antonio carlos almeida junior 011574

antonio carlos almeida junior 011574

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBÁ - FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

Antônio Carlos Almeida Junior

011574

Vibrações

Prof. Tulio André Paiva

Itajubá

2017

Sumario:

A) -Definição de vibração livre com amortecimento viscoso;

a.1) -Equações de movimento;

a.2) -Solução destas equações;

a.3) -Decremento logarítmico;

a.4) -Energia dissipada em amortecimento viscoso;

-Exemplo:2.10;

-Exemplo:2.11;

-Exemplo:2.12;

A) -Definição de vibração livre com amortecimento viscoso;

O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as.

a.1)-Equações de movimento

A força de amortecimento viscoso,F,e proporcional a velocidade X ou V e pode ser expressa como:

Onde c é a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento viscoso, e o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentindo da velocidade. Um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso. Se X for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de Newton dá a equação de movimento:

-Solução:

Para resolver a equação admitimos uma solução na forma

Onde C e S são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na equação resulta na equação característica

Estas raízes dão duas soluções para equação

Assim, a solução geral da equação e dada por uma combinação das duas soluções x1 ex2:

Onde c1 ec2 são constantes arbitrarias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

a.2) -Solução das equações (3 casos)

1º- Caso: Sistema subamortecido

Para essa condição e negativo e as raízes s1 es2 podem ser expressas como

E a solução pode ser escrita de formas diferentes:

Onde são constantes arbitrarias a ser determinadas pela condições iniciais.

Para as condições iniciais podemos determinar C1 ec2:

E, por consequência, a solução torna-se

As constantes podem ser expressas como

O movimento descrito pela equação e um movimento harmônico amortecido de frequência angularporem ,por causa do fator a amplitude diminui exponencialmente com o tempo.

E denominada a frequência de vibração amortecida .Pode-se ver que a frequência de vibração amortecida Wd é sempre menor do que a frequência natural não amortecida Wn. A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento.

O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em movimento oscilatório.

2º- Caso: Sistema criticamente amortecido

Nesse caso ,as duas raízes s1 e s2 da equação são iguais:

Por causa das raízes repetidas, a solução da equação e dada por:

A aplicação das condições iniciais x(t=0)=X0 e x(t=0)=X0. Para esse caso dá

E a solução torna-se

Pode-se ver que o movimento representado pela equação e aperiódico (isto é, não periódico).

3º-Caso: Sistema superamortecido

a equação mostra que as raízes s1 e s2 são reais e distintas e são dadas por

Com s2<s1.Nesse caso a equação pode ser expressa como

Para as condições iniciais podemos obter as constantes C1 e C2:

A equação mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições iniciais impostas ao sistema. Visto que as raízes s1 e s2 são ambas negativas, o movimento diminui exponencialmente com o tempo.

a.3) - Decremento Logarítmico

O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos correspondentes a duas amplitudes (deslocamento) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido, como na figura .Pela equação podemos expressar a razão

O decremento logaritimicopode ser obtida pela equação

a.4) - Energia dissipada em amortecimento viscoso

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação da energia com o tempo (dw/dt) e dada por

Pela equação o sinal negativo na equação denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=XsenWdT onde X e a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo e dada por

Isso mostra que a energia dissipada e proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que também e função da frequência Wd.

A equação e valida mesmo quando há uma mola de rigidez K em paralelo ao amortecedor viscoso. Para ver isso considere o sistema . A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

Que podemos ver que é idêntica a equação 2.94. Esse resultado é esperado, visto que a força da mola não realizara nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer numero inteiro de ciclos.

Exemplo 2.10

Resposta da bigorna de um martelo de forja

A bigorna de um martelo de forja pesa 5.000N e está montado sobre uma base que tem uma rigidez de 5x10^6 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 Ns/m. Durante determinada operação de forjamento ,o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda , martelo pilão)com peso de 1.000N é acionado e cai de uma altura de 2m sobre a bigorna. Se a nigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto.Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0.4.

Assim a equação torna-se

Isto é,

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

A solução das equações dá:

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por

O fator de amortecimento é igual a

As frequências naturais não amortecidas e amortecidas da bigorna são dadas por

A resposta ao deslocamento da bigorna é dada pela equação

Exemplo 2.11

Amortecedor de choque para uma motocicleta

O projeto de absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200Kg de massa deve atender as seguintes especificações: quando o amortecedor estiver a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada. Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessários para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2s e amplitude x1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio-ciclo.Determine também a velocidade inicial mínima que resultado em um deslocamento máximo de 250 mm.

A constante de amortecimento critico pode ser obtida por:

Assim, a constante de amortecimento é dada por

E a rigidez por

O deslocamento da massa atingira seu valor máximo no tempo t1, dado por

O envelope que passa pelos pontos máximos é dado por:

Já que x=250mm a equação dá, em t1

A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento

Exemplo 2.12

Analise de um canhão

O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na figura. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projetil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao projetil. Visto que é desejável que o canhão volte a posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. E num caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo tem uma massa de 500kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000n/m. O recuo do canhão após um disparo é 0.4m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0.1m de sua posição inicial.

1.A frequência natural não amortecida do sistema é

E o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor é

2.A resposta de um sistema criticamente amortecido é dada pela equação

Nesse caso,X0=c1=0 por consequência a equação resulta em T1=1/Wn,v, visto que o valor máximo de X(t) ou a distância de recuo e dada como Xmax=0.4m temos:

3.Se t2 denotar o tempo que leva para o canhão voltar a uma posição a 0.1m em relação a sua posição inicial, temos

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