Livro - Matemática financeira

Livro - Matemática financeira

(Parte 1 de 4)

Matemática Financeira 2015

Editorial

© UniSEB © Editora Universidade Estácio de Sá

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Comitê Editorial

Durval Corrêa Meirelles Juarez Jonas Thives Júnior

Ornella Pacífi co

Jair do Canto Abreu Júnior Andreia Marques Maciel

Autora do Original Ornella Pacífi co

Su mário Matemática Financeira

Juros Compostos7
Objetivos da sua aprendizagem7
Você se lembra?7
Introdução8
1.1 Matemática Financeira e o Valor do dinheiro no tempo8
1.2 Inflação13
1.3 Juros Simples14
1.4 Juros Compostos2
1.5 Taxas de Juros26
1.6 Títulos de renda fixa3
Atividades36
Reflexão38
Leituras recomendadas38
Referências38
No próximo capítulo39
Capítulo 2: Desconto simples e desconto composto41
Objetivos da sua aprendizagem41
Você se lembra?41
Introdução42
2.1 Desconto simples43
2.2 Desconto Composto49
2.3 Fórmulas utilizadas52
Atividades52
Reflexão5
Leitura Recomendada5
Referências56
No próximo capítulo56
Capítulo 3: Série de Pagamentos/Recebimentos57
Objetivos da sua aprendizagem57
Você se lembra?57
Introdução58
3.1 Série uniforme de pagamentos postecipada64
3.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada69
Reflexão74
Leitura recomendada75
Referências75
No próximo capitulo75
Capítulo 4: Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos7
Objetivos da sua aprendizagem7
Você se lembra?7
Introdução78
4.1 Sistema de amortização constante – Tabela SAC78
4.2 Sistema de amortização francês – tabela price82
4.3 Sistema de amortização americano – tabela saa8
4.4 Sistema de Amortização Misto (SAM)90
4.5 Comparação entre os métodos SAC, SAF e SAM93
Atividades93
Leitura recomendada94
Referências94
No próximo capítulo94
Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback95
Objetivos da sua aprendizagem95
Você se lembra?95
Introdução96
5.1 Payback97
5.2 Valor presente líquido (VPL)102
5.3 Taxa interna de retorno (tir)106
Atividades108
Reflexão109
Leitura recomendada109
Referências110

Apresentação Prezados(as) alunos(as)

A Matemática Financeira tem como objetivo principal o estudo do valor do dinheiro no tempo. Além disso, esta disciplina visa mostrar ao aluno as formas de utilização da matemática financeira em transações empresariais e pessoais. Toda empresa e pessoa necessitará, em algum momento, utilizar a matemática financeira para calcular taxas e valores no decorrer do tempo e tomar suas decisões econômicas. Podemos então, usá-la de maneira simples e correta.

Muitos alunos e alunas sentem medo da matemática. Mas, aqui a sensação pode ser diferente. Temos duas opções: ou vamos odiar a matemática financeira ou vamos aprender a gostar dela. Eu fico com a última opção. E vocês? Vamos todos aprender a gosta da matemática e assim o aprendizado será prazeroso. Imagina que você descobrirá como os bancos cobram os juros. Irão saber se suas aplicações realmente são lucrativas economicamente. Aos comerciantes, entenderão como os bancos descontam seus títulos a receber etc. De forma interdisciplinar, a matemática calcula valores ($) e taxas (%) no decorrer do tempo. Assim, este material está dividido em cinco capítulos, além de um apêndice com um manual básico da calculadora HP-12C. No primeiro capítulo são apresentados os regimes de capitalização simples e composta e também suas utilizações e forma de cálculo. Neste capítulo também são abordadas as taxas de juros referentes a cada regime de capitalização.

Se demorarmos em pagar uma dívida pagamos juros, já se antecipamos o pagamento temos direito a um desconto. No capítulo dois são apresentadas as metodologias de desconto tanto no regime simples quanto no composto.

Já o terceiro capítulo aborda como devemos calcular as prestações de um financiamento, além dos planos de poupança. Neste caso são apresentadas as série uniforme de pagamentos.

O quarto capítulo traz os sistemas de amortização: Constante, Francês, Americano e Misto. E por fim, no capítulo cinco são apresentadas as ferramentas para análise de viabilidade dos projetos de investimentos, o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o payback. Muitos exercícios além de serem resolvidos algebricamente também são resolvidos com auxílio da calculadora financeira HP-12C, nos casos em que são possíveis.

Vale lembrar que a matemática financeira pode ser cursada com o uso da

HP-12C. Para quem já a tem, ótimo. Para quem não a tem, é possível encontrar vários emuladores gratuitos disponíveis na internet.

CapCtuCo C Juros Simples e Juros

Compostos

Neste primeiro capítulo aprenderemos os conceitos iniciais relativos à Matemática

Financeira. Será apresentado o conceito de valor do dinheiro no tempo os dois regimes de capitalização, o regime de juros simples e o de juros compostos.

Também será demonstrado o comportamento das taxas de juros em cada regime de capitalização.

Objetivos da sua aprendizagem • Entender o mecanismo do cálculo dos juros simples;

• Construir um diagrama de fluxo de caixa;

• Conhecer as taxas de juros empregadas no regime de capitalização simples. • Conhecer a aplicação de juros compostos

• Calcular valores e taxas ao longo do tempo com juros compostos

Você se lembra? De algum dinheiro que pediu emprestado? Ou de ter emprestado algum dinheiro para alguém? Se sim, você teve que pagar algo em troca? Ou se emprestou dinheiro, cobrou algo de volta? Isso são os juros, que aprenderemos agora como é calculado no regime de juros simples e no regime de juros compostos que é o utilizado pelo mercado.

Matemática Financeira

Introdução

Segundo Kuhnen e Bauer (1996, p. 19), o objetivo principal da Matemática Financeira é responder aos seguintes questionamentos:

• Quanto receberei por uma aplicação de determinado valor no final de n períodos?

• Quanto deverei depositar periodicamente para atingir uma poupança desejada? • Quanto vale hoje um título vencível no futuro?

As respostas para essas questões, assim como para diversas outras que também poderiam ser utilizadas como exemplo, são “valores datados, ou seja, uma receita ou desembolso acontecendo em determinada data. Dessa forma, empréstimos, financiamentos, descontos bancários, investimentos, transações comerciais a prazo, entre outros, são casos típicos de valores datados.

A importância desses valores e, consequentemente, da Matemática

Financeira está intimamente ligada a um problema abordado no curso de Economia: a escassez dos recursos. As necessidades das pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada. Considerando que o dinheiro (ou capital) é um recurso escasso e que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro, os indivíduos desejam uma recompensa por não consumir hoje (MATHIAS; GOMES, 1996). É nesse contexto que os juros e as taxas de juros ganham relevância.

C.C Matemática Financeira e o VaCor do dinheiro no tempo

Se seu amigo lhe pedisse R$ 1.0,0 emprestados para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a 1 ano, você aceitaria a proposta?

Provavelmente você pensaria em algumas questões:

– Será que eu consigo comprar as mesmas coisas com R$ 1.0,0 daqui a 1 ano? – Se eu permanecesse com o dinheiro, poderia aplicá-lo na poupança e assim ganharia juros durante todo este período!

Juros Simples e Juros Compostos – Capítulo 1

O juro é como uma compensação (aluguel) que se paga pelo uso de determinado valor em dinheiro. Combinado o prazo, valor e taxa, o tomador arcará com os custos do capital e o investidor receberá a remuneração da aplicação (valor emprestado).

Por estar se privando do seu dinheiro, nada mais justo que você receba algo em troca, ou seja, os juros!!

Assim, podemos observar que o dinheiro tem um custo associado ao tempo. Os juros podem ocorrer a partir de dois pontos de vista:

• De quem paga: é o custo do capital, ou seja, o custo por não ter dinheiro na hora para consumir ou quitar dívidas. Branco (2002) afirma que o juro caracteriza-se, em tese, pela reposição financeira das perdas sofridas com a desvalorização da moeda (a inflação), durante o tempo em que estes recursos estão emprestados. • De quem recebe: é a remuneração do capital empregado.

O tempo é uma variável importante para a

Matemática Financeira. Existem duas formas básicas para considerar a evolução dos juros durante o tempo: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização composta.

Além dos juros, devemos conhecer outros termos importantes dentro da Matemática Financeira:

• Capital inicial (C) ou

Valor Presente (VP) ou Present Value (PV): é o recurso financeiro transacionado no início de uma determinda operação financeira, ou seja, é o valor do capital na data focal zero. A data focal zero é a data de início da operação financeira.

• Juros (J): como definido anteriormente, é o custo do capital.

Os juros podem ser obtidos a partir de uma taxa de juros.

• Taxa de juros (i): simbolizado pela letra i, do inglês, interest rate, taxa de juros. A determinação da taxa de juro deve ser eficiente de forma a remunerar o risco envolvido na operação de empréstimo ou aplicação.

Matemática Financeira

Na calculadora HP-12C será usada a forma percentual, enquanto que nas operações algébricas serão usadas taxas unitárias.

A taxa pode ser representada em forma percentual ou unitária e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, mês, etc.).

Exemplo 1.1: i = 10 % ao mês = 10 % a.m = 10/100 = 0,10

Taxa unitáriaTaxa percentual

• Montante (M) ou Valor

Futuro (VF) ou Future Value (FV): é a quantidade acumulada após um certo período de tempo, ou seja, é a soma do Capital (PV) mais o Juro (J).

Tempo ou período (n): corresponde à duração (em dias, semanas, meses, anos, etc) da operação financeira

C.C.C Diagrama de FCuxo de Caixa

O diagrama de fluxo de caixa é uma representação gráfica da movimentação das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo, como pode ser visto na figura 1.1.

No diagrama é demostrado:

• O tempo, na escala horizontal, que podem ser meses, anos, semestres, etc.

• As entradas de dinheiro (recebimentos), que têm sinal positivo e são representadas por setas apontadas para cima.

• As saídas de dinheiro (pagamentos, que têm sinal negativo e são representadas por setas apontadas para baixo.

Juros Simples e Juros Compostos – Capítulo 1

O objetivo da Matemática Financeira é calcular valores ($) e taxas (%) ao longo do tempo

Em Matemática Financeira: “Tudo é fluxo”

$ $ Entradas Saídas

Figura 1.1 – Diagrama de fluxo de caixa

Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mesma coisa. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por determinado tempo requer um sacrifício, que deve ser pago por meio de uma recompensa (juros). Dessa forma, os juros efetivamente induzem o adiamento do consumo, o que permite a formação de poupança e novos investimentos na economia.

O valor da taxa a ser cobrada em determinada operação financeira, segundo Assaf Neto (2003), será determinada pela soma de fatores de risco de cada tomador de empréstimo, ou seja:

• O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro.

• A perda do poder de compra de capital motivada pela inflação.

A inflação é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo valor em dinheiro.

• O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimento e definido por custo de oportunidade.

Matemática Financeira

O quadro seguinte apresenta alguns exemplos de taxas de juros existentes no Brasil:

Taxa Sigla Descrição

Taxa Referen-cial de JurosTR

• Apurada e divulgada mensalmente pelo Banco Central.

• Cálculo: regras próprias que levam em consideração as taxas prefixadas de juros praticadas pelos maiores bancos na colocação de títulos de sua emissão.

• Utilizada como um indexador em diversos contratos de financiamento e em aplicações financeiras (ex.: caderneta de poupança).

• Importância: sinaliza para o mercado o comportamento das demais taxas de juros.

Taxa Financeira Básica TBF

• Apurada e divulgada periodicamente pelo Banco Central.

• Cálculo: regras próprias que levam em consideração os rendimentos médios mensais oferecidos pelos CDBs de 30 dias.

• Taxa futura de juros dos títulos de renda fixa do mercado financeiro nacional.

• Importância: transmite aos agentes uma idéia sobre o comportamento dos juros previstos para os próximos 30 dias.

Taxa do Banco CentralTBC

• Formada livremente nos mercados (resultado das forças de oferta e demanda de recursos).

• Importância: referencia o nível mínimo dos juros nas operações de open market e para o mercado financeiro de uma maneira geral.

Taxa de

Assistência do Banco Central TBAN

• Apurada e divulgada periodicamente pelo Banco Central. • Aplicada ao mercado aberto.

• Cálculo: estabelecida pelo Comitê de Política Monetária (Copom).

• Importância: percentual máximo a ser adotado como referência em operações de compra e de venda de títulos públicos pelo Banco Central.

Taxa de Juros de Longo Prazo TJLP

• Apurada e divulgada trimestralmente pelo Banco Central. • Taxa de juros aplicada, preferencialmente, em operações de longo prazo.

• Cálculo: regras próprias que levam em conta as taxas de juros dos títulos da dívida externa e interna do Brasil.

• Importância: remunera, entre outros, os recursos do PIS/PASEP e do Fundo de Amparo do Trabalhador (FAT); principal fator de correção das linhas de financiamento geridas pelo BNDES.

Quadro 1.1 – Brasil: exemplos de taxas de juros Fonte: Assaf Neto (2008).

Juros Simples e Juros Compostos – Capítulo 1

As diferentes taxas de juros existentes na economia apresentam, ao longo do tempo, a mesma tendência de variação.

C.2 InfCação

O processo inflacionário é o aumento generalizado dos preços dos vários bens e serviços. Para Padoveze (2007) inflação representa aumentos nos preços que reduz o poder aquisitivo da moeda. Por isso, a finalidade da correção monetária é proteger os ativos dos efeitos negativos da inflação.

Existem diversos índices de inflação. IPA e IGPM, ambos da FGV

IPC da FIPE-USP. INPC e IPCA, ambos do IBGE. O oficial no Brasil é o IPCA.

Inflação acumulada Se desejarmos encontrar a inflação acumulada de um determinado período não podemos simplesmente somar as taxas, mas sim somamos um a cada taxa e multiplicamos. Vejamos a fórmula:

Iac = (1 + I1) × (1 + I2)–1

Vejamos o exemplo:

Exemplo 1.1: Considere 5%, 3%, 2%, 5%, 4%, 7% respectivamente, as taxas de inflação para seis primeiros meses de um ano e um ativo de R$1.0,0 no início desse mesmo ano. Pede-se: a) Qual o valor do bem corrigido no final dos seis meses? b) Qual a inflação acumulada no final dos seis meses?

Resolução: a) valor corrigido do bem: 1º mês: R$ 1.0,0 x 1,05 = R$ 1.050,0 2º mês: R$ 1.050,0 x 1,03 = R$ 1.081,50 3º mês: R$ 1.081,50 x 1,02 = R$ 1.103,13 4º mês: R$ 1.103,13 x 1,05 = R$ 1.158,28 5º mês: R$ 1.158,28 x 1,04 = R$ 1.204,61 6º mês: R$ 1.204,61 x 1,07 = R$ 1.288,94

Conexão:

Olhe no seguinte site http://www.ipeadata.gov br e verifique os índices de inflação.

Matemática Financeira

Incremento no valor do ativo no trimestre:

Exemplo 1.2: Em um determinado trimestre são apresentadas as seguintes taxas mensais de variações de preços gerais da economia: 5,4%; - 1,2% (deflação); e 3,8% Determine a taxa de inflação acumulada do trimestre.

Resolução: I (trim.) = [(1 + 0,054) x (1 – 0,012) x (1 + 0,038)] – 1 I (trim.) = [(1,054) x (0,988) x (1,038)] – 1 I (trim.) = 0,08092 x 100 = 8,092% a.t.

C.3 Juros SimpCes

O primeiro regime de capitalização que iremos aprender é o regime de capitalização simples, ou simplesmente, regime de juros simples.

Nos juros simples, o dinheiro cresce linearmente ou em progressão aritmética com o passar do tempo, pois os juros de cada período são sempre calculados sobre o valor inicial, não havendo incidência de juros sobre juros. Para entendermos melhor, vamos ver o seguinte exemplo:

Exemplo 1.3 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100 no Banco do Futuro, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 10 % ao mês, no regime de juros simples. Determinar o saldo final acumulado nesta aplicação.

Resolução:

MêsCálculo dos Juros mensaisJuros mensaisSaldo final

1$ 100 × 10 % =$ 10$ 110 2$ 100 × 10 % =$ 10$ 120 3$ 100 × 10 % =$ 10$ 130

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