiplicamos 6x2 por g(x) e subtraimos o produto de f(x). Repetimos esse procedimento ate obtermos um polinomio de grau menor do que o grau de g(x).

Raızes de polinomios

Exemplo

Proposicao

Sejam A um anel comutativo com unidade, f ∈ A[x] e g = x − s ∈ A[x]. • O resto da divisao de f por g e igual a f(s);

Exemplos

Raızes racionais

inteiros. Se pq for uma raiz racional dessa equacao com p,q ∈ , entao p e um divisor de a0 e q e um divisor de an.

Exemplo

Exemplo Determine todas as raızes da equacao

• Dividindo-se os divisores de 21 pelos divisores de 2, obtemos as possıveis raızes

obtemos quociente igual a (x2 − 7) e resto igual a zero.

seja, seu conjunto-solucao e:

1.13 Polinomios irredutıveis

Seja K um corpo e p ∈ K[x]. Dizemos que o polinomio p e irredutıvel em

K[x] (ou irredutıvel sobre K) quando p nao e um polinomio constante e, se existirem f,g ∈ K[x] tais que p = f · g, entao f e constante ou g e constante. Um polinomio que nao e irredutıvel sobre K e denominado redutıvel sobre K.

Observacao

Os polinomios redutıveis sobre K sao aqueles polinomios que podem ser fatorados, ou seja, escritos como produto de dois polinomios nao constantes de K[x].

(x−√5)︸{z }
·(x+√5)|{z }

Teorema (Criterio de Eisenstein)

Exemplo

Capıtulo 2 Operacoes binarias

Verifique: a) se tem elemento neutro; b) se e comutativa; c) quais sao os elementos de A que sao invertıveis.

Solucao:

a) Primeiramente, vamos verificar se a operacao e comutativa. Para isso, verificamos que a parte da tabua que esta acima da diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito e simetrica com relacao a parte que esta abaixo da diagonal.

b) Agora, vamos verificar se a operacao tem elemento neutro. Observamos a primeira linha da tabua (o cabecalho) e verificamos se ela se repete em algum lugar. Ela se repete na linha do elemento ♢. Isso signifca que: ♢ ♡ = ♡, ♢ ♠ = ♠, ♢ ♢ = ♢ e ♢ ♣ = ♣. Logo, ♢ e um elemento neutro a esquerda para a operacao .

Observamos novamente a tabua para ver se a primeira coluna se repete em algum lugar. Verificamos que ela se repete no elemento ♢. Isso significa que ♢ e um elemento neutro a direita. Portanto, ♢ e o elemento neutro da operacao .

Verifique se ⋆ tem elemento neutro, se e comutativa e quais sao os elementos de B que sao invertıveis.

Solucao:

• A primeira linha da tabela se repete na ultima linha, a linha que corresponde ao elemento 5. Note que a primeira coluna se repete tambem na coluna que corresponde ao elemento 5. Isso significa que o e = 5 e o unico elemento neutro dessa operacao.

• A tabela e simetrica com relacao a diagonal que inicia na parte superior esquerda e termina na parte inferior direita. Logo, a operacao e comutativa.

• O elemento neutro e aparece na tabua apenas uma unica vez, como resultado da operacao 5 ⋆ 5 = 5 = e. Isso significa que o 5 e o unico elemento invertıvel e o inverso do 5 e igual a ele mesmo.

• x ⊕ y = resto da divisao de x + y por 5. Construa a tabua dessas duas operacoes sobre o conjunto A.

Solucao: Alguns exemplos:

Prosseguindo dessa forma, obtemos as seguintes tabelas:

Solucao: Como X so tem 3 elementos, entao so podem existir 3 funcoes constantes definidas de X em X:

Observando a tabua, vemos que a primeira linha da tabua (o cabecalho) nao se repete em lugar algum; logo, a operacao nao tem elemento neutro a esquerda. Por outro lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tabua; isso significa que a

A5) Considere a seguinte operacao ∗ definida sobre o conjunto dos numeros racionais:

Verifique se ∗ e comutativa, se e associativa, se tem elemento neutro e se existem elementos invertıveis.

Solucao:

comutativa.

• Suponhamos que e seja o elemento neutro dessa operacao. Entao, por exemplo,

• Se a operacao nao tem elemento neutro, entao nao faz sentido a definicao de elemento invertıvel.

(Parte 1 de 2)

Comentários