Séries Geométricas e os Números Complexos

Séries Geométricas e os Números Complexos

Séries Geométricas e os Números Complexos.

Autor: Rodrigo R. Gonçalez 1. Introdução.

Para a introdução deste trabalho, bastava uma motivação simples e singular de estudar a forma e o desenvolvimento de determinadas Sequências e Séries Geométricas, as quais possuem tal belo comportamento, irregular e sorrateiro, quando seus termos se aproximam do infinito.

O objetivo deste, portanto, consiste em verificar alguns resultados interessantes ao obtermos

Progressões e Séries Geométricas com os Números Complexos. Portanto, a ênfase é verificarmos o que acontece quando os termos e a razão de tais sequências são complexos e obtermos resultados.

Seja uma sequência geométrica na forma 1, n

Sabemos, pelo Binômio de Newton, que:

n n n k k

n a bi a bi

Ou seja,

( ) ( )( )

n n k k n n n n n

n n k k n n n a bi a bi a bi n n n a bi a bi a bi n a bi n n a bi a k n n n n n n n n n n n n a bi n n n a b a b i a b n n n a b i a b a b i n n b i n

Desenvolvendo este binômio, observamos que os termos de ordem par são independentes de i e os termos de ordem ímpar são dele dependentes. Ou seja, os termos de ordem par constituem a parte real do binômio, e os termos de ordem ímpar a parte imaginária. Tomando um k , pode-se provar que:

n k n k k n k k

n k n k k n k k n n k n k

R a b e k

I a b k

a bi R i I

Logo, podemos escrever o termo geral de nossa sequência geométrica em função de uma raiz complexa da forma: 1 , ,n n k n k

Se o primeiro termo for um complexo da forma 1 x w c di , temos:

, , , , , ,n n k n k n n k n k n k n k

Portanto, dado uma sequência geométrica na forma 1, n zabiewcdi são números complexos, a parte real e a parte imaginária do termo geral dessa sequência são dadas por:

Re: Im: cp dq cq dp

2. Forma Polar.

Mas, pela Fórmula de De Moivre, a qual associa números complexos a funções trigonométricas, temos que:

É de fato importante demonstrarmos tal relação.

Um número complexo pode ser expresso na forma polar, de maneira que seu módulo ||z forma um ângulo com o eixo horizontal, o qual representa a parte real do número complexo. O eixo vertical, portanto, representa a parte imaginária. Tomemos o triângulo retângulo OAB , retângulo em A. Temos que:

b sen b z sen a a z

z a bi z z z sen i z z i sen

Temos que:

| | | | | | | || |(cos )(cos )...(cos )

n vezes n vezes n n n z z z z z z i sen i sen i sen

i sen i sen i sen sen i sen i sen i sen i sen

(cos ) cos 3 cos 3 cos cos 3 cos 3 cos cos 3 cos (3cos ) i sen i sen i sen i sen sen i sen isen sen i sen sen

sen i sen sen i sen

, , (cos ) cos( ) ( )n m geral por indução prova se que i sen n i sen n

Portanto, n n

n n

n n

Seja z z n i sen n i sen z z i sen i sen z n i n sen i sen n i sen n sen z i sen

z n sen n sen i z cos sen n sen n sen

Temos que

sen n sen n sen n n sen n sen n sen n sen n

Substituindo em

z z n i sen n

Portanto, dada a nossa razão complexa zabi , podemos escrever:

n n

n n n n

n n n z a b n i sen n x w z x c di a b n i sen n x c a b di a b n i sen n

Por uma questão de notação, seja cos[( 1) ]n c e [( 1) ]sen n s . Então:

n n n n n x c z ci z s di z di z s z c d s i c s d

z c d s i c s d

Este último resultado é muito importante para nós, pois simplificou demasiadamente nossos cálculos.

A parte real e imaginária do termo geral, portanto, é assim representada:

n n

n n x z c n d sen n x z c sen n d n

Observando os cálculos mediante o Binômio de Newton e a Fórmula de De Moivre, podemos fazer algumas comparações pertinentes e importantes.

n n n n k n k

n n n n k n k x z c c d s x c R d I x z c s d c x c I d R

De acordo com as observações, podemos comparar tais resultados:

n n n k n k

n n n k n k z R z R z s I s z I

Demonstração: Utilizando a relação fundamental da trigonometria, obtemos:

n n n k n k n n n k n k

n n n k n k s a b I a b R a b I a b R I R a b z

3. Séries de Taylor.

A série de Taylor associada a uma função infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (,)arar , é a série de potências dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ...

n n n n f a f a f a f x x a f a f a x a x a x a n n

Onde, !n é o fatorial de n e ( )

( )n fa denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Tomando a série de Taylor para compor funções, temos que, se 0a :

( ) ( ) (0) (0)( ) ( )( ) ... ( )

n n n n f f f f x x f f x x x Série de Maclaurin n n

1,
,
cos 1,

n n x n n n n x x x x x e x x n n x x x x sen x x x x x x x x x x x

Tomando x i temos

1

cos i i i i e i e i sen

De fato, um belíssimo resultado. Nisso, podemos provar, de forma análoga:

[( 1) ] ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
cos [( 1) ] 1 ( 1) ( 1) ( 1)

k k k k x x x sen n x n x n n n n x x k x x x n x n n n

n x x k

1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 ( 1)( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)

n x k k n i x x x e n x n n n n x x k

Para x i temos e n i n i n n n n n i

( 1) ( 1)

n n e n i sen n n n k n k k

n n k n k k n n z a b n sen n z a b

Então:

n n i n k n k k n n k n k k n n n k n k k k n k k

k k n e z a b n i z a b n n z a b i a b k k n n n i n n n n i i i z a bi e z z z z e e z z e z z

De fato, comprova-se o resultado esperado:

n i

n n n i e n i sen n

4. Relação de Euler e o Limite de Uma Sequência.

O número de Euler pode ser obtido mediante o limite de uma sequência ( )n x , tal que:

n n n x x e

Ao tomarmos um número p , podemos provar facilmente, utilizando as propriedades de limites no infinito, que:

1 lim n n n p x x e

De fato, façamos 1p n p t n t p n p t t

n n n p e n t t

Isto implica que podemos escrever uma sequência

k i n n n k i x x e n k

, de forma que k está fixado.

Se , obtemos outro importante resultado:

k i k i k i i k k k i k e k i sen k e k i sen k

e e e

Ou seja, obtemos uma sequência tal que:

n n n k i x x

Ao tomamos 1x na série de Taylor que nos dá a função exponencial x e, temos:

1,
1

n n x x x x x x e x x n n e n n

Que nos fornece um resultado interessante, mostrando que o número de Euler pode ser obtido pela soma infinita da série 1

5. Retomando Resultados.

Obtivemos resultados belíssimos anteriormente, dentre os quais:

n n

n i n n n i i x z c n d sen n i c sen n d n i e n i sen n i z z e

Dada uma progressão geométrica infinita, de termos e razão complexos, x w z n , tal que zabiewcdi , monótona e convergente, a qual gera um número real puro. Devemos ter:

lim Re n

Seja r um número real. Temos:

n n a S r

n n w c di S r r z a bi a bi c di c di a c di bi

a bi a bi a bi c ac di adi bci bd c ac bd i d ad bc r

a a b a b a

Assim devemos ter:

0dadbc para que r seja um número real puro.

0d ad bc d ad bc ad d bc

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