Diego José Rodrigues Marques-003407

Diego José Rodrigues Marques-003407

(Parte 1 de 2)

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE ITAJUBA – FEPI

Curso de Engenharia Mecânica – 7° Período

Diego José Rodrigues Marques - 003407

TRABALHO DE VIBRAÇÕES

2° LISTA DE EXERCÍCIO DE VIBRAÇÕES

Itajubá

2017

Diego José Rodrigues Marques - 003407

TRABALHO DE VIBRAÇÕES

2° LISTA DE EXERCÍCIO DE VIBRAÇÕES

Trabalho apresentado ao Professor Tulio André Paiva da disciplina de Vibrações do curso de Engenharia Mecânica do Centro Universitário de Itajubá - FEPI

Itajubá

2017

Sumário

Introdução

  1. Definição de Vibração livre com Amortecimento viscoso.

a1) Equações de Movimento

a2) Solução destas equações

a3) Decremento Logaritmo

a4) Energia dissipada em amortecimento viscoso

Exemplo 2.10

Exemplo 2.11

Exemplo 2.12

Conclusão

Introdução

Vibrações Amortecidas é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os níveis vibratórios diminuem progressivamente.

Existe vários mecanismos de dissipação que transforma a energia mecânica em energia térmica, em um processo irreversível.

Vamos falar nesse trabalho do atrito Viscoso.

  1. Vibrações livre com amortecimento viscoso

    1. Equação de movimento

O amortecimento viscoso resulta no atrito viscoso, aquele que acontece entre um sólido (uma peca) e um fluido viscoso (óleo lubrificante) interposto entre as peças móveis do sistema mecânico. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal a ser proporcional a velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as.

A força de amortecimento viscoso tem como expressão Fa = -c ,onde c é a constante de amortecimento, e o sinal negativo indica que a força de amortecimento e oposta ao sentido da velocidade, ao se aplicar o 2° axioma da mecânica, temos a equação:

Um sistema com um grau de liberdade com um amortecedor viscoso é mostrado na figura 2.21,

Figura 2.21 – Sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso

Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m, a aplicação da lei de newton dá a equação de movimento:

= c– kx

Ou

(2.59)

Para resolvermos a equação, admitimos uma solução na forma:

(2.60)

Onde C e s são constantes indeterminadas. A inserção dessa função na equação (2.59) resulta na equação:

(2.61)

Cujas as raízes são:

(2.62)

Estas duas raízes são solução para equação (2.59):

(2.63)

Assim a solução geral da equação (2.59) é dada pela solução das duas soluções,  :

(2.64)

Onde  são constantes arbitraria a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Para constante de amortecimento crítico e o fator de amortecimento:

(2.65)

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento ζ é definido como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de amortecimento critico:

(2.66)

Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever:

(2.67)

E por consequência,

(2.68)

Assim a solução da equação (2.64), pode ser escrita por:

(2.69)

A natureza das raízes  e  e, por consequência, o comportamento da solução, equação (2.69), depende da magnitude do amortecimento. Pode-se perceber que o caso  resulta nas vibrações não amortecidas, por consequência admitimos que  e consideramos os três casos seguintes.

  • Caso 1. Sistema sub amortecido

O caso sub-amortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em movimento oscilatório.

No primeiro casso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento e menor que a constante de amortecimento critico, como pode ser observado em (2.66), Como consequência tem-se:

, então (2.69) pode ser escrita como:

(2.70)

. Para essa condição, é negativo e as raízes  e  podem ser expressas como:



Para condições iniciais , podemos determinar 

(2.71)

E por consequência a solução torna-se:

(2.72)

O movimento descrito pela equação (2.72) é um movimento harmônico amortecido de frequência angular , porem por causa do fator , a amplitude exponencialmente como mostra a figura (2.22). A quantidade é denominada a frequência de vibração amortecida e expressa pela formula:

 (2.76)

A frequência de vibração amortecida  é sempre menor que a frequência natural não amortecida . A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento, dada pela equação (2.76),é mostrada em gráfico na figura 2.23.

  • Caso 2. Sistema criticamente amortecido

. Neste caso as duas raízes  e  da equação (2.68), são iguais:

(2.77)

Por causa das raízes repetidas a solução da equação (2.59) se dá:

(2.78)

Para condições iniciais , para esse casso da :

(2.79)

E a solução torna-se:

(2.80)

Pode se ver que o movimento representado pela equação (2.80) é aperiódico (isto é, não periódico). Visto que  quando , o movimento eventualmente diminuirá até zero, como indicado na figura 2.24.

Figura 2.22 – Solução não amortecida

  • Caso 3. Sistema superamortecido

 , a equação (2.68), mostra que as raízes são reais e são distintas e dada por:



Com . Nesse casso, a solução, equação (2.69), pode ser expressa como:

(2.81)

Para condições iniciais , podemos obter a constante :

(2.82)

Figura 2.23 variação de com amortecimento.

A equação (2.81) mostra que o movimento é aperiódico, independente das condições iniciais impostas pelo sistema. Visto que as raízes são negativas, o movimento diminui exponencialmente com o tempo como mostra a figura 2.24.

        1. Decremento Logarítmico

Ha diversos métodos para determinação do amortecimento os quais podem ser obtidos por dois caminhos: método do decremento logaritmo e largura de meia banda de potencia.

O decremento logarítmico leva em conta a duração da resposta do sistema e uma excitação transitória, uma excitação por impulso. Representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida. É definido como logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por t1 e t2 os tempos correspondentes a duas amplitudes (deslocamento) consecutivas medidas com um ciclo de diferença entre uma e outra para um sistema não amortecido, como na figura. Pela equação podemos expressar a razão

2.83

Porém, onde é o período de vibração amortecida. Por consequência, e a Equação (2.83) pode ser escrita como

2.84

O decremento logaritimico’ pode ser obtida pela equação

a.4) Energia dissipada em amortecimento viscoso

Exemplo da energia dissipada

Em um sistema amortecido viscosamente, a taxa de variação da energia com o tempo (dw/dt) é dada por

Pela equação o sinal negativo na equação denota que a energia dissipa-se com o tempo. Suponha um movimento harmônico simples como x(t)=XsenWdt onde x e a amplitude do movimento e a energia dissipada em um ciclo completo é dada por

(2.94)

Isso mostra que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da amplitude do movimento. Observe que ela não é uma constante para valores de amortecimento e amplitude determinados, visto que ∆w também é função da frequência Wd.

A equação é válida mesmo quando há uma mola de rigidez K em paralelo ao amortecedor viscoso. Para ver isso considere o sistema. A força total resistente ao movimento pode ser expressa como

F = -kx – cv = kx - cx

(2.95)

Se admitirmos movimento harmônico simples

(2.96)

como antes, a Equação (2.95) torna-se

(2.97)

A energia dissipada em um ciclo completo será

(2.98)

Que podemos ver que é idêntica a equação 2.94. Esse resultado é esperado, visto que a força da mola não realizará nenhum trabalho durante um ciclo completo ou qualquer número inteiro de ciclos.

Exemplo 2.10

Resposta da bigorna de um martelo de forja

A bigorna de um martelo de forja pesa 5.000N e está montado sobre uma base que tem uma rigidez de 5x10^6 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 Ns/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo pilão) com peso de 1.000N é acionado e cai de um altura de 2m sobre a bigorna. Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a reposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0.4.

Assim a equação torna-se

Isto é,

A definição do coeficiente de restituição (r) dá:

isto é,

isto é,

A solução das equações dá:

Assim, as condições iniciais da bigorna são dadas por

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