Baixe Trabalho de v...es - digitado - pedro paulo braga dantas campos-012433 e outras Trabalhos em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período PEDRO PAULO BRAGA DANTAS CAMPOS 012433 VIBRAÇÕES MECÂNICAS ITAJUBÁ 2017 2.6 Vibração livre com amortecimento viscoso O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características enunciadas na seção 2.3.1. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão: onde c é a chamada constante de amortecimento. 2.61 Equação de movimento A Fig. 2.21a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2ª Lei de Newton, permite que se escreva a equação Manipulando as fórmulas chega a essa equação Caso1. Sistema subamortecido Aplicando as condições iniciais (x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0) e trabalhando as fórmulas, temos que Caso 2. Sistema cri�camente amortecido A aplicação das condições iniciais x(t=0) = x0 e ẋ(t=0) = ẋ0 para esse caso dá O decremento logarítmico é adimensional e, na realidade, é outra forma do fator do fator de amortecimento adimensional .Uma vez conhecido , pode ser determinado resolvendo-se a Equação (2.85): (2.87) Se usarmos a Equação (2.86) em vez da Equação (2.85), temos (2.88) Se o amortecimento no sistema dado não for conhecido, podemos determiná-lo por experimentais medindo quaisquer dois deslocamentos consecutivos x1 e x2.Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos . Pela Equação (2.87), podemos calcular o fator de amortecimento . FIGURA 2.26 - Plano de fase de um sistema amortecido. Na verdade, o fator de amortecimento também pode ser determinado medindo-se dois deslocamentos separados por qualquer número completo de ciclos. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos FIGURA 2.27 - Variação do decremento logarítmico com amortecimento. (2.89) Visto que quaisquer dois deslocamentos sucessivos separados por uma ciclo satisfazem a equação (2.90) A Equação (2.89) torna-se (2.91) As Equações (2.91) e (2.85) dão (2.92) que pode ser substituído na Equação (2.87) ou Equação (2.88) para obter o fator de amortecimento viscoso . 2.6.4 Energia dissipada em amortecimento viscoso Como o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, é útil se estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibração livre, toda a variação de energia resulta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia com o tempo é dada por onde assumiu-se que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipativo. Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos dt. A energia dissipada no ciclo de vibração é, portanto Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de movimento ΔW/W, como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa como a máxima energia potencial ou como a máxima energia cinética . As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim,pelas equações (2.85) e (2.88). A quantidade * é denominada capacidade de amortecimento específico e é útil para comparar a capacidade de amortecimento de materiais de engenharia. Outra quantidade, conhecida como coeficiente de perda, também é usada para comparar. O coeficiente de perda é definido como a razão entre a energia dissipada por radiano e a energia total de deformação: coeficiente de perda (2.100) EXEMPLO 2.10 Resposta da bigorna de um martelo de forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4. Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá (E.1) onde Va1 = 0 (a bigorna está em repouso antes do impacto) e Vt1 pode ser determinada igualando sua energia cinética um pouco antes do impacto com sua energia potencial antes de cair de uma altura de h = 2 m: (E.2) ou Assim, a Equação (E.1) torna-se isto é, (E. 3) A definição do coeficiente de restituição (r) dá: (E.4) isto é, isto é, (E.5) A solução das equações (E.3) e (E.5) dá Assim as condições iniciais da bigorna são dadas por O fator de amortecimento é igual a As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela Equação (2.72): EXEMPLO 2.11 Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento como (E.3) Quando t = 0, a Equação (E.3) dá EXEMPLO 2. 12 Análise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2.32 [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial. Solução: 1. A frequência natural não amortecida do sistema é e o coeficiente de amortecimento crítico (Equação 2.65) do amortecedor é 2. A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela Equação (2.78): (E. 1) onde .O tempo t1 no qual x(t) alcança um valor máximo pode ser obtido fazendo X(t) = 0. A diferenciação da Equação (E.1) dá Por consequência, X(t) = 0 dá (E. 2) FIGURA 2.32 - Recuo de canhão Nesse caso, X0 = C1 = 0; por consequência, a Equação (E.2) resulta em t1 = 1/ ῳn. Visto que o valor máximo de x(t) ou a distância de recuo é dada como Xmáx = 0,4 m, temos ou 3. Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0,1 m em relação à sua posição inicial, temos (E. 3) A solução da Equação (E.3) dá t2 = 0,8258 s.