lgebra Linear com Aplica-es - 10- Edi-o (Howard Anton) V, Notas de estudo de Automação

Baixe lgebra Linear com Aplica-es - 10- Edi-o (Howard Anton) V e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity! - DÉCIMA EDIÇÃO — a td https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Álgebra Linear COM APLICAÇÕES Howard Anton dy Chris Rorres https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ A634a Anton, Howard. Álgebra linear com aplicações [recurso eletrônico] / Howard Anton, Chris Rorres ; tradução técnica: Claus Ivo Doering. — 10. ed. — Dados eletrônicos. - Porto Alegre : Bookman, 2012. Editado também como livro impresso em 2012. ISBN 978-85-407-0170-0 1. Matemática. 2. Álgebra linear. L Rorres, Chris. IL. Título. CDU 512 Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos - CRB 10/2107 Para Minha esposa, Pat Meus filhos, Brian, David e Lauren Meus pais, Shirley e Benjamin Meu benfeitos; Stephen Girard (1750-1831), cuja filantropia mudou minha vida Howard Anton Para Billie Chris Rorres Esta página foi deixada em branco intencionalmente. OS AUTORES Howard Anton graduou-se pela Lehigh University, fez mestrado na University of Illinois e doutorado na Polytechnic University of Brooklin, sempre em Matemática. No começo dos anos 1960, trabalhou em problemas matemáticos relacionados ao programa espacial tripulado norte-americano na Burroughs Corporation e na Avco Corporation, em Cabo Canaveral, na Flórida. Em 1968, entrou para o Departamento de Matemática da Drexel University, onde lecionou em tempo integral até 1983. Desde então, passa a maior parte de seu tempo escrevendo livros didáticos e elaborando projetos para associações mate- máticas. Ele foi presidente da Associação Americana de Matemática (MAA) da seção do leste do estado da Pennsylvania e do estado de Delaware, atuou no Conselho Diretor da MAA e orientou a criação de Associações de Estudantes na MAA. Além de vários artigos pedagógicos, publicou inúmeros trabalhos de pesquisa em Análise Funcional, Teoria de Aproximação e Topologia. Ele é mais conhecido pelos seus livros didáticos de Matemáti- ca, que estão entre os mais utilizados no mundo. Atualmente existem mais de 150 versões de seus livros, incluindo traduções para espanhol, árabe, português, italiano, indonésio, francês, japonês, chinês, hebreu e alemão. Para relaxar, o Dr. Anton gosta de viajar e fotografar. Chris Rorres graduou-se pela Drexel University e fez doutorado em Matemática no Courant Institute of New York University. Por mais de 30 anos, foi um membro do De- partamento de Matemática da Drexel University onde, além de lecionar, desenvolveu pesquisa aplicada em engenharia solar, espalhamento acústico, dinâmica populacional, confiabilidade de sistemas computacionais, geometria de sítios arqueológicos, política ótima de criação de animais e teoria de decisão. Tendo se aposentado em 2001 como Professor Emérito da Drexel University, atualmente é consultor matemático e tem um cargo de pesquisador na Escola de Medicina Veterinária da University of Pennsylvania, onde está envolvido com modelagem matemática de epidemias de animais. O Dr. Rorres é um renomado conhecedor da vida e da obra de Arquimedes, tendo aparecido em vários documentários para a televisão sobre esse assunto. Seu site, muito louvado e dedicado a Arquimedes (http://www.math.nyu.edu/-crorres/Archimedes/contents.html, em inglês), é um livro virtual que se tornou uma ferramenta de ensino importante na história da Mate- mática para estudantes de todo o mundo. Prefácio Características marcantes Sobre os exercícios Um guia para o professor * Decomposição em valores singulares Em virtude de sua crescente importância, acrescentamos uma seção de Decomposição em valores singulares ao capítulo de métodos numéricos. e Busca na Internet e o método das potências Uma nova seção intitulada O método das potências e sua aplicação aos mecanismos de busca na Internet foi acrescentada ao capítulo de métodos numéricos. e Relações entre os conceitos Um dos nossos principais objetivos pedagógicos é transmitir ao estudante que a Álgebra Linear é um assunto coeso e não só uma cole- ção de definições e técnicas isoladas. Uma maneira pela qual alcançamos isso é uti- lizando um crescendo de teoremas de Afirmações Eguivalentes, que continuamente revisam relações entre sistemas de equações, matrizes, determinantes, vetores, trans- formações lineares e autovalores. Para ter uma ideia de como essa técnica é utilizada, veja, por exemplo, os Teoremas 1.5.3, 1.6.4, 2.3.8, 4.8.10, 4.10.4 e então o Teorema 5.1.6. e Transição suave para a abstração Como a transição do R” para os espaços veto- riais abstratos é difícil para muitos estudantes, dispensamos um considerável esforço para explicar a motivação subjacente a essa abstração e auxiliar o aluno a “visualizar” ideias abstratas por meio de analogias com ideias geométricas conhecidas. e Precisão matemática Tentamos ser matematicamente precisos dentro do razoável. Para nos manter no nível do público estudantil, as demonstrações são apresentadas num estilo paciente, que convém a iniciantes. Há uma pequena seção nos Apêndices que trata de como ler afirmações em demonstrações, e também há vários exercícios em que o leitor é guiado ao longo dos passos de uma demonstração e em que são pedidas justificativas. e Adequação a vários públicos Este texto foi projetado para garantir as necessida- des de estudantes das Engenharias, da Ciência da Computação, da Biologia, da Físi- ca, da Administração e da Economia, bem como aqueles da Matemática. e Notas históricas Para oferecer aos alunos uma percepção da história da Matemá- tica e transmitir que os teoremas e as equações que estão estudando foram criados por pessoas reais, incluímos inúmeras Notas históricas, que colocam em perspectiva histórica o tópico estudado. e Conjunto de exercícios graduados Cada grupo de exercícios começa com proble- mas rotineiros de treinamento e avança até problemas com maior substância. e Exercícios de verdadeiro/falso A maioria dos conjuntos de exercícios termina com problemas do tipo verdadeiro/falso projetados para conferir o entendimento con- ceitual e o raciocínio lógico. Para evitar simples adivinhação, pede-se que os alunos justifiquem suas respostas de alguma maneira. Conjunto de exercícios suplementares Ao final da maioria dos capítulos, apresen- tamos um grupo de exercícios suplementares que tendem a ser mais desafiadores e obrigam o aluno a usar conceitos de todo o capítulo e não de uma só seção específica. Embora as disciplinas de Álgebra Linear variem muito em termos de conteúdo e filosofia, a maioria das disciplinas oferecidas se encaixa em uma de duas categorias: aquelas com aproximadamente 35-40 aulas e aquelas com aproximadamente 25-30 aulas. Em vista disso, criamos uma sequência longa e uma curta como possíveis pontos de partida para construir um cronograma. É claro que estas sequências são apenas guias, e cada pro- fessor certamente irá personalizá-las de acordo com seus interesses e exigências locais. Nenhuma destas sequências inclui aplicações, que podem ser acrescentadas, se desejado, conforme permita o tempo. Sequência longa Sequência curta Capítulo 1: Sistemas de equações lineares e matrizes 7 aulas Gaulas Capítulo 2: Determinantes 3 aulas 3 aulas Capítulo 3: Espaços vetoriais Euclidanos 4aulas 3 aulas Capítulo 4: Espaços vetoriais Arbitrários 10 aulas 10 aulas Capítulo 5: Autovalores e autovetores 3 aulas 3 aulas Capítulo 6: Espaços com produto interno 3 aulas 1 aula Capítulo 7: Diagonalização e formas quadráticas 4aulas 3 aulas Capítulo 8: Transtormações lineares 3 aulas 2 aulas Total 37 aulas 30 aulas Uma vez que tiver sido coberto o material central, o professor pode escolher aplicações dos nove primeiros capítulos ou do Capítulo 10. A tabela a seguir classifica cada uma das 20 seções do Capítulo 10 de acordo com sua dificuldade. Fácil: O estudante médio que tenha os pré-requisitos listados deveria ser capaz de ler o material sem ajuda do professor. Moderado: O estudante médio que tenha os pré-requisitos listados pode precisar de al- guma ajuda do professor. Mais difícil: O estudante médio que tenha os pré-requisitos listados provavelmente vai precisar de ajuda do professor. 12345 678 91011 12131415 1617181920 FÁCIL | + . MODERADO . elelelelelelo . el. MAIS DIFÍCIL . elele elelo Gostaríamos de expressar nosso agradecimento às pessoas a seguir, cuja orientação dedi- cada melhorou em muito este texto. Don Allen, Texas A&M University John Alongi, Northwestern University John Beachy, Northern Illinois University Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Robert Buchanan, Millersville University of Pennsylvania Ralph Byers, University of Kansas Evangelos A. Coutsias, University of New Mexico Joshua Du, Kennesaw State University Fatemeh Emdad, Michigan Technological University Vincent Ervin, Clemson University Anda Gadidov, Kennesaw State University Guillermo Goldsztein, Georgia Institute of Technology Tracy Hamilton, Califomia State University, Sacramento Amanda Hattway, Wentworth Institute of Technology Heather Hulett, University ofWisconsin-La Crosse David Hyeon, Northern Illinois University Matt Insall, Missouri University of Science and Technology Mic Jackson, Earlham College Anton Kaul, California Polytechnic Institute, San Luis Obispo Harihar Khanal, Embry-Riddle University Hendrik Kuiper, Arizona State University Kouok Law, Georgia Perimeter College James McKinney, California State University, Pomona Eric Schmutz, Drexel University Qin Sheng, Baylor University Prefácio xi Uma sequência orientada para aplicações Agradecimentos Revisores e colaboradores xii Prefácio Colaboradores matemáticos A equipe de apoio da Wiley Colaboradores especiais Adam Sikora, State University of New York at Bufjalo Allan Silberger, Cleveland State University DanaWilliams, Dartmouth College Agradecimentos especiais são devidos a muitos professores e matemáticos talentosos que forneceram orientação pedagógica, ajudaram com respostas e exercíc conferência ou revisão minuciosa. s ou fizeram uma John Alongi, Northwestern University Scott Amin, California State University, Fullerton Anton Kaul, California Polytechnic State University Sarah Streett Cindy Trimble, € Trimble and Associates Brad Davis, C Trimble and Associates David Dietz, Editor Jeff Benson, Editor Assistente Pamela Lashbrook, Assistente Editorial Janet Foxman, Editor de Produção Maddy Lesure, Projetista Laurie Rosatone, Vice-Presidente Sarah Davis, Gerente de Vendas Diana Smith, Assistente de Publicidade Melissa Edwards, Editor Lisa Sabatini, Gerente de Projeto Sheena Goldstein, Editor de Fotografia Carol Sawyer, Gerente Administrativo Lilian Brady, Revisão A produção de um livro como este requer o talento e a dedicação de muitos indivíduos, e tivemos a sorte de nos beneficiar com a experiência das seguintes pessoas. David Dietz, nosso editor, por sua percepção, seu julgamento sólido e sua fé em nós. Jeff Benson, nosso editor assistente, que fez um trabalho incrível na organização e coor- denação dos muitos fios necessários para tornar esta edição uma realidade. Carol Sawyer, do The Perfect Proof, que coordenou a miríade de detalhes do processo produtivo. Dan Kirschenbaum, da The Art of Arlene and Dan Kirschenbaum, cujo conhecimento técnico e artístico resolveu certos assuntos difíceis e críticos de ilustração. Bill Tuohy, que leu partes do manuscrito e cujo olho crítico para o detalhe teve uma in- fluência importante na evolução deste texto. Pat Anton, que revisou o manuscrito, quando necessário. Maddy Lesure, nossa projetista do texto e da capa, cuja infalível percepção estética está aparente nas páginas deste livro. Rena Lam, da Techsetters, Inc., que fez um trabalho maravilhoso para atravessar um atoleiro de pesadelo de decisões editoriais, garranchos em bilhetes e mudanças de última hora, e produziu um livro lindo. John Rogosich, da Techsetters, Inc., que competentemente programou os elementos do projeto editorial do livro e resolveu inúmeros problemas tipográficos espinhosos Lilian Brady, nossa revisora de muitos anos, cujo olho para a tipografia e conhecimento da linguagem são maravilhosos. A Equipe da Wiley Há muitas pessoas na Wiley com as quais temos uma dívida de gra- tidão: Laurie Rosatone, Ann Berlin, Dorothy Sinclair, Janet Foxman, Sarah Davis, Harry Nolan, Sheena Goldstein, Melissa Edwards e Norm Christiansen. Muito obrigado a vocês todos. Sumário Xv APÊNDICE A APÊNDICE B 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 Criptografia 654 Genética 665 Crescimento populacional por faixa etária 676 Colheita de populações animais 686 Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana 693 Deformações e morfismos 700 Como lerteoremas 711 Números complexos 713 Respostas dos exercícios 720 Índice 760 Esta página foi deixada em branco intencionalmente. APITUL Sistemas de Equações Lineares e Matrizes CONTEÚDO DO CAPÍTULO 1.1 Introdução aos sistemas de equações lineares 2 1.2 Eliminação gaussiana 11 1.3 Matrizes e operações matriciais 25 1.4 Inversas; propriedades algébricas das matrizes 38 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A * 51 1.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis 60 1.7 Matrizes diagonais, triangulares e simétricas 66 1.8 Aplicações de sistemas lineares 73 e Análise de redes (fluxo de trânsito) 73 e Circuitos elétricos 76 e Equilibrando equações químicas 78 e Interpolação polinomial 80 1.9 Modelos econômicos de Leontief 85 INTRODUÇÃO Muitas vezes na Ciência, na Administração e na Matemática, a informação é organizada em linhas e colunas, formando agrupamentos retangulares denominados “matrizes”. Com frequência, essas matrizes aparecem como tabelas de dados numéricos que surgem em observações físicas, mas também ocorrem em vários contextos matemáticos. Por exemplo, veremos neste capítulo que toda a informação necessária para resolver um sistema de equações tal como 5x +) 2x — está encorpada na matriz e que a solução do sistema pode ser obtida efetuando operações apropriadas nessa matriz. Isso é particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equações lineares, porque os computadores são muito bons para manipular tabelas de informações numéricas. Contudo, as matrizes não são simplesmente uma ferramenta de notação para resolver sistemas de equações; elas também podem ser vistas como objetos matemáticos de vida própria, existindo uma teoria rica e importante associada a elas, que tem uma grande variedade de aplicações práticas. É o estudo de matrizes e tópicos relacionados que constitui a área matemática denominada “Álgebra Linear”. Neste capítulo, começamos nosso estudo de matrizes. 4 | Álgebra Linear com Aplicações y y y x x x Nenhuma solução Uma solução Uma infinidade de soluções (retas coincidentes) Figura 1.1.1 havendo outra possibilidade. O mesmo vale para um sistema linear de três equações em três incógnitas axtby+ez=d, axtby+ez=d, axtby+ez=d, em que os gráficos das equações são planos. As soluções do sistema, se as houver, corres- pondem aos pontos em que os três planos se intersectam, de modo que, novamente, vemos que há somente três possibilidades: nenhuma solução, uma solução ou uma infinidade de soluções. (Figura 1.1.2). IUTL Nenhuma solução Nenhuma solução Nenhuma solução Nenhuma solução (três planos paralelos, (dois planos paralelos, (sem interseção comum) | | (dois planos coincidentes, sem interseção comum) sem interseção comum) paralelos ao terceiro, sem interseção comum) by sy by Uma solução Uma infinidade de soluções || Uma infinidade de soluções || Uma infinidade de soluções: (a interseção é um ponto) | | (a interseção é uma reta) | (todos os planos coincidem; | (dois planos coincidentes; a interseção é um plano a interseção é uma reta) Figura 1.1.2 Mais adiante, provaremos que nossas observações sobre o número de soluções de sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas e de sistemas de três equações lineares em três incógnitas são válidas em geral, como segue. Todo sistema de equações lineares tem zero, uma ou uma infinidade de soluções. Não existem outras possibilidades. 1.1 | Introdução aos sistemas de equações lineares D EXEMPLO 2 Umsistema linear com uma solução Resolva o sistema linear x-y=1 2x+y=6 Solução Podemos eliminar x da segunda equação somando —2 vezes a primeira equa- ção à segunda. Isso fornece o sistema simplificado x-y=1 3y=4 Da segunda equação, obtemos y = 5 te substituir esse valor na primeira equação fornece x=1+y= 1 Assim, o sistema tem a solução única 1 4 x=5, )=3 Geometricamente, isso significa que as retas representadas pelas equações do sistema in- tersectam no único ponto G 3 E Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas. D EXEMPLO 3 Umsistema linear sem soluções Resolva o sistema linear x+ y=4 3x+3y=6 Solução Podemos eliminar x da segunda equação somando —3 vezes a primeira equa- ção à segunda. Isso fornece o sistema simplificado x+y= 4 0=-—6 A segunda equação é contraditória, de modo que o sistema dado não tem solução. Geome- tricamente, isso significa que as retas correspondentes às equações do sistema original são paralelas e distintas. Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas ou, então, mostrar que as retas têm a mesma inclinação, mas cortam o eixo y em pontos distintos. D EXEMPLO 4 Um sistema linear com uma infinidade de soluções Resolva o sistema linear 4 -2y=1 l6x—-8y=4 Solução Podemos eliminar x da segunda equação somando —4 vezes a primeira equa- ção à segunda. Isso fornece o sistema simplificado 4 -2=1 0=0 A segunda equação não impõe quaisquer restrições a x e y e pode, portanto, ser omitida. Assim, as soluções do sistema são os valores de x e y que satisfazem a única equação 4-2y=1 (8) Geometricamente, isso significa que as retas correspondentes às duas equações do siste- ma original são coincidentes. Uma maneira de descrever o conjunto de soluções é resolver 5 6 | Álgebra Linear com Aplicações No Exemplo 4, também pode- ríamos ter obtido equações pa- ramétricas das soluções resol- vendo (8) para y em termos de x e tomando x = t como o pa- râmetro. As equações paramétri- cas resultantes teriam parecido diferentes, mas elas definem o mesmo conjunto de soluções. Matrizes aumentadas e operações elementares com linhas Como já observamos na introdu- ção, o termo “matriz” é utilizado na Matemática para denotar uma coleção retangular de números. Em outras seções, estudaremos essas matrizes detalhadamente, mas por enquanto só estaremos interessados em matrizes au- mentadas de sistemas lineares. essa equação para x em termos de y, obtendo x = 1 + 1 e, então, associar a y um valor arbitrário t (denominado parâmetro). Isso nos permite expressar a solução pelo par de equações (denominadas equações paramétricas) =1l41 — x=4+5 y=t Podemos obter soluções numéricas específicas dessas equações substituindo o parâmetro por valores numéricos. Por exemplo, t = O dá a solução (+, 0), t = 1 dá a solução (à, 1) e t=—1 dá a solução (+ —). O leitor pode confirmar que essas são soluções, substituin- 4 do as coordenadas nas equações dadas. Db EXEMPLO 5 Resolva o sistema linear Um sistema linear com uma infinidade de soluções x— y+2U= 5 2x —2y+42=10 3x—3y+62=15 Solução Esse sistema pode ser resolvido mentalmente, pois a segunda e a terceira equa- ções são múltiplos da primeira. Geometricamente, isso significa que os três planos coin- cidem e que aqueles valores de x, y e z que satisfazem a equação x-y+2=5 (9) automaticamente satisfazem as três equações. Assim, basta encontrar as soluções de (9). Isso pode ser feito resolvendo (9) para x em termos de y e z, depois atribuir valores arbi- trários r e s (parâmetros) a essas duas variáveis e, então, expressar a solução por meio das três equações paramétricas x=5+r-—2s, y=n 2=s Soluções específicas podem ser obtidas escolhendo valores numéricos para os parâmetros res. Por exemplo, tomando r = 1 e s = 0, dá a solução (6,1,0). «4 À medida que cresce o número de equações e de incógnitas num sistema linear, cresce também a complexidade da álgebra envolvida em sua resolução. As contas que precisa- mos fazer podem ficar mais tratáveis simplificando a notação e padronizando os procedi- mentos. Por exemplo, mantendo na memória a localização das somas, das variáveis e das igualdades no sistema linear a + Apm +etaã, =b Gm + dm eta, =b, Am + Ando ++ An podemos abreviar a escrita do sistema escrevendo apenas a tabela retangular de números Am denominada matriz aumentada do sistema. Por exemplo, a matriz aumentada do sistema de equações m+ w+2x=9 1 1 2/9 2x, +4x — 3x =1 é 2 4 3 1 3x, + 6x, — 5x, =0 3 6 -5 0 1.1 | Introdução aos sistemas de equações lineares 9 Aptidões desenvolvidas e Determinar se uma dada equação é linear. e Determinar se uma dada ênupla é uma solução de um sistema linear. * Encontrar a matriz aumentada de um sistema linear. e Encontrar o sistema linear correspondente a uma dada matriz aumentada. Conjunto de exercícios 1.1 1. Em cada parte, determine se a equação é linear em x,, x,e x (OD) nto vIg=10 xt + (O) x =, + 3x, (Dx + +8a=s 315 (8) a - 26 +ax,=4 (1) mar — 2x2 + js = 718 2. Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear. (a) -2x+4y+2=2 (b) x=4 2 3x2 =0 =8 , (c) 4x-y+22=—1 =x+(n2)y-32= 0 (d) 32+x=—4 y+S= 1 += 3 -x-y-2= 4 3. Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear. (a) 2m - w= 5 =x + 5x2 + 3x3 — 2x4 = —1 (b) sen(2x +23) = 5 etaoam — 1 x 4u=4 (O Tm- n+M= 0 Dxtn=nta 2 + n-xm= 3 +54 — «= 4. Para cada sistema do Exercício 2 que for linear, determine se é consistente. e Efetuar operações elementares com as linhas de um sistema linear e as correspondentes nas linhas da matriz aumentada. * Determinar se um sistema linear é consistente ou inconsistente. e Encontrar o conjunto das soluções de um sistema linear consistente. 5. Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente. 6. Escreva um sistema de equações lineares constituído de três equações em três incógnitas com (a) nenhuma solução (b) exatamente uma solução (c) uma infinidade de soluções 7. Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma so- lução do sistema linear 2x-44— n=1 n-3w+ 4=1 3m-5m-34=1 (a) (3,1,1) (b) (3,-1,1) (c) (13,5,2) (a) (5, 5,2) (e) (17,7.5) 8. Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma so- lução do sistema linear x+2%—-25=3 3%— w+ m=1 -n +56 —5m=5 (a) (5, 5,1) (b) (3,5,0) (o) (5,8,1) (9 (5,75 (9 (5,%3,2) 9. Em cada parte, encontre o conjunto de soluções da equação linear usando um parâmetro, se necessário. (a) Ix-5y=3 (b) -8x, +2%,—5x, +6x,=1 10. Em cada parte, encontre o conjunto de soluções da equação linear usando um parâmetro, se necessário. (a) 3x, — 5x, +45, =7 (b) 30-8w + —y+4=0 10 Mn”. 1. 13. 14. 15. Álgebra Linear com Aplicações Em cada parte, encontre um sistema de equações lineares cor- respondente à matriz aumentada dada. 2 0 o 3 o —2 5 ()|3 —4 0 (b) 7 1 4 —3 Lo 1 1 o —2 1 7 72 1 3/5 (e) ] 1 2 4 o 1 o 0 0 0 7 0 10 0 -2 (8) o 0 1 o 3 LO 0 0 1/4 Em cada parte, encontre um sistema de equações lineares cor- respondente à matriz aumentada dada. 24 -4 6 0 31-12 a b) Oia of; 2 055) [30 [1234 432 9lseaa |-s 0 03 [3 0 143 40 4 153 Drs -2 —9 0 0 012 Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lincares dado. (a) -2y= 6 (bd) 64 — +36 =4 3K= 8 Sy— 4=1 9x =—3 (e) »m It x=0 3 — n+% 1 a 6x + 2x, — x, + 2x, — 3x; (d) x,—x,=7 Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lincares dado. (a) 3-2, =—1 (b) 2x, + 2x, 4n+Sm= 3 3x — x + 4%, += 2 6m+%— 4=0 (9) m+2% — uta=1 3x, + x — Xs x + Tx, (d) x =1 x =2 x =3 Acurvay = ax + bx + cmostrada na figura passa pelos pontos (x, Y1), (X», 35) € (14, Y5). Mostre que os coeficientes a, be c são uma solução do sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é mm Lx 2 mm 1» $a 1x» y=a +br+e 55) Gu) (sa) Figura Ex-15 16. Explique por que cada uma das operações elementares com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear. 17. Mostre que se as equações lineares xtky=ce xtix=d têm o mesmo conjunto de soluções, então as duas equações são idênticas (isto é, k = ec = d). Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Um sistema lincar cujas equações são todas homogêneas deve ser consistente. 6 Multiplicar uma equação inteira por zero é uma operação ele- mentar com as linhas aceitável. (e O sistema linear x— y=3 2x—2y=k não pode ter uma única solução, independentemente do valor dek. Uma equação linear só, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções. (d (e) Se o número de equações de um sistema lincar exceder o número de incógnitas, então o sistema deve ser inconsis- tente. (g Se cada equação de um sistema linear consistente for multi- plicada por uma constante c, então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do siste- ma original porc. (8) As operações elementares com linhas permitem que uma equação de um sistema linear seja subtraída de uma outra. h O sistema linear de matriz aumentada correspondente 210 4 o 01 é consistente. 1.2 Eliminação gaussiana 1 1.2 Eliminação gaussiana Nesta seção, desenvolvemos um procedimento sistemático para resolver sistemas de equações lineares. O procedimento é baseado na ideia de efetuar certas operações nas linhas da matriz aumentada que a simplifiquem até uma forma em que a solução do sistema possa ser visualizada. Quando consideramos métodos para resolver sistemas de equações lineares, é importante Considerações sobre a distinguir entre sistemas grandes, que precisam ser resolvidos por computador, e sistemas — resolução de sistemas pequenos, que podem ser resolvidos a mão. Por exemplo, há muitas aplicações que levam — lineares a sistemas em milhares e até milhões de incógnitas. Esses sistemas grandes requerem técnicas especiais para tratar dos problemas de tamanho de memória, erros de arredon- damento, tempo de solução e assim por diante. Tais técnicas são estudadas na área de Análise Numérica e serão apenas tocadas neste texto Contudo, quase todos os métodos que são utilizados com sistemas grandes têm por base as ideias desenvolvidas nesta seção. No Exemplo 6 da seção anterior, resolvemos um sistema linear nas incógnitas x, ye z Formas escalonadas reduzindo a matriz aumentada à forma Soon 0 1 0 noo 1 2 3 a partir da qual ficou evidente a solução x = 1,y = 2, 7 = 3. Isso é um exemplo de uma matriz que está em forma escalonada reduzida por linhas. Para ser dessa forma, um ma- triz deve ter as propriedades seguintes. 1. Se uma linha não consistir inteiramente em zeros, então o primeiro número não nulo da linha é um 1. Dizemos que esse número 1 é um pivô. 2. Se existirem linhas constituídas inteiramente de zeros, então elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só em zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita do que o pivô da linha superior. 4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas. Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedades está em forma escalo- nada por linhas, ou simplesmente, em forma escalonada. (Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reci- procamente.) Db EXEMPLO 1 Formas escalonada e escalonada reduzida por linhas As matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida por linhas. 10 0 4 100 O Ds 00 pro a foro oo 00 0) od] 0 0 0 0 0 As matrizes a seguir estão em forma escalonada, mas não reduzida. 1 4 03 7 110 o 12 6/0 0 1 6 2), |J0 10), |0 0 1 10 0 0 1 5 000 o 0 0 0 1 14 Álgebra Linear com Aplicações Métodos de eliminação Acabamos de ver como é fácil resolver um sistema de equações lineares tão logo sua matriz ai umentada estiver em forma escalonada reduzida por linhas. Agora daremos um procedimento de eliminação passo a passo, que pode ser usado para reduzir qualquer matriz à forma escalonada reduzida. À medida que enunciamos cada passo, ilustramos a ideia reduzindo a matriz seguinte à forma escalonada reduzida por linhas. Passo 1. 0 0 220 7/12 2 4 10 6 12 28 2 4-5 6 -5 + Localizamos a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros. Passo 2. o 0 2 0 712 2 4 “10 6 12 28 2 4-5 6-5 1 É coluna não nula mais à esquerda Permutamos a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter uma entrada não nula ao topo da coluna encontrada no Passo 1. Passo 3. [2 4 -10 6 12 28 C02 071 Foram permutadas a primeira e a segunda linhas da matriz precedente. 2 4 5 6 -5 + Se a entrada que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 1 é a, mul- tiplicamos a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô. Passo 4. obter Passo 5. so 1 [1 2-5 3 6 14 A primeira linha da matriz precedente foi 0 0 —2 0 712 multiplicada por 4. 2 4-5 6 -5 —1 Somamos múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para r zeros em todas as entradas abaixo do pivô. 1 2 -5/3 6 14 00-20 112 —2 vezes a primeira linha da matriz precedente foi somada à terceira linha. 0 0 5 0 —17 -29 Agora escondemos a primeira linha da matriz e recomeçamos aplicando o Pas- à submatriz resultante. Continuamos dessa maneira até que toda a matriz esteja em forma escalonada. UR = 6 14 0 0-2. 0 7 12 o 0 5 0 —-17 —29 f Colunanão nula mais à esquerda da submatriz A primeira linha da submatriz foi multiplicada por 4 para introduzir um pivô. 6 0 0 10 4 -6) — 1.2 Eliminação gaussiana 15 1 2-5 3 6 14 o 0 10 S-6 o 0 00 11 1 2-5 3 6 14 0 0 0 —Z —6 0 0 00 11 Lt 12-05 3 6 14 o 0 10 S -6 000 0 1/2 = 5 vezes a primeira linha da submatriz foi somada à segunda linha da submat para introduzir um zero debaixo do pivô. + A linha superior da submatriz foi tratada e retornamos ao Passo 1. Coluna não nula mais à esquerda da nova submatriz para introduzir um pivô. Agora toda a matriz está em forma escalonada. Para obter a forma escalonada reduzida por linhas, precisamos de mais um passo. Passo 6. Começando com a última linha não nula e trabalhando para cima, somamos múltiplos convenientes de cada linha às linhas superiores para introduzir zeros acima dos líderes. 1 2-5 3 6 14 0 0 1 0/0 1 0 0 0 0/1 2 1 2-5 3 0/2 0 0 1.0 0/1 0 0 0 0 1/2 1 2 0 3 0 7 o 0 10 0/1 0 0 0 0 1/2 A vezes a terceira linha da matriz precedente oi somada à segunda linha. —6 vezes a terceira linha foi somada à primeira linha. 5 vezes a segunda linha foi somada à primeira linha. A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas. O procedimento (ou algoritmo) que acabamos de descrever, que reduz uma matriz à forma escalonada reduzida por linhas, é denominado eliminação de Gauss-Jordan. Esse algoritmo consiste em duas partes: uma fase para a frente, ou direta, na qual os zeros são introduzidos abaixo dos pivôs; e uma fase para trás, ou inversa, em que os zeros são Carl Friedrich Gauss Wilhelm Jordan (1777-1855) (1842-1899) Nota histórica Embora versões do método da eliminação gaussiana fossem conhecidas muito antes, o poder desse método só foi reconhecido quando o grande matemático alemão Karl Friedrich Gauss o utilizou para calcular a órbita do asteroide Ceres a partir de dados muito limitados. O que aconteceu foi isso em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi (1746-1826) observou um pequeno objeto celeste que ele acreditou que pudesse ser um “planeta que faltava”. Ele designou o objeto por Ceres e fez um número limitado de medições sobre sua posição antes de perdê-lo de vista, dada sua proximi dade ao Sol. Gauss tomou a si a tarefa de calcular a órbita a partir dos dados muito limitados com o procedimento que agora denominamos eliminação gaus- siana. O trabalho de Gauss causou uma sensação quando Ceres reapareceu, um ano depois, na constelação Virgem, praticamente na posição exata predita por Gauss! O método foi subsequentemente popularizado pelo engenheiro ale- mão Wilhelm Jordan em seu livro de geodesia (a ciência de medir as formas terrestres), intitulado Handbuch der Vermessungskunde, publicado em 1888. [lmagens: Coleção Granger (Gauss) e wikipedia (Jordan)] 16 | Álgebra Linear com Aplicações introduzidos acima dos pivôs. Se usarmos somente a fase direta, então o procedimento, denominado eliminação gaussiana, produz uma forma escalonada por linhas. Por exem- plo, nos cálculos precedentes, obtivemos uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas no final do Passo 5. Db EXEMPLO 5 Eliminação de Gauss-Jordan Resolva por eliminação de Gauss-Jordan. x +3x — 2x; + 2x =0 2x, +6x% — 5x; — 2x, +4x, — 3x, 5x; + 10x, +15x,= 5 2x, + 6x, + 8x +4x +I8x= 6 Solução A matriz aumentada do sistema é n3-2 02 0/0 2 6052 4031 0 0 5 10 0 15 5 2 6 0 8 4 18 6] Somando —2 vezes a primeira linha à segunda e à quarta linhas, dá [1 3-2 0 2 0 0] O 0 -1-2 0-3 1 0 0 5 10 0 15 5 Lo 0 4 8 0 18 6] Multiplicando a segunda linha por —1 e depois somando —5 vezes a nova segunda linha à terceira linha e —4 vezes a nova segunda linha à quarta linha, dá [1 3-2. 0 2 0 0] 0 0 12/03 1 0 000 0 0 0 fo 0 0 0 0 6 2] Permutando as terceira e quarta linhas e então multiplicando a terceira linha da matriz resultante por é dá a forma escalonada 1 3-2 0 2 0/0 0 0 1 2 º 3 1 Isso completa a fase direta, pois 0 0 0 0 0 1 1 não há zeros abaixo dos pivôs. LO 0 0 0 0 0 0 Somando —3 vezes a terceira linha à segunda linha e depois somando 2 vezes a segunda linha da matriz resultante à primeira linha, obtemos a forma escalonada reduzida por linhas 3 0 4 2 0/0 Isso completa a fase inversa, pois não há zeros acima dos pivôs. 2 0 0 ou o 0 1 0 0 0.0 0 1 0 0 00 mM 0 0 Lo alguma linha de zeros, o número de equações no sistema correspondente à forma esca- lonada reduzida é menor do que, ou igual a, o número de equações do sistema original. Agora considere um sistema linear homogêneo em n incógnitas e suponha que a for- ma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tenha r linhas não nulas. Como cada linha não nula tem um pivô, e como a cada pivô corresponde uma variável líder, o sistema homogêneo correspondente à forma escalonada reduzida da matriz aumentada deve ter r variáveis líderes e n — r variáveis livres. Assim, o sistema é da forma a +20=0 à +50=0 e) 4 +50=0 em que, em cada equação, X( ) denota uma soma que envolve as variáveis livres, se hou- ver [ver, por exemplo, (7)]. Resumindo, temos o resultado a seguir. TEOREMA 1.2.1 Teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos Se um sistema linear homogêneo tiver n incógnitas e se a forma escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas não nulas, então o sistema tem n — r variáveis livres. O Teorema 1.2.1 tem uma consequência importante para sistemas lineares homo- gêneos com mais incógnitas do que equações. Mais precisamente, se um sistema linear homogêneo tiver m equações em n incógnitas, e se m <n, então também é verdade que r < n (por quê?). Nesse caso, o teorema implica que há pelo menos uma variável livre, e isso implica que o sistema tem uma infinidade de soluções. Assim, temos o resultado seguinte. TEOREMA 1.22 Ulm sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações tem uma infinidade de soluções. Em retrospecto, poderíamos ter antecipado que o sistema homogêneo do Exemplo 6 tem uma infinidade de soluções, por ter quatro equações e seis incógnitas. A eliminação de Gauss-Jordan (redução à forma escalonada reduzida por linhas) é um procedimento útil com sistemas lineares pequenos que são resolvidos a mão (como a maioria dos sistemas deste texto). Contudo, com sistemas lineares grandes, que exigem utilização de computadores, em geral é mais eficiente usar a eliminação gaussiana (redu- ção à forma escalonada por linhas), seguida por uma técnica conhecida por substituição inversa, ou retrossubstituição, para completar o processo de resolução do sistema. O pró- ximo exemplo ilustra essa ideia. Db EXEMPLO 7 Pelas contas do Exemplo 5, uma forma escalonada da matriz aumentada é O Exemplo 5 resolvido por retrossubstituição 13-20 2 0/0 ooo 0 0 0 oon 2 0 3 0 0/1 0 0 0 Sum m 1.2 Eliminação gaussiana 19 Note que o Teorema 1.2.2 é apli- cável somente a sistemas homo- gêneos. Um sistema que não é homogêneo com mais incógnitas que equações não precisa ser consistente. No entanto, prova- remos adiante que se um siste- ma não homogêneo com mais incógnitas do que equações for consistente, então o sistema terá uma infinidade de soluções. Eliminação gaussiana e retrossubstituição 20 Álgebra Linear com Aplicações Para resolver o sistema de equações correspondente x, + 3x — 2x, + 2x =0 x + 2x4 +3x=1 x=4 procedemos como segue. Passo 1. Resolva as equações para as variáveis líderes. x =—3x +2x, — 2x5 m=1-2x —3x, =1 %=3 Passo 2. Começando com a equação de baixo e trabalhando para cima, substitua suces- sivamente cada equação em todas as equações acima dela. Substituindo x, = 4 na segunda equação, dá x =-3x, +2x, — 2x, Mm =—2x, x=4 Substituindo x, = — 2x, na primeira equação, dá x,=—3x, — 4x, — 2x5 x, =—2x, n=1 Passo 3. Atribua valores arbitrários às variáveis livres, se houver. Atribuindo os valores arbitrários r, se ta x,, x, € x,, respectivamente, a solução geral é dada pelas fórmulas x=-3W-48-2% m=1, 4=>-25, 4>8, 46 4,—+ Isso confere com a solução obtida no Exemplo 5. Db EXEMPLO 8 Suponha que as matrizes dadas sejam matrizes aumentadas de sistemas lineares nas in- cógnitas x, x,, x, e x,. Todas essas matrizes estão em forma escalonada por linhas, mas não reduzida. Discuta a existência e unicidade de soluções dos sistemas lineares corres- pondentes. 13 7/25 13 7/25 13 7/25 0 12-41 0 12-41 0 12-41 Mo o 169 Oo o 169 Oo o 169 000 01 000 0 0 0 0 0 10 Solução (a) A última linha corresponde à equação 0x, + 00,40% +0x,=1 a partir da qual é evidente que o sistema é inconsistente. Solução (b) A última linha corresponde à equação 0x, + 0x, + 0x, + 0x,=0 que não afeta o conjunto de soluções. Nas três equações restantes, as variáveis x,, x, € x; correspondem a pivôs e, portanto, são variáveis líderes. A variável x, é uma variável 1.2 Eliminação gaussiana 21 livre. Com alguma álgebra, podemos expressar as variáveis líderes em termos da variável livre e, à variável livre, podemos associar qualquer valor. Assim, o sistema deve ter uma infinidade de soluções. Solução (c) A última linha corresponde à equação x=0 que nos dá um valor numérico para x,. Substituindo esse valor na terceira equação, a saber, x+64=9 obtemos x, = 9. Agora, é possível ver que podemos continuar esse processo e substituir os valores conhecidos de x, e x, na equação correspondente à segunda linha, obtendo um valor numérico único para x, e, finalmente, substituir os valores conhecidos de x, x,e x, na equação correspondente à primeira linha para obter um valor numérico único para x,. Assim, o sistema tem uma solução única. «4 É importante conhecer três fatos sobre as formas escalonadas e escalonadas reduzidas, como segue, mas que não serão demonstrados. 1. Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas; ou seja, indepen- dentemente de utilizar eliminação de Gauss-Jordan ou uma outra sequência qualquer de operações elementares, no final sempre chegamos à mesma forma escalonada re- duzida por linhas." 2. As formas escalonadas por linhas não são únicas, ou seja, diferentes sequências de operações com linhas podem resultar em formas escalonadas diferentes. 3. Embora as formas escalonadas por linhas não sejam únicas, todas as formas escalo- nadas por linhas de uma matriz A têm o mesmo número de linhas nulas, e os pivôs sempre ocorrem na mesma posição das formas escalonadas por linhas de A. Essas posições são denominadas posições de pivô de A. Dizemos que uma coluna que con- tenha uma posição de pivô é uma coluna de pivô de A. Db EXEMPLO 9 Posição e coluna de Anteriormente, nesta seção (imediatamente depois da Definição 1), obtivemos uma forma escalonada de 0 0 -22 0 7/12 A=|2 4 -10 6 12 28 2 4 -5 6 -5 1 a saber, 1 2-5 3 6 14 0 0 10 3 -6 000 0 12 Os pivôs ocorrem nas posições (linha 1, coluna 1), (linha 2, coluna 3) e (linha 3, coluna 5). Essas são as posições de pivô. As colunas de pivô são as colunas 1,3 e 5. 4 Muitas vezes, há uma lacuna entre a teoria matemática e sua implementação prática, e as eliminações gaussiana e de Gauss-Jordan são bons exemplos disso. O problema é que os ! Uma prova desse resultado pode ser encontrada no artigo “The Reduced Row Echeleon Form of a Matrix Is Unique: A Simple Proof”, de Thomas Yuster, em Mathematics Magazine, Vol. 57, No. 2, 1984, páginas 93-94. Alguns fatos sobre as formas escalonadas Erro de arredondamento e instabilidade 24 Álgebra Linear com Aplicações Nos Exercícios 29-30, resolva o sistema dado, em que a, be c são constantes. 29.2x+ y=a 30. n+ + n=a 3x+6y=b 2x, +2x=b 3w+3m = 31. Encontre duas formas escalonadas por linha diferentes de k 3 Esse exercício mostra que uma matriz pode ter formas escalo- nadas distintas. 32. Reduza 2 1 3 0 —2 —29 3 4 5 à forma escalonada reduzida sem introduzir frações em está- gios intermediários. 33. Mostre que o sistema não linear a seguir tem 18 soluções se O =a=m,0=B=2me0=y<2m. 2sena +2cosB+3tany =0 — sena +5cosB +3tany =0 —sena —ScosB +Stany =0 [Sugestão: comece com as substituições x = sen a, y = cos B, ez=tany] 34. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nos ângulos incógnitosa, Bey,com0 <a <27,0<B<2re 0<y<7z. 2sena— cosB+3tany =3 4sena +2cosB-—2tany =2 6sena—3cosB+ tany=9 35. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares para x, y ez P+y+?=6 f-ys2m=2 mw +y- d=3 [Sugestão: comece com as substituições X Z=:] 36. Resolva o sistema a seguir para x, y ez. 37. Encontre os coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura seja o gráfico da equação y = ax” + bx” + cx + d. Figura Ex-37 38. Encontre os coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura seja dada pela equação a” + ay + bx+cy+d=0. y (-2,7) (-4,5) (4,-3) Figura Ex-38 39. Se o sistema linear ax+by+ez=0 ax-by+ez axtby-cr= tiver somente a solução trivial, o que pode ser dito sobre as solu- ções do sistema a seguir? axtby+cz ax-by+cz axt+by-e, 40. (a Se A for uma matriz com três linhas e cinco colunas, qual é o número máximo possível de pivôs em sua forma esca- lonada reduzida? Se B for uma matriz com três linhas e seis colunas, cuja última coluna só tem zeros, qual é o número máximo pos- sível de parâmetros da solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada é B? 6 (e) Se C for uma matriz com cinco linhas e três colunas, qual é o número mínimo possível de linhas inteiras de zeros em qualquer forma escalonada de C? 41. (a) Mostre que se ad — be + 0, então a forma escalonada reduzida por linhas de 10 01 [e (b) Use o resultado da parte (a) para mostrar que se ad — be 0, então o sistema linear axtby atd= tem exatamente uma solução. 1.3 Matrizes e operações matriciais 25 42. Considere o sistema de equações (e (d) Cada matriz tem uma única forma escalonada por linhas. Um sistema lincar homogêneo em n incógnitas cuja matriz aumentada correspondente tem uma forma escalonada redu- zida com r pivôs tem n — r variáveis livres. (e) Todos os pivôs de uma matriz em forma escalonada por li- Discuta as posições relativas das retas ax + by = 0€ a P ” nhas devem ocorrer em colunas distintas. ext dy=0ecex + fr = 0 se (a) sistema tiver apenas a solu- ção trivial e (b) o sistema tiver soluções não triviais. (f) Se cada coluna de uma matriz em forma escalonada por li- . . nhas tiver um pivô, então cada entrada que não for um pivô 43. Descreva todas as formas escalonadas reduzidas possíveis de » 4 será nula. a e a be ef h (g) Se um sistema linear homogêneo de n equações em n incóg- (a) jd e f [8 A $ nitas tiver uma matriz aumentada correspondente com uma e hi tj ka forma escalonada reduzida com n pivôs, então o sistema li- mn pq near só tem a solução trivial. (h) Sea forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de Exercícios verdadeiro/falso um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, deve ter uma infinidade de soluções justificando sua resposta. (i) Se um sistema linear tem mais incógnitas do que equações, (a) Se uma matriz estiver em forma escalonada reduzida por li- então o sistema deve ter uma infinidade de soluções. nhas, então também estará em forma escalonada por linhas. (b) Se efetuarmos uma operação elementar com as linhas de uma matriz em forma escalonada, a matriz resultante ainda estará em forma escalonada. 1.3 Matrizes e operações matriciais Coleções retangulares de números reais aparecem em muitos contextos, não só como a matriz aumentada de um sistema de equações lineares. Nesta seção, começamos a estudar matrizes como objetos independentes, definindo sobre elas as operações de adição, subtração e multiplicação. Na Seção 1.2, usamos coleções retangulares de números, denominadas matrizes aumen- Notação e terminologia tadas, para abreviar a escrita de sistemas de equações lineares. Contudo, essas coleções matricial retangulares de números ocorrem também em outros contextos. Por exemplo, a seguinte coleção retangular de três linhas e sete colunas pode descrever o número de horas que um estudante gastou estudando três matérias numa certa semana. ” x” 4“ 5 6º Sáb. Dom. Matemática | 2 3 2 4 1 4.2 História o 3 1 4 3.2.2 Línguas 4 1 3 1 0 02 Suprimindo os títulos, ficamos com a seguinte coleção retangular de números com três linhas e sete colunas, denominada “matriz”. »ON ww vs =» + ow Sra DM Mais geralmente, fazemos a seguinte definição. 26 Álgebra Linear com Aplicações Uma matriz com somente uma coluna é denominada matriz coluna, ou vetor coluna, e uma matriz com somente uma linha é denominada matriz linha, ou vetor linha. No Exemplo 1, a matriz 2 X 1 é um vetor coluna, a matriz 1 X 4 é um vetor linha e a matriz 1 X 1 é um vetor coluna e também um vetor linha. É prática comum omitir os col- chetes de matrizes 1 X 1, tor- nando impossível saber, por exemplo, se o símbolo 4 denota o número “quatro” ou a matriz [4]. Isso raramente causa proble- mas, pois geralmente é possível ver a qual dos dois nos estamos referindo a partir do contexto. DEFINIÇÃO 1 Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Dizemos que os números nesse agrupamento são as entradas da matriz. b EXEMPLO 1 Exemplos de matrizes Alguns exemplos de matrizes são 12 e q —V2 1 30, 2 1 0-3 |o 11, |) 4] «4 3 -1 4 0 0 0 O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas (fileiras hori- zontais) e de colunas (fileiras verticais) que ela contém. Por exemplo, a primeira matriz do Exemplo 1 tem três linhas e duas colunas, portanto, seu tamanho é 3 por 2 (e escreve- mos 3 X 2). Numa descrição de tamanho, o primeiro número sempre denota o número de linhas e o segundo, o de colunas. As outras matrizes do Exemplo 1 têm tamanhos 1 X 4, 3x3,2X1elX1, respectivamente. Utilizamos letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotar quantidades numéricas; assim, podemos escrever 217 a be A= ou C= 342 de f Quando discutimos matrizes, é costume dizer que as quantidades numéricas são escala- res. Salvo menção explícita em contrário, escalares são números reais; escalares comple- xos serão considerados mais adiante no texto. A entrada que ocorre na linha i e coluna j de uma matriz A é denotada por 3 X 4. As- sim, uma matriz arbitrária 3 X 4 pode ser escrita como A Ip GM Ay A=|G dy dy Ay GA dy Gs dy e uma matriz arbitrária m X n como (ED) Ama Quando for desejada uma notação mais compacta, a matriz precedente pode ser escrita como Tag lom OU Taj] sendo utilizada a primeira notação quando for importante, na argumentação, saber o ta- manho da matriz, e a segunda quando o tamanho não necessitar ênfase. Em geral, combi- namos a letra denotando a matriz com a letra denotando suas entradas; assim, para uma matriz B, costumamos usar b, para a entrada na linha i e na coluna j e para uma matriz C, usamos a notação c;. A entrada na linha i e na coluna j de uma matriz A também é comumente denotada pelo símbolo (4),. Assim, para a matriz (1) acima, temos (Ay = ai 1.3 Matrizes e operações matriciais 29 Como A é uma matriz 2 X 3 e B é uma matriz 3 X 4, o produto AB é uma matriz 2 X 4. Para determinar, por exemplo, a entrada na linha 2 e coluna 3 de AB, destacamos a linha 2 de A e a coluna 3 de B. Então, como ilustrado, multiplicamos as entradas corres- pondentes e somamos esses produtos. 4 1/4 Edo 5 1|- [DEGO 260, 5 “IDR (2:4)+(6-3)+(0-5) = 26 A entrada na linha 1 e coluna 4 de AB é calculada como segue. pagpa so “CIT 260), 4 5 5) [LUI] AD+HLD+4-D=13 As contas para as demais entradas são ++: D-QD+a- AN+QI+A- (2-4) +(6:0) + (0- CD D+: (2: +(6-1) +(0- aB=[5 277 30 0) « 8 —-4 26 12 A definição de multiplicação de matrizes exige que o número de colunas do pri- meiro fator A seja igual ao número de linhas do segundo fator B para que seja possível formar o produto AB. Se essa condição não for satisfeita, o produto não estará definido. Uma maneira conveniente de determinar se o produto de duas matrizes está ou não definido é escrever o tamanho do primeiro fator e, à direita, escrever o tamanho do se- gundo fator. Se, como em (3), os números internos coincidirem, então o produto estará definido. Internos 6) Nota histórica O conceito de multiplicação matricial é devido ao ma- temático alemão Gotthold Eisenstein, que introduziu a ideia em torno de 1844, para simplificar o processo de efetuar substituições em sistemas lineares. A ideia, então, foi expandida e formalizada por Cayley em sua obra Memoir on the Theory of Matrices (Ensaio sobre a Teoria de Matri- zes), publicada em 1858. Eisenstein foi um aluno de Gauss, que o qua- lificou como sendo do nível de Isaac Newton e Arquimedes. Contudo, o potencial de Eisenstein nunca foi realizado, porque viveu doente toda sua vida e faleceu aos 30 anos. [lmagem: Wikipedia] Gotthold Eisenstein (1823-1852) 30 Álgebra Linear com Aplicações Matrizes em blocos Multiplicação matricial por colunas e linhas b EXEMPLO 6 Determinando se um produto está definido Suponha que A, Be C sejam matrizes de tamanhos A B c 3x4 4x7 7x3 Então, por (3), o produto AB está definido e é uma matriz 3 X 7; BC está definido e é uma matriz 4 X 3, e CA está definido e é uma matriz 7 X 4. Os produtos AC, CB e BA não estão definidos. 4 Em geral, se A = [a,] é uma matrizm X re B = [b,] é uma matriz r X n, então, conforme destacado em (4), Mm Mr dy A &, |[bn do dy bm a=[i lb da ce dy o bel A A o : : : : Elba da by bm Am Gm "Am a entrada (AB), na linha i e coluna j de AB é dada por (AB); = abit aoba; + asb;;+ eta, (5) Uma matriz pode ser particionada, ou subdividida, em blocos de matrizes menores in- serindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas selecionadas. Por exemplo, as seguintes são três partições possíveis de uma matriz 3 X 4 arbitrária A: a primeira é uma partição de A em quatro submatrizes A,,, A,», As, € Ao; à Segunda é uma partição de A em seus vetores linha r,, r,, € r;; à terceira é uma partição de A em seus vetores coluna €,, €,, cce. A- -[4º 4º] Ay Ay A Ay Ay Au r A=|G dy Gs du|=|F Ay Gy dy Ay r; A Ap | Gs Au A=|a |Gp | |dy |=[4 & 6 6] A Gy | dy Ay A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um produto matricial AB sem calcular todo o produto. Mais especificamente, as fórmulas seguintes, cujas provas são deixadas como exercício, mostram como vetores coluna individuais de AB podem ser obtidos particionando B em 1.3 Matrizes e operações matriciais 31 vetores colunas e como vetores linha individuais de AB podem ser obtidos particionando A em vetores linha. AB=AIb, b, --: bJ=[Ab, Ab, --- Ab] (6) (AB calculado coluna a coluna) a, aB aB=| “| p=| MB (M a, a,B (AB calculado linha a linha) Em palavras, essas fórmula afirmam que j-Ésimo vetor coluna de AB = A [j-ésimo vetor coluna de B] (8) i-ésimo vetor linha de AB = [i-ésimo vetor linha de AJB (9) D EXEMPLO 7 Denovo o Exemplo 5 Se A e B são as matrizes do Exemplo 5, então, por (8), o segundo vetor coluna de AB pode ser obtido calculando t t Segunda coluna Segunda coluna deB de AB e, por (9), o primeiro vetor linha de AB pode ser obtido calculando 4 1 4 3 [ll 2 4]o — 3 1/=[12 27 30 13] « [ 2 7 5 2 ] Primeira linha de E Primeira linha de AB Discutimos três métodos para calcular um produto matricial AB, a saber, entrada por en- trada, coluna por coluna e linha por linha. A definição seguinte fornece mais uma maneira de ver o produto matricial. DEFINIÇÃO 6 Se A, A, ..., A, são matrizes de mesmo tamanho e se c,, c,,...,C, são escalares, então uma expressão da forma CATA, FO +CA, é denominada combinação linear de A ,, A,,..., A, com coeficientes c,, C5,....C, Produtos matriciais como combinações lineares 34 — Álgebra Linear com Aplicações DEFINIÇÃO 7 Se A for uma matriz m X n qualquer, então a transposta de A, deno- tada por 4”, é definida como a matriz n X m que resulta da troca das linhas com as colunas de A; ou seja, a primeira coluna de A” é a primeira linha de A, a segunda coluna de A” é a segunda linha de A, e assim por diante. D EXEMPLO 10 Algumas transpostas Alguns exemplos de matrizes e suas transpostas são os seguintes. IM ds 23 A=|a, à, à; au B=|1 4), C=[1 35] D=[4] dy dy dy Ay 5 6 dy dy ay 1 aj do a) po 215 cols) p= a as ds ag 346 5 Is dy Gy Observe que não só as colunas de A” são as linhas de A, mas também as linhas de A” são as colunas de A. Assim, a entrada na linha i e coluna j de A” é a entrada na linha j e coluna i de A; ou seja, (A = (A (11) Observe a reversão de índices. No caso especial em que a matriz A é uma matriz quadrada, a transposta de A pode ser obtida pela troca das entradas posicionadas simetricamente em relação à diagonal principal. Em (12), podemos ver que A" também pode ser obtida “refletindo” A em torno de sua diagonal principal. 1-2 4 SO (4 1 3 5 4A=|[3 7 0|5/0 X 0-4 =|-2 7 8) (12 -5 8 6 5 Bs 4 0 6 Permutamos entradas posicionadas simetricamente em relação à diagonal principal. Nota histórica O termo matriz foi usado pela primeira vez pelo matemático inglês James Sylvester, que definiu o termo em 1850 como “um arranjo oblongo de números”. Sylvester comunicou seu trabalho com matrizes ao colega mate- mático e advogado inglês chamado Arthur Cayley, que então introduziu algumas das operações matriciais básicas num livro intitulado Memoir on the Theory of Matrices (Ensaio sobre a Teoria de Matrizes), publicado em 1858. Como curio- sidade, Sylvester nunca se formou, porque, sendo judeu, recusou-se a assinar o exigido juramento à igreja Anglicana. Ele foi nomeado para uma cátedra na Uni- versity of Virginia, nos Estados Unidos, mas renunciou depois de espancar com sua bengala um aluno que estava lendo um jornal em aula. Sylvester, pensando que havia matado o aluno, fugiu de volta para a Inglaterra no primeiro navio dis- ponível. Felizmente, o aluno não morreu, só estava em choque! [lmagem: Coleção Granger, Nova York] James Sylvester Arthur Cayley (1814-1897) (1821-1895) 1.3 Matrizes e operações matriciais 35 DEFINIÇÃO 8 Se A for uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é defi- nido se A não for uma matriz quadrada. D EXEMPLO 11 Traço de uma matriz Alguns exemplos de matrizes e seus traços são os seguintes. 12 A Ip Ms 3 5 A=|ày dp |, B=| | 5 dy dy Ay 4a t(A) = a, + ay + dy 7.0 -8 4 7-3 1.0 t(B)=-1+5+7+0=11 « Nos exercícios, desenvolvemos alguma prática com as operações de transposição e traço. Revisão de conceitos e Matriz e Entradas * Vetor coluna (ou matriz coluna) e Vetor linha (ou matriz linha) e Matriz quadrada e Diagonal principal e Matrizes iguais e Operações matriciais: soma, diferença, multiplicação por escalar e Combinação linear de matrizes e Produto de matrizes (multiplicação matricial) e Matriz em blocos * Submatrizes e Método linha-coluna * Método das colunas e Método das linhas Conjunto de exercícios 1.3 1. Suponha que A, B, C, De E sejam matrizes de tamanhos A B c D E (4x5) (4x5) (5x2 (4x2) (5x4) * Matriz de coeficientes de um sistema linear e Transposta e Traço Aptidões desenvolvidas * Determinar o tamanho de uma dada matriz. e Identificar os vetores linha e coluna de uma dada matriz. e Efetuar as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação por escalar e produto de matrizes. e Determinar se está definido o produto de duas matrizes. * Calcular um produto matricial usando os métodos linha- -coluna, das colunas e das linhas. e Expressar o produto de uma matriz com um vetor coluna como uma combinação linear das colunas da matriz. e Expressar um sistema linear como uma equação matricial e identificar a matriz de coeficientes. e Calcular a transposta de uma matriz. e Calcular o traço de uma matriz quadrada. Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante. (a) BA (b) AC+D (0) 4E+B (d) AB+B (e) E(A + B) () E(AC) (g) E'A (h) (A+ EJD 36 Álgebra Linear com Aplicações » Had » a a Suponha que A, B, €, De E sejam matrizes de tamanhos A B c D E GxD (Gx60) (6x7) 2x6) (1x3 Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante. (a) EA (b) AB” (o) BA+ E) (d) 24+C (e) (C" + DB” (D cD+ BE (2) (BD5C” (h) DC + EA Considere as matrizes 30 “val s=[L o c=[14 2, 1 0.2 315 A= 152 613 D=|1 0 1|, E=|-112 324 413 Em cada parte, calcule a expressão dada (se possível). (a) D+E (b) D-E (c) SA (d) —7C (e) 2B-€ (D 4E-2D (g -HD+2E) (h) A-A (D tr(D) (DD tr(D — 3E) (k) 4 u(7B) (D trA) Usando as matrizes do Exercício 3, em cada parte, calcule a expressão dada (se possível). (a) 24/+ € (b) D' = E” (e) (D- E) (d) B' + SC” (QiC-IiA () B-B” (g) 2E -3D” (h) QE =3D) () (CDE O) C(BA) (9) tr(DES (OD) trBC) . Usando as matrizes do Exercício 3, em cada parte, calcule a expressão dada (se possível). (a) AB (b) BA (e) GEJD (d) (ABJC (e) A(BC) (1) CCT (8) (DAY Ch) (C'BA” ( t(DDT) OD trsE =D) (o) tCA +25 (1) tEC'/A) . Usando as matrizes do Exercício 3, em cada parte, calcule a expressão dada (se possível). (a) QD" EJA (b) (4BJC + 2B (c) (AC) + 5D” (d) (BA” = 2097 (e) BKCC! = A'A) (D D'E' — (ED) Sejam Use o método das linhas ou das colunas (como for apropria- do) para encontrar (b) a terceira linha de AB. (d) a primeira coluna de BA. (a) a primeira linha de AB. (c) a segunda coluna de AB. (e) aterceiralinhade AA. (1) aterceiracoluna de AA. 8. Usando as matrizes do Exercício 7, use o método das linhas 10. mn. 12. 13. ou das colunas (como for apropriado) para encontrar (a). a primeira coluna de AB. (b) a terceira coluna de BB. (c) a segunda linha de BB. (d) a primeira coluna de AA. (e) a terceira linha de AB. (f) a primeira linha de BA. . Usando as matrizes A e B do Exercício 7, (a) expresse cada vetor coluna de AA como uma combinação linear dos vetores coluna de A. (b) expresse cada vetor coluna de BB como uma combinação linear dos vetores coluna de B. Usando as matrizes A e B do Exercício 7, (a) expresse cada vetor coluna de AB como uma combinação linear dos vetores coluna de A. (b) expresse cada vetor coluna de BA como uma combinação linear dos vetores coluna de B. Em cada parte, encontre matrizes A, x e b que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial Ax = b e escreva essa equação matricial. () 2-3, +5%= 7 %M- n+ 4=- m+5 +4% = 0 -3, + w=1 -8,=3 Em cada parte, encontre matrizes A, x e b que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial Ax = b e escreva essa equação matricial. (O) m-m+3,=30 (b) 3 +3%+3=-3 2 + x º -n-So-M= 3 -3h+44= 1 -4+ %= 0 x +4=5 Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares. 5 6 -T|[x 2 (o[-1 -2 3||x|=]0 o 4 | 3 ro mx 2 d|2 3 ollal=|2 s -3 -6||x -9 1.4 | Inversas; propriedades algébricas das matizes 39 associatividade da multiplicação é mais complicada do que o resto e será delineada nos exercícios. Prova (d) Devemos mostrar que A(B + C) e AB + AC têm o mesmo tamanho e que as entradas correspondentes são iguais. Para formar A(B + C), as matrizes B e C devem ter o mesmo tamanho, digamos, m X n, e então a matriz A deve ter m colunas, de modo que seu tamanho é da forma r X m. Isso faz de A(B + C) uma matriz r X n. Segue que AB + AC também é uma matriz r X n e, consequentemente, A(B + C)e AB + AC têm o mesmo tamanho. Suponha que A = [a], B = [b;]e € = [c,]. Queremos mostrar que as entradas cor- respondentes de A(B + C) e de AB + AC são iguais, ou seja, que IA(B + O), = [AB + ACI, para todos valores de i e j. Pela definição de soma e produto matriciais, temos [AB+OI, =a)(b; + co) tab; + o)+ tam (by + Cy) =(ajby; +apb; ++ amb) + (anby + apby; ++ AC) = [AB], + [AC], = [AB + AC], 4 Observação Embora as operações de adição matricial e de multiplicação matricial tenham sido definidas para pares de matrizes, as leis da associatividade (b) e (c) nos permitem escrever somas e produtos de três matrizes, como A + B + Ce ABC sem a inserção de parênteses. Isso se justifica pelo seguinte fato: onde quer que os parênteses sejam inseridos, as leis da associatividade garantem que sempre será alcançado o mesmo resultado final. Em geral, dados qualquer soma ou qualquer produto de matrizes, podemos omitir ou inserir pares de parênteses em qualquer lugar da expressão sem afetar o resultado final. Db EXEMPLO 1 Associatividade da multiplicação matricial Como uma ilustração da lei da associatividade da multiplicação matricial, considere 12 43 10 n=[3 4|, 8=[ ] c-| ] 01 21 23 Então 12 8.5 43 4 3[1 0 10 9 AB = 3 41[ |- 20 13 e se =| IL H[ ] 01 21 21 214]12 3 43 Assim, 8.5 10 18 15 (AB)JC=[20 13 b 3]- 46 39 21 43 e 12 18 15 1 A(BC)=|3 4 [5 5|- 46 39 01 43 de modo que (ABJC = A(BC), conforme garante o Teorema 1.4.1(c). 4 Existem três maneiras básicas de provar que duas matrizes do mesmo tamanho são iguais. Ou provamos que as entradas correspondentes são iguais, ou provamos que os vetores coluna são iguais, ou provamos que os vetores linha são iguais. 40 | Álgebra Linear com Aplicações Propriedades da multiplicação matricial Não veja mais do que está es- crito no Exemplo 2. O exemplo não proíbe a possibilidade de AB e BA serem iguais em certos ca- sos, somente que não são iguais em todos os casos. Se ocorrer que AB = BA, dizemos que as matrizes A e B comutam. Matrizes zero Não deixe o Teorema 1.4.1 iludi-lo a acreditar que todas as leis da aritmética real sejam válidas na aritmética matricial. Por exemplo, sabemos que na aritmética real sempre vale que ab = ba, que é a lei da comutatividade da multiplicação. Na aritmética matricial, contudo, a igualdade de AB e BA pode não ser válida por três razões possíveis. 1. AB pode estar definida e BA não (por exemplo, se 4 é uma matriz2 X3eBé3 X 4). 2. ABe BA podem ambas estar definidas, mas têm tamanhos diferentes (por exemplo, se Aéumamatriz2 X3eBé3x2). 3. AB e BA podem ambas estar definidas e ter o mesmo tamanho, mas as matrizes po- dem ser diferentes (conforme ilustrado no exemplo seguinte). D EXEMPLO 2 A ordem é importante na multiplicação matri Considere as matrizes -1 0 12 1= [ 2 5] o B= E o] Multiplicando, obtemos Assim, AB + BA. 4 Uma matriz cujas entradas são todas nulas, é denominada matriz zero ou matriz nula. Alguns exemplos são lo o] o o 000] oo 200 0000 Denotamos uma matriz nula por 0, a menos que seja importante enfatizar seu tamanho, caso em que a matriz m X n é denotada por 0, Deveria ser evidente que se 4 e O forem matrizes de mesmo tamanho, então A+0=0+4=A [o] voos Assim, nessa equação matricial, a matriz O desempenha o mesmo papel que o número O na equação numéricaa + 0=0+a=a. O teorema seguinte lista as propriedades básicas das matrizes nulas. Como as afirma- ções devem ser evidentes, omitimos as provas formais. TEOREMA 1.4.2 Propriedades de matrizes zero Se c for um escalar e se os tamanhos das matrizes forem tais que as operações possam ser efetuadas, então (a) A+O=0+A=A (b) A-0=A (0) A=A=A+(-A)=0 (d) 04 (e) SecA = 0, entãoc=00uA =0. Como já sabemos que a lei da comutatividade da aritmética dos números reais não vale na aritmética matricial, não deveria ser surpreendente que há outras regras que também fa- lham. Por exemplo, considere as duas leis da aritmética dos números reais seguintes. 14 | Inversas; propriedades algébricas das matrizes 4 e Seab=acea +0,entãob =c. [A lei de cancelamento) e Seab = 0, então pelo menos um dos fatores à esquerda é 0. Os dois exemplos a seguir mostram que essas leis não são universalmente verdadeiras na aritmética matricial. D EXEMPLO 3 Alei de cancelamento não vale Considere as matrizes 1) ea cfi Deixamos para o leitor confirmar que 34 AB=AC= Embora A * 0, o cancelamento de A de ambos lados da equação AB = AC levaria à conclusão incorreta que B = C. Assim, a lei de cancelamento não é válida, em geral, na multiplicação matricial. Db EXEMPLO 4 Um produto nulo com fatores não nulos Aqui temos duas matrizes tais que AB = 0, mas A £ 0eB * 0. eiob]e Uma matriz quadrada com entradas 1 na diagonal principal e demais entradas nulas é denominada matriz identidade. Alguns exemplos são 100 [1 lo ') 0 10], 001 Uma matriz identidade é denotada pela letra 1. Se for importante enfatizar seu tamanho, escrevemos 1, para a matriz identidade de tamanho n X n. Para explicar o papel das matrizes identidade na aritmética matricial, consideremos o efeito de multiplicar uma matriz A de tamanho 2 X 3 nos dois lados por uma matriz identidade. Multiplicando à direita pela matriz identidade 3 X 3, obtemos a, a a 100 a, a a as = [88 8 ao)Jo 1 0]=[6u Ss 5] na ty do Sly 01 dy Go dy ooo oono onroo nooco e multiplicando pela esquerda pela matriz identidade 2 X 2, obtemos ra=|! O Ig: Ay as] - [e ag as] =A 2Ã = 1 = = º dy An A dy An A O mesmo resultado vale em geral, ou seja, se A for uma matriz m X n, então, AL=A e LA=A Matrizes identidade 44 Álgebra Linear com Aplicações det(A) = Pl =ad-be Figura 1.4.1 Observação A Figura 1.4.1 ilustra que o determinante de uma matriz A de tamanho 2 X 2é 0 produto das entradas da diagonal principal menos o produto das entradas fora da diagonal principal. Em palavras, o Teorema 1.4.5 afirma que uma matriz A de tamanho 2 X 2 é invertível se, e só se, seu determinante é não nulo e, se for invertível, sua inversa pode ser obtida trocando as entradas da diagonal, trocando o sinal das entradas fora da diagonal e multiplicando todas as entradas pelo recíproco do determinante de A. Db EXEMPLO 7 Calculando a inversa de uma matriz 2 x 2 Em cada parte, determine se a matriz é invertível. Se for, calcule sua inversa. 61 12 w4=[5 a] w4=[ 3 a Solução (a) O determinante de A é dei(A) = (6)(2) — (1)(5) = 7, que é não nulo. As- sim, A é invertível e sua inversa é a df o 4 [5 d-L A A=1 alo at- Ls Deixamos para o leitor confirmar que AA ' = Solução (b) A matriz não é invertível porque det(A) = (— 1)(—6) — (2)(3) = 0. D EXEMPLO 8 Solução de um sistema linear por inversão matricial Um problema que surge em muitas aplicações envolve resolver um par de equações da forma u=ax+by v=cr+dy para xe y em, termos de u e v. Uma abordagem é tratar isso como um sistema linear de duas equações nas incógnitas x e y e usar eliminação de Gauss-Jordan para resolver para x ey. Contudo, como os coeficientes das incógnitas são literais em vez de numéricos, esse procedimento é um pouco confuso. Como uma abordagem alternativa, substituímos as duas equações pela equação matricial única LoJ=[e: 40] LI=Le all] Supondo que a matriz 2 X 2 seja invertível (isto é, que ad — bc 0), então podemos mul- tiplicar à esquerda ambos lados pela inversa e reescrever a equação como a bT'[u] [a bY'Ta b7 [x ca) [ole a) le all» a bu x cd v] |y Usando o Teorema 1.4.5, podemos reescrever essa equação como armiel-c a) G]=D] que podemos reescrever como que simplifica para o 1.4 | Inversas; propriedades algébricas das matizes 45 da qual obtemos — du—bv av —cu *ad-be' "Tad-be O próximo teorema considera a inversa do produto matricial. TEOREMA 1.4.6 Se A e B são mairizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível e (AB) '=B'A Prova Podemos mostrar a invertibilidade e obter a fórmula enunciada ao mesmo tempo mostrando que (ABXB A = (BA AB) = No entanto, (ABXB "A )=A(BB DA =AIA !=44 "=T «4 e, analogamente, (B “A “XAB) = Embora não o provemos, esse resultado pode ser estendido três ou mais fatores. O produto de um número qualquer de matrizes invertíveis é invertível, e a inversa do produto é o produto das inversas em ordem inversa. D EXEMPLO 9 Ainversa de um produto Considere as matrizes 12 32 a=[1 )- s=[5 3] Deixamos para o leitor mostrar que Se um produto de matrizes for 76 “4 4-3 singular, então pelo menos um 4B=|o gp 4) =|9 1 Rage efe gen 202 Por quê? e, também, que - 3 —2 - 1-1 o 14 3 —2 4 —3 eo) medo] Assim, (AB) '"=B'A . como garante o Teorema 14.6. 4 Se A for uma matriz quadrada, definimos as potências inteiras não negativas de A por Potências de uma matriz Af=1 e A!=AA-:A [n fatores] e, se A for invertível, então definimos as potências inteiras negativas de A por A"=(A=AA!..A! [nfatores] Como essas definições acompanham as de números reais, valem as leis usuais de poten- ciação; por exemplo, AA ar A Além dessas, temos as propriedades seguintes de potências de expoentes negativos. 46 Álgebra Linear com Aplicações Polinômios matriciais TEOREMA 1.4.7 Se A for uma matriz invertível e n um inteiro não negativo, então (a) A éinvertivele(A )' =A. (b) A" éinvertívele(A) "=A"=(A'Y. (c) kA é invertível com qualquer escalar não nulo ke (KA) "= K'A Demonstramos a parte (c), deixando as provas das partes (a) e (b) como exercícios. Prova (c) A propriedade Ie (m) do Teorema 1.4.1 implicam (KARA D=KGRAA !=(KUAA | =(DI=1 e, analogamente, (k "A (KA) = 1. Assim, KA éinvertível e (kA) "= KA! 4 Db EXEMPLO 10 Propriedades de potências Sejam A e A ! as matrizes do Exemplo 9, ou seja, E) e eses[ EE SA et portanto, confirmando o Teorema 1.4.7(b), sao 1 41-30] [41-30] ds (4) =Tnan-coas is vl-Lis u]- 49 Então Db EXEMPLO 11 O quadrado de uma soma matricial Na aritmética real, em que temos a comutatividade da multiplicação, podemos escrever (a+b/=a+ab+ba+b'=a"+ab+ab+b=a"+2ab+ b Contudo, na aritmética matricial, em que não temos a comutatividade da multiplicação, o melhor que podemos escrever é (A+B/=A'+AB+BA+B Somente no caso especial em que A e B comutam (ou seja, AB = BA) é que podemos ir um passo adiante e escrever (A+B/=A+2AB+B) 4 Se A for uma matriz quadrada, digamos n X n, e se pY=ataxtar++açã” é um polinômio qualquer, então definimos a matriz p(A) de tamanho n X n por MA)=altaA+tas + +açA” (3) https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Conjunto de exercícios 1. 4 1. Sejam 213 8 -3 —S Aa=[0 4 5| B=|0 1 2], 2 14 41 6 0-2 3 c=|1 7 . 3.5.9 Mostre que (a) AF(B+HO=(A+B)+C (b) (ABJC = A(BC) (e) (a + b)JC = aC + bc (d) a(B— O) =aB — aC 2. Usando as matrizes e escalares do Exercício 1, verifique que (a) a(BC) = (aB)C = B(aC) (b) A(B= C)=AB— AC (d) a(bC) = (abc 3. Usando as matrizes e escalares do Exercício 1, verifique que (a) (4) =A (b) (ArB/=A"+B" (c) (aC)” = ac” (d) (AB) = B'A” (0) (B+ CA =BA+CA Nos Exercícios 4-7, use o Teorema 1.4.5 para calcular a inver- sa da matriz dada. 31 2 —3 auf!) co] 6 4 2 0 sc-[5 4] 1.0-L 3] 8. Encontre a inversa de cos9 send —sen6 cos6, 9. Encontre a inversa de +) ME -e”) HE -e) KE+re”) 10. Use a matriz do Exercício 4 para verificar que (45 = (457, 11. Use a matriz B do Exercício 5 para verificar que (85 = (8 12. Use as matrizes A e B dos Exercícios 4e 5 para verificar que (AB)! = BA, 13. Use as matrizes A, B e C dos Exercícios 4 a 6 para verificar que (ABC) '=C'B'A Nos Exercícios 14-17, use a informação dada para encontrar a Pp 4. [53 7 14. 4 -[ d 15. (A) [5 à 16. 18. 19. 2. Pl) = « A matriz À do Exercício 18. + A matriz À do Exercício 21. . Uma matriz quadrada A arbitrária. ReBB . Mostre que se p(x) 1.4 | Inversas; propriedades algébricas das matizes 49 na [3 so =[5 2] Seja A a matriz 17. (1+24)] 20 [é 1] Em cada parte, calcule a quantidade dada. (a) A? (b) A? (co) 42-24 +1 (d) P(A), onde p(o) = x — 2 (e) P(A), onde p(x) = 2º + x + 1 (1) P(A). onde p(x) = 3º — 2x + 4 Repita o Exercício 18 com a matriz 1=[ 1] . Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz 0-3 —1 Nos Exercícios 22-24, sejam p() = x — 9,pla)=x +3e 3. Mostre que p,(A) = p(A)p (A), com a matriz dada. X-(a+ dx+ (ad- bo)e então p(A) = 0. . Mostre que se pa ="-(a+b+ cx + (ab + ae + be- cd)x— a(be — cde > Il cos avo so o então p(A) = 0. 50 Álgebra Linear com Aplicações 27. 29. 31. 3. 3. Considere a matriz a 0 o A=|9 o 0.0 emquea, a, sua inversa. a,, É 0. Mostre que A é invertível e encontre . Mostre que se uma matriz quadrada A satisfizer A? — 34 + 1 =0entãoA!=3/-A. (a) Mostre que uma matriz com uma linha de zeros não pode ter uma inversa. (b) Mostre que uma matriz com uma coluna de zeros não pode ter uma inversa. . Supondo que todas as matrizes sejam n X n e invertíveis, re- solva para D. ABC'DBA'C = AB” Supondo que todas as matrizes sejam n X n e invertíveis, re- solva para D. C'B'A'BAC 'DA BC? =" Se A for uma matriz quadrada e n um inteiro positivo, será verdade que (A")” = (A)? Justifique sua resposta. Simplifique (AB) (AC DC Dr! . Simplifique (ACI AC AC AD Nos Exercícios 35-37, determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa. [Sugestão: resolva AX = I para X igualando entradas correspondentes de ambos lados.) 35. 3%. 38. 101 A=|1 10 o 11 raia 001 A=|1 0 0 3. A=| 110 01 111 Prove o Teorema 1.4.2. Nos Exercícios 39-42, use o método do Exemplo 8 para en- contrar a única solução do sistema linear dado. 39. 41. 43. 45. 3-2, =-1 40. —x, +54 =4 mm +Sm= 3 -n-3m=1 + m= 0 42. 2x MW =4 4% —-3y=-2 nt4m=4 Prove a parte (a) do Teorema 1.4.1. . Prove a parte (c) do Teorema 1.4.1. Prove a parte (f) do Teorema 1.4.1. . Prove a parte (b) do Teorema 1.4.2. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. Prove a parte (c) do Teorema 1.4.2. Verifique a Fórmula (4) do texto calculando diretamente. Prove a parte (d) do Teorema 1.4.8. Prove a parte (e) do Teorema 1.4.8. (a) Mostre que se A for invertível e AB = AC, então B = C. (b) Explique por que a parte (a) e o Exemplo 3 não são con- traditórios. Mostre que se A for invertível e k um escalar não nulo qual- quer, então (kA)" = KA”, com qualquer valor inteiro de n. (a) Mostre que se 4, Be A + B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AA" +BNBA+B) =1 (b) O que o resultado da parte (a) nos diz sobre a matriz At+B Dizemos que uma matriz A é idempotente se A A. (a) Mostre que se A for idempotente, então — A também é. (b) Mostre que se A for idempotente, então 24 — [ é invertí- vel e sua própria inversa. Mostre que se A for uma matriz quadrada tal que Aº = 0, com algum inteiro positivo k, então a matriz 1 — A éinvertível e UAJ!=I4A FA + o At! Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(k), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a 6 (e) (d) (e) [U) (g h q G & Duas matrizes A e B de tamanho n X n são inversas uma da outra se, e só se, AB = BA = 0. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale (A + BJ) = A? + 24B + B?. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale4? — B=(A-BXA + B). Se 4 e B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível e vale (AB) ' = AB”! Se 4 e B forem matrizes tais que o produto AB está definido, então vale (AB) = A'B”. A matriz a b 1=[E al Einvertível se, e só se, ad — be + 0 Se 4 e B forem matrizes de mesmo tamanho e k uma constan- te, então (kA + B) = kA! + B”. Se A for uma matriz invertível, então A” também é invertível. Sel)=ataxtax+-+a,x el foruma matriz identidade, então p(D) = ag + a, +, +--- + ay Uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros não pode se invertível. A soma de duas matrizes invertíveis de mesmo tamanho sem- pre é invertível. 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A" 51 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A. Nesta seção, desenvolvemos um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz e discutiremos algumas das propriedades básicas de matrizes invertíveis. Na Seção 1.1, definimos três operações elementares com as linhas de uma matriz A. 1. Multiplicar uma linha por uma constante não nula c. 2. Trocar duas linhas entre si. 3. Somar uma constante c vezes uma linha a uma outra linha. Deveria ser evidente que, se denotarmos por B a matriz que resulta de A efetuando uma das operações dessa lista, então a matriz A poder ser recuperada de B efetuando a opera- ção correspondente da lista seguinte. 1. Multiplicar uma linha por 1/c. 2. Trocar as mesmas duas linhas entre si. 3. Se B resultou da soma de c vezes a linha r, de A com a linha r,, então somamos —c vezes r, à linha r,. Segue que, se B for obtida de A efetuando uma sequência de operações elementares com linhas, então existe uma segunda sequência de operações elementares com linhas que, sendo aplicada a B, recupera A (Exercício 43). Em virtude disso, colocamos a definição a seguir. DEFINIÇÃO 1 Dizemos que as matrizes A e B são equivalentes por linhas se uma de- las (portanto, ambas) pode ser obtida a partir da outra por uma sequência de operações elementares com linhas. Nosso próximo objetivo é mostrar como a multiplicação matricial pode se usada para efetuar uma operação elementar com as linhas. DEFINIÇÃO 2 Uma matriz n X n que pode ser obtida da matriz identidade 1, de tama- nho n X n efetuando uma única operação elementar sobre linhas é denominada matriz, elementar. Db EXEMPLO 1 Matrizes elementares e operações com linhas Abaixo listamos quatro matrizes elementares e as operações com linhas que as produzem. 100 10 0001 103 100 010 010 0 —s3 0010 001 001 0100 Multiplicamos Permutamos a Somamos 3 vezes Multiplicamos a segunda linha segunda linha de a terceira linha de a primeira linha de L,por —3 1,com a quarta. 1, à primeira. de 1, por 1 54 — Álgebra Linear com Aplicações A lógica da nossa prova do Teorema 1.5.3 pode ficar mais aparente se escrevermos as im- plicações (a) > (b) > (0) > (d) > (a) (ay (o) Isso tona visualmente aparente que a validade de qualquer uma das afirmações implica a vali- dade de todas as demais e que, portanto, a falsidade de qual- quer uma implica a falsidade das demais. Prova Provamos a equivalência dessas afirmações estabelecendo a cadeia de implica- ções (a) => (b) => (c) => (d) > (a). (a) > (b) Suponha que A seja invertível e que x, seja uma solução qualquer de Ax = 0. Multiplicando ambos lados dessa equação pela matriz A . dáA “(Axo =A "o, ou(A 'A) x, = 0,0ulx, = 0, ou seja, x, = 0. Assim, Ax = 0 tem somente a solução trivial. (b) > (c) Seja Ax = 0 a forma matricial do sistema am + am + +aça, =0 GM + apm ++ aa, =0 (ED) ax + Ao ++ ax =0 e suponha que o sistema só admita a solução trivial. Resolvendo por eliminação de Gauss- -Jordan, o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada será x =0 % =0 2 Assim, a matriz aumentada a, 0 [O Am 0 de (1) pode ser reduzida à matriz aumentada 100: 00 010: 00 001: 00 000 -: 10 de (2) por uma sequência de operações elementares com linhas. Desconsiderando a última coluna (de zeros) em cada uma dessas matrizes, poderemos concluir que a forma escalo- nada reduzida por linhas de A é 1, (c) => (d) Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas de A seja Z,, de modo que A pode ser reduzida a 1, por uma sequência finita de operações elementares com linhas. Pelo Teorema 1.5.1, cada uma dessas operações pode ser efetuada por uma matriz elemen- tar apropriada. Assim, podemos encontrar matrizes elementares E,, E,, . . ., E, tais que E EEASI, (3) . ; - 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A Pelo Teorema 1.5.2, as matrizes E, E,, .. ., E, são invertíveis. Multiplicando ambos lados da Equação (3) pela esquerda sucessivamente por E, ',... E, ', E, , obtemos Ko (4) Pelo Teorema 1.5.2, essa equação expressa A como um produto de matrizes elementares. A=E, E, E 1,=E E, (d) => (a) Se A for um produto de matrizes elementares, então, pelos Teoremas 1.4.7 e 1.5.2, segue que a matriz A é um produto de matrizes invertíveis e, portanto, é invertível. 4 Como uma primeira aplicação do Teorema 1.5.3, desenvolvemos um procedimento (algo- ritmo) que pode ser usado para determinar se uma dada matriz é invertível e, se for, cal- cular sua inversa. Para deduzir esse algoritmo, suponha, provisoriamente, que A seja uma matriz n X n invertível. Na Equação (3), as matrizes elementares efetuam uma sequência de operações sobre linhas que reduzem A a Z. Multiplicando ambos lados dessa equação à direita por A 'e simplificando, obtemos A'=E, I, 1 «E, E Essa equação nos informa que a mesma sequência de operações elementares com linhas que reduz A a 1, também reduz 1, a A '!. Assim, estabelecemos o seguinte resultado. Algoritmo da inversão Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre uma sequência de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e de- pois efetue essa mesma sequência de operações em [, para obter A !. Um método simples para executar esse procedimento é dado no próximo exemplo. b EXEMPLO 4 Usando operações com colunas para encontrar A Encontre a inversa de 1 A=|2 1 Sun o ww Solução Queremos reduzir A à matriz identidade por operações com linhas e, simulta- neamente, aplicar essas operações a 1 para produzir A *. Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de A, com o que produzimos uma matriz da forma An Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a ; essas operações converterão o lado direito a A ' de modo que a matriz final terá a forma AS Um método para inverter matrizes 55 https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 56 | Álgebra Linear com Aplicações As contas são as seguintes. 1 2/3 10.0 2 5/3 o 1.0 1.0 8 0.0 0 -3| 20100 -*—— Somamos —2 vezes a primeira linha à segunda e —1 vez a LO -22 5| 10 1] primeira linha à terceira. 0 53/2010 + Somamos 2 vezes a segunda 0 o —1 -s 2 1 linha à terceira. 1 2/3 10 0] 0 -3| —2 1 0 «+ — Multiplicamos a terceira linha lo 0 1/5 -2 4] prt r 2 o0|-14 6 3] o 0/13 -5 3] somamos3 vezes aterceira 0 0 1 52 4 linha à segunda e —3 vezes L d a terceira linha à primeira. 0 0 13 -5 —3 *——— Somamos —2 vezes a 0 01 52 segunda linha à primeira. Assim, -40 16 9 At=| 13 -5 3] «4 5-2 + Muitas vezes, não se sabe de antemão se uma dada matriz A é ou não invertível. No entanto, se A não for invertível, então, pelas partes (a) e (c) do Teorema 1.5.3, será im- possível reduzir A a 1, por operações elementares com linhas. Isso se tornará visível em algum ponto do algoritmo de inversão com o aparecimento de uma linha de zeros no lado esquerdo das matrizes juntadas. Se isso ocorrer, podemos interromper as contas e concluir que A não é invertível. Db EXEMPLO 5 Mostrando que uma matriz não é invertível Considere a matriz https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 6 4 3 4 12. 3.|1 0.3 3.2 L [2 5 4 [120 [-1 3 -4 14./2 12 15./2 41 Lo 1 [-4 2-9 [5 43 noi 16. [1 5 M.jo 11 14 04 110 L5 5 L [2 3020 [2 6 18. |-4V2 2 0 19.]2 7 6 Lo 01 [277 [1000 p-s4 0 0 w.[1300 a. 2 0 1350 00 2 0 [1357 Lo -1 -4 —5 [-8 17 2 5 1 0 10 nl! 035 a 3-2 6 “lo 000 “|o 1 2 0 [13 4.2 LO 0 1.5 0 0 2 0 10 0/1 Alo 30 pois 3 Nos Exercícios 25-26, em cada parte, encontre a inversa da matriz 4 X 4 dada, em que k,. ko, ks, k, € k são todos não nulos. k 0 0 0 k 100 25. (a) ok 0 0 (b) 0100 0 0 k 0 00 k 1 0 0 0 k 0001 00 0 k k 000 00% 0 1400 26. b Blogo o Dloirko 4 000 001 & Nos Exercícios 27-28, encontre todos os valores de c, se hou- ver, com os quais a matriz dada é invertível. c cc cio 27.|1 cc 28.|1 cd 11 c 01 c Nos Exercícios 29-32, escreva a matriz dada como um produ- to de matrizes elementares. 1.5 Matrizes elementares e um método para encontrar A”! 59 -3 1 10 [51] a[19 1 0 —2 11 a. |o 4 3 32 |1 11 o 0 1 o 11 Nos Exercícios 33-36, escreva a inversa da matriz dada como um produto de matrizes elementares. 33. A matriz do Exercício 29. 34. A matriz do Exercício 30. 35. 3%. A matriz do Exercício 31. A matriz do Exercício 32. Nos Exercícios 37-38, mostre que as matrizes A e B dadas são equivalentes por linhas, e encontre uma sequência de operações elementares com linhas que produza B a partir de A. 123 1 o 5 3. A=|1 4 1), B=/0 2 —-2 219 1 1 4 2 1 0 6 9 4 38. A=| —1 1 0), B=|-5 + o 3 o —1 = 2 + 39. Mostre que, se 100 A=|0 10 aboe for uma matriz elementar, então pelo menos uma das entradas da terceira linha deve ser nula. . Mostre que > n sooso sonoas ossos o =o. oo om ooo não é invertível, com qualquer valor das entradas. 41. Prove que se A e B forem matrizes m X n, então A e B são equivalentes por linhas se, e só se, A e B têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas. 42. Prove que se A for uma matriz invertível e B for equivalente por linhas a A, então B também é invertível. 43. Mostre que se B for obtida de A por meio de uma sequência de operações elementares com linhas, então existe uma se- gunda sequência de operações elementares com linhas que, aplicada a B, produz A. 60 | Álgebra Linear com Aplicações Exercícios verdadeiro /falso Nas partes (a)-(g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) O produto de duas matrizes elementares de mesmo tamanho é uma matriz elementar. (b) Toda matriz elementar é invertível. (e) Se A e B são equivalentes por linhas e B e C são equivalentes por linhas, então A e C são equivalentes por linhas. (g Número de soluções de um sistema linear Resolvendo sistemas lineares por inversão matricial (d) Se A for uma matriz não invertível n X 1, então o sistema linear Ax = 0 tem uma infinidade de soluções. (e) Se A for uma matriz não invertível n X n, então a matriz obti- da pela troca de duas linhas de A não pode ser invertível. (f) Se A for uma matriz invertível, e um múltiplo da primeira linha de A for somado à segunda linha, então a matriz resul- tante é invertível. É única a expressão de uma matriz invertível A como um pro- duto de matrizes elementares. 1.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis Nesta seção, mostramos como a inversa de uma matriz pode ser usada para resolver um sistema linear e desenvolvemos mais resultados sobre matrizes invertíve Na Seção 1.1, afirmamos (tomando por base as Figuras 1.1.1 e 1.1.2) que todo sistema linear tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma solução, ou uma infinidade de solu- ções. Agora estamos em condições de provar esse resultado fundamental. TEOREMA 1.6.1 Um sistema de equações lineares tem zero, uma ou uma infinidade de soluções. Prova Se Ax = b é um sistema de equações lineares, vale exatamente uma das afirma- ções: (a) o sistema não tem solução, (b) o sistema tem exatamente uma solução ou (c) o sistema tem mais de uma solução. A prova estará completa se conseguirmos mostrar que o sistema tem uma infinidade de soluções no caso (c). Suponha que Ax = b tenha mais de uma solução e seja x, = x, — x,, onde x, e x, são duas soluções distintas quaisquer. Como x, e x, são distintas, a matriz x, é não nula; além disso, Ax,=A(x, —x,)= 4x, —4x,=b—b=0 Se k for um escalar qualquer, então A(x, +kxo) = Ax, + A(kx,) = Ax, + K(Axo) =b+k0=b+0=b No entanto, isso significa que x, + kx, é uma solução de Ax = b. Como x, é não nula e existe uma infinidade de escolhas para k, o sistema Ax = b tem uma infinidade de soluções. 4 Até aqui, estudamos dois procedimentos para resolver sistemas lineares, a saber, a elimi- nação de Gauss-Jordan e a eliminação gaussiana. O teorema seguinte fornece, efetiva- mente, uma fórmula para a solução de um sistema linear de n equações em n incógnitas no caso em que a matriz de coeficientes for invertível. TEOREMA 1.6.2 Se A for uma matriz invertível n X 1, então para cada matriz b de tamanho n X 1, o sistema de equações Ax = b tem exatamente uma solução, a saber, x=4 b. 1.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis Prova ComoA(A 'b) =b, segue que x = A 'b é uma solução de Ax = b. Para mostrar que essa é a única solução, vamos supor que x, seja uma solução arbitrária e mostrar que, necessariamente, x, é a solução A 'b. Se x, for uma solução qualquer, então Ax, = b. Multiplicando ambos lados dessa equação por A " obtemosx, = A 'b. «4 D EXEMPLO 1 Solução de um sistema linear usando A * Considere o sistema de equações lineares x +2% +3x = 5 2x, + 5x +3x = x +8x, =17 I o No formato matricial, esse sistema pode ser escrito como Ax = b, em que 123 % 5 A=|2 53), x=|x|, b=|3 108 x 17 No Exemplo 4 da seção precedente, mostramos que A é invertível e que -40 16 9 At=| 13 -5 —3 5-2 Pelo Teorema 1.6.2, a solução do sistema é 61 Não esqueça que o método do -40 16 9]]5 1 Exemplo 1 só pode ser aplicado x=4"b=| 13 -5 —3 3)=|—1 quando o sistema tiver o mesmo 5-2 “ll 2 número de equações e incógni- tas, e a matriz de coeficientes for invertível. oux=Lu=-Lx=2 4 Com frequência, nos deparamos com a resolução de uma sequência de sistemas Sistemas lineares com uma Ax=b. Ax=b, Axoby, Ax=b, matriz de coeficientes em comum cada um dos quais tem a mesma matriz de coeficientes 4. Se A for invertível, então as soluções x=4'b, xw=4'b, x=4 Do... x podem ser obtidas com uma inversão matricial e k multiplicações de matrizes. Uma ma- neira eficiente de fazer isso é formar a matriz em blocos 4 [bi [b|| Db] (1) em que a matriz de coeficientes A foi “aumentada” por todas as k matrizes b,,b,,...., b,, e, em seguida, reduzir (1) à forma escalonada reduzida por linhas com eliminação de Gauss-Jordan. Dessa forma, podemos resolver todos os k sistemas de uma só vez. Esse método tem a vantagem adicional de poder ser aplicado mesmo se A não for invertível. 64 Álgebra Linear com Aplicações O problema fundamental a seguir ocorrerá com frequência em vários contextos no nosso trabalho. Um problema fundamental Seja A uma matriz m X n fixada. Encontre todas as ma- trizes b de tamanho m X 1 tais que o sistema Ax = b seja consistente. Se A for uma matriz invertível, o Teorema 1.6.2 resolve esse problema completamente afirmando que, com qualquer matriz b de tamanho m X 1, o sistema linear Ax = b tem a única solução x = A 'b. Se A não for quadrada, ou se A for quadrada, mas não invertível, então o Teorema 1.6.2 não pode ser aplicado. Nesses casos, geralmente a matriz b deve satisfazer certas condições para garantir que 4x = b seja consistente. O próximo exemplo ilustra como os métodos da Seção 1.2 podem ser usados para determinar tais condições. D EXEMPLO 3 | Determinando consistência por eliminação Quais condições devem satisfazer b,, b,, e b, para garantir que o sistema de equações Mm +x% +2x =b, E + n=b, 2x, +x% +3x, =D, seja consistente? Solução A matriz aumentada é ss mm 1 0 1 vm s que pode ser reduzida à forma escalonada, como segue. 112 b, O 1-1 bb 2 A vez aprimeira inha foi somada à segunda e —2 vezes a primeira O 1-1 b=2b linha foi somada à terceira. 112 b, O 11º bb + A segunda linha ti OL b-%, multiplicada por —1 112 b, O 11º bb, + A segunda linha foi 0 0 0 b-b-b, somada à terceira Agora é evidente, pela terceira linha da matriz, que o sistema tem uma solução se, e só se, b,, b,e b, satisfazem a condição b;—b, b=0 ou b=b/+b, Para expressar essa condição de uma outra maneira, Ax = b é consistente se, e só se, b é uma matriz da forma em que b, e b, são arbitrários. https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 1.6 Mais sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis D EXEMPLO 4 Determinando consistência por eliminação Quais condições devem satisfazer b,, b; e b, para garantir que o sistema de equações x +2% +3x =b, 2% 45% 43x, =b, E + 8x, =b; seja consistente? Solução A matriz aumentada é 1 2 1 Sun o ww ss s Reduzindo essa matriz à forma escalonada reduzida por linhas, obtemos (verifique) 10 0 —40b, + 16b, +9b, 0 10 13b- 5-3, (2) 001 Sbh- 2 b Nesse caso, não há restrições sobre b,, b, e b,, de modo que o sistema tem a única solução x,=—40b, + 16b, +9b, «= 13b,— 5b,—3b . cientes do sistema? com quaisquer valores de b,,b,eb,. 4 65 O que o resultado do Exemplo 4 1 4=5b,—2b,—b, (3) — nosdiz sobre a matriz de coefi- Aptidões desenvolvidas e Resolver simultaneamente sistemas lineares múltiplos e Determinar se um sistema de equações lineares não tem com a mesma matriz de coeficientes. solução, tem exatamente uma solução ou uma infinidade * Conhecer as condições adicionais de invertibilidade de soluções. enunciadas no Teorema de Equivalência. * Resolver sistemas lineares invertendo a matriz de coeficientes. Conjunto de exercícios 1.6 Nos Exercícios 1-8, resolva o sistema invertendo a matriz de Nos Exercícios 9-12, resolva simultaneamente os sistemas coeficientes e usando o Teorema 1.6.2. lineares reduzindo a matriz aumentada apropriada. 1 nt w=2 2 4x -3m=-3 9. n-5m=b, 5x +6,=9 24-5m= 9 3m +26 =b, 3 n+3n+x= 45x +3w +22 =4 OD bh=1, b=4 (D) h=-2, b=s5 2x, + 2x, + 3x, +3x +2x, =2 10. x, +47, + x, 2x +3x, +x = v+ m=5 x +9x — 2x, 5. 6 — x-2y-32=0 6x, + 4x, — 8x, w+ x+4y+42=7 À) b=0, b, -4x+y+ 2= 0 w+3k+7y+9%2=4 () =-3, b=4, b=-5 —w=2%—4y —6:=6 1. 4x - 1, =b, 7. 3x +5m=by 8 n+m+3%=b m+2%=b, x +20 =b, 2x 45% 45x —b, O) bh=0, b=1 () b=-4, b,=6 3x, + 5x + 8x =D, Gi) b=-1, b,=3 (iv) b=-5, b=1 66 1. 13. 15. 17. 18. Álgebra Linear com Aplicações x +34 +5x = by x — 2% db, 2x, +5% +4% =b, O b=1, bh=0, b= id) bs (ii) db = Nos Exercícios 13-17, determine, se houver, as condições que as constantes b devem satisfazer para garantir a consistência do sistema lincar dado. x +3m=b, 2x + n=b, x —2%+5x,=b, 4% — 5x + 8x, =b, 3x +3% 3x, =b, n— w+3,+2% =b 2x + n+5%+ x =b, 3x +2m 42x, — x, =b, 44-36 + n+3x =b, Considere as matrizes 2 1 2 A=|2 2 2 3 1 1 14. 6x, — 4% =b, 3x —2x=b, 16. x-2n- x,=b, —4x, 45x, +2x, =D, 4x +1m + 4% =D, (a) Mostre que a equação Ax = x pode ser reescrita como (A = Dx = 0 e use esse resultado para resolver Ax = x para x. (b) Resolva Ax = 4x. Nos Exercícios 19-20, resolva a equação matricial dada para 11 1 2 1 2 3 0|x=|4 o o 2-1 3 5 Matrizes diagonais 5 7 8 —3 o 1 —7 2 1 2 01 4321 2. 0 -1 -1|x=|6 7809 LI 1379 21. Seja Ax = 0 um sistema homogêneo de n equações lineares em n incógnitas cuja única solução é a trivial. Mostre que se k for um inteiro positivo qualquer, então o sistema 4x = O tam- bém só tem a solução trivial. 22. Sejam Ax = 0 um sistema homogêneo de n equações lineares em n incógnitas e Q uma matriz invertível n X n. Mostre que Ax = 0 tem somente a solução trivial se, e só se, (QA)x = O tem somente a solução trivial. 23. Sejam Ax = b um sistema de equações lineares consistente arbitrário e x, uma solução fixada. Mostre que qualquer so- lução do sistema pode ser escrita na forma x = x, + X, em que x, é a solução de Ax = 0, Mostre, também, que qualquer matriz dessa forma é uma solução. 24. Use a parte (a) do Teorema 1.6.3 para provar a parte (b). Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) É impossível que um sistema de equações lineares tenha exa- tamente duas soluções. (b) Se 4 é uma matriz quadrada, e se o sistema linear Ax = b tem uma única solução, então o sistema linear Ax = e também tem uma única solução. Se A e B são matrizes n X n tais que AB = 1,. então BA = 1,. Se A e B são matrizes equivalentes por linhas, então os sistemas lineares Ax = O e Bx = 0 têm o mesmo conjunto de soluçõe: Sejam A uma matriz n X n e S uma matriz n X n invertível. Se x for uma solução do sistema linear (S'AS)x = D, então Sx será uma solução do sistema linear Ay = Sb. Seja A uma matriz n X n. O sistema linear Ax = 4x tem uma solução única se, e só se, A — 41 for uma matriz invertível. Sejam A e B matrizesn X n. Se A ou B (ou ambas) não for invertível, então tampouco AB será invertível. (g 1.7 Matrizes diagonais, triangulares e simétricas Nesta seção, discutimos matrizes que têm vários formatos especiais. Essas matrizes surgem numa grande variedade de aplicações e desempenham um papel importante no nosso trabalho subsequente. Uma matriz quadrada em que todas as entradas fora da diagonal principal são zero é de- nominada matriz diagonal. Aqui temos alguns exemplos. lo ob Lo a o 5) Son oro noo ooo o soco voos 1.7 | Matrizes diagonais, triangulares e simétricas 69 gulares inferiores e seja C = [c,] o produto C = AB. Podemos provar que C é triangular inferior mostrando que c, = 0, com i <j. Mas, pela definição de multiplicação matricial, Cy = Aby + aoby ++ aba; Supondo que i <j, os termos dessa expressão podem ser agrupados como segue. G=0by+adby++ag-ny-n+ ajbp+ + ah “Oi Termos com o número de linha de a menor do que o número de coluna de a Termos com o número de linha deb menor do que o número de coluna de b No primeiro agrupamento, todos os fatores de b são nulos, pois B é triangular inferior e, no segundo agrupamento, todos os fatores de a são nulos, pois A é triangular inferior. Assim, c; = 0, que é o que queríamos mostrar. 4 D EXEMPLO 3 Contas com matrizes triangulares Considere as matrizes triangulares superiores 1 3 +41 3 —2 A=/0 2 4), B=|0 0 — 0 0.5 [RR Segue da parte (c) do Teorema 1.7.1 que a matriz A é invertível, mas a matriz B não é. Além disso, o teorema também nos diz que A ', AB e BA são triangulares superiores. Dei- xamos para o leitor a confirmação dessas três afirmações, mostrando que 1-5 & 3-2 2 3 5 At=|0 1 -2|, AB=|0 0 2], BA=|0 0 -5| «4 0 01 0 05 0 05 DEFINIÇÃO 1 Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A”, D EXEMPLO 4 Matrizes simétricas As seguintes matrizes são simétricas, já que cada uma delas é igual à sua transposta (ve- rifique). do 0 0 0 7-3 5 0 à 0 0] 4 3 so o 9) [9060 000 d Observação Segue da Fórmula (11) da Seção 1.3 que uma matriz quadrada A = [,] é simétrica se, e só se, (A = (A (4) com quaisquer valores de i e j. O teorema seguinte lista as principais propriedades algébricas das matrizes simétri- cas. As provas são consequências diretas do Teorema 1.4.8 e são omitidas. Matrizes simétricas É fácil reconhecer visualmente a simetria de uma matriz: as en- tradas na diagonal principal não têm restrições, mas as entradas que estão posicionadas simetri- camente em relação à diagonal principal devem ser iguais. Se- gue uma figura usando a segun- da matriz do Exemplo 4. KA 5 4730 73, 0 Todas as matrizes diagonais, como a terceira matriz do Exem- plo 4, têm essa propriedade. https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ 70 | Álgebra Linear com Aplicações Invertibilidade de matrizes simétricas Produtos AA” e A'A TEOREMA 1.72. Sendo A e B matrizes simétricas de mesmo tamanho e k um escalar qualquer, então (a) ATé simétrica. (b) A+BeA — Bsão simétricas. (c) KA é simétrica. Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas seja uma matriz simé- trica. Para ver por que isso ocorre, sejam 4 e B matrizes simétricas de mesmo tamanho. Pela parte (e) do Teorema 1.4.8 e a simetria de 4 e B, temos (AB)" = B'A" = BA Assim, (AB)” = AB se, e sóse, AB = BA, isto é, se, e só se, A e B comutam. Em resumo, obtivemos o resultado seguinte. TEOREMA 1.73 O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes comutam. D EXEMPLO 5 Produtos de matrizes simétricas A primeira das equações a seguir mostra um produto de matrizes simétricas que não é uma matriz simétrica, e a segunda mostra um produto de matrizes simétricas que é uma matriz simétrica. Concluímos que os fatores da primeira equação não comutam, mas que os da segunda comutam. Deixamos para o leitor verificar que isso ocorre. E IE ol-[5 1] E do « Em geral, uma matriz simétrica não precisa ser invertível; por exemplo, uma matriz qua- drada com um zero na diagonal principal é simétrica, mas não é invertível. Contudo, o próximo teorema mostra que se ocorrer que uma matriz simétrica é invertível, então sua inversa também é simétrica. TEOREMA 1.74 Se A for uma matriz simétrica invertível, então A! é simétrica. Prova Suponha que A seja simétrica e invertível. Pelo Teorema 1.4.9 e pelo fato de que A =”, decorre (AI = (AVISA! provando que A "é simétrica. «4 Numa variedade de aplicações, surgem produtos matriciais da forma AA” e A'A. Se A for uma matriz m X n, então A” é uma matriz n X m, de modo que ambos produtos AA” e AA são matrizes quadradas, a matriz AA” de tamanho m X m e a matriz A'A de tamanho n X n. Esses produtos são sempre simétricos, pois (ANS = (ASAP = AM" e (AA) = AMAS = A'A 1.7 | Matrizes diagonais, triangulares e simétricas D EXEMPLO 6 O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica Seja A a matriz 2 X 3 Então 13 10 —-2 11 1-2 4 AA=|-2 0 Ê 0 - -2 4 —8 4-5 =“ -8 4 1 1-2 4 21 17 a" =[ ] —2 -[ ] 3 0 Sl 4 -17 34 Observe que AA e AA” são simétricas, como se esperava. «4 Adiante, neste texto, obteremos condições gerais sobre A sob as quais AA e A'A são invertíveis. Contudo, no caso especial em que A é quadrada, temos o seguinte resultado. TEOREMA 1.75 Se A for uma matriz invertível, então AA” e A"A também serão inver- tíveis. Prova Como A é invertível, também A"é invertível, pelo Teorema 1.4.9. Assim, AA e 1 TA dO inventiva, aci ai AA são invertíveis, por serem produtos de matrizes invertíveis. 4 Revisão de conceitos e Matriz diagonal e Matriz triangular inferior e Matriz triangular superior e Matriz triangular e Matriz simétrica Conjunto de exercícios 1.7 Nos Exercícios 1-4, determine se a matriz dada é invertível. 2 0 400 1. 0-5 2/0 0 0 005 -1 0 0 0 -10 0 0 3 0/0 3. 020 4. 0 1 0 0 3.0 õ 0 0 0 —2 Aptidões desenvolvidas e Determinar se uma matriz diagonal é invertível sem fazer contas. * Calcular mentalmente produtos matriciais envolvendo matrizes diagonais. e Determinar se uma matriz é triangular. e Entender como a transposição afeta matrizes diagonais e triangulares. e Entender como a inversão afeta matrizes diagonais e triangulares. e Determinar se uma matriz é simétrica. Nos Exercícios 5-8, determine o produto por inspeção. 3 o 0 21 5. |0 —1 o||-4 1 o o 2 25 74 Álgebra Linear com Aplicações 30 35 60 Figura 1.8.1 30 % 35 x 60 Figura 1.8.2 55 55 mais fios se juntam; na rede do trânsito, eles ocorrem em cruzamentos de ruas; e numa rede financeira, eles ocorrem em centros bancários, nos quais o dinheiro é distribuído a indivíduos ou outras instituições. No estudo de redes, existe, em geral, alguma medida numérica da taxa segundo a qual o meio flui ao longo do ramo. Por exemplo, o fluxo de uma corrente elétrica, em geral, é medido em amperes; a taxa de fluxo da água ou petróleo, em litros por minuto; a do fluxo do trânsito, em veículos por hora; e a taxa do fluxo de moeda europeia, em milhões de euros por dia. Vamos restringir nossa atenção às redes em que há conservação do fluxo em cada nó, com o que queremos dizer que a taxa de fluxo para dentro de qualquer nó é igual à taxa de fluxo para fora desse nó. Isso garante que o meio não se acumula nos nós e não impede o movimento livre do meio ao longo da rede. Um problema comum na análise de redes é usar taxas de fluxo conhecidas em certos ramos para encontrar a taxa de fluxo em todos os demais ramos da rede. Aqui temos um exemplo. D EXEMPLO 1/ Análise de redes usando sistemas lineares A Figura 1.8.1 mostra uma rede de quatro nós com indicação de algumas taxas de fluxo e sentido do fluxo ao longo de ramos. Encontre as taxas de fluxo e o sentido do fluxo nos demais ramos. Solução Como ilustra a Figura 1.8.2, associamos sentidos arbitrários para as taxas de fluxos x,, x, € x;. Não precisamos nos preocupar com a veracidade desses sentidos, pois um sentido incorreto acabará recebendo um valor negativo para a taxa de fluxo quando tivermos resolvido para as incógnitas. Segue da conservação do fluxo no nó A que x+2,=30 Analogamente, nos demais nós, obtemos x+x =35 (nóB) x,+15=60 (nóC) x+15=55 (nóD) Essas quatro condições produzem o sistema linear + =30 mw +m=35 x=45 x =40 que podemos, agora, tentar resolver para as taxas de fluxo desconhecidas. Nesse caso particular, o sistema é suficientemente simples para resolvê-lo sem fazer contas (de baixo para cima). Deixamos para o leitor confirmar que a solução é x=40, w=-10, x,=45 Como x, é negativo, vemos que o sentido do fluxo naquele ramo da Figura 1.8.2 está in- correto, pois o fluxo naquele ramo é para dentro do nó A. D EXEMPLO 2 Projetando padrões de tráfego A rede da Figura 1.8.3 mostra uma proposta de fluxo de tráfego de uma certa cidade em torno de uma de suas praças, a Praça 15. O plano prevê a instalação de um semáforo computadorizado na saída norte da Rua Lavradio, e o diagrama indica o número médio de veículos por hora que se espera ter nas ruas que circundam o complexo da praça. Todas as ruas são de mão única. 1.8 Aplicações de sistemas lineares (a) O semáforo deveria deixar passar quantos veículos por hora para garantir que o nú- mero médio de veículos por hora que entra no complexo seja igual ao número médio de veículos que sai do complexo? (b) Supondo que o semáforo tenha sido ajustado para equilibrar o fluxo total para dentro e para fora do complexo da praça, o que pode ser dito sobre o número médio de veí- culos por hora que circulará pelas ruas que circundam o complexo? 200 — É Semátoro 200 Rua do Mercado “E o x 500 É Ez 400 500 c B | Praça | 7 x x, Slas |á à 700 s s 400 700 Rua do Comércio É e D x 4 600 600 Figura 1.8.3 (a) (b) Solução (a) Se x for o número de veículos por hora que o semáforo deve deixar passar, conforme Figura 1.8.3(b), então o número total de veículos por hora que entra e sai do complexo da praça será Para dentro: 500 + 400 + 600 + 200 = 1.700 Para fora: x + 700 + 400 Igualando os fluxos para fora e para dentro, vemos que o semáforo deveria deixar passar 600 veículos por hora. Solução (b) Para evitar congestionamentos de trânsito, o fluxo para dentro de cada cru- zamento deve igualar o fluxo para fora do cruzamento. Para isso acontecer, as condições seguintes devem estar satisfeitas. Cruzamento Fluxo para dentro Fluxo para fora A 400 + 600 = xx, B x +, = 400 + x c 500 + 200 = xx, D x tax = 700 Assim, com x = 600, como calculamos na parte (a), obtemos o sistema linear seguinte. x +% = 1.000 x + = 1.000 % +x = 700 x +x, = 700 Deixamos para o leitor mostrar que esse sistema tem uma infinidade de soluções e que estas são dadas pelas equações paramétricas x,=700-1 x,=300+1 x,=700-1 x, =t (1) Contudo, nesse exemplo, o parâmetro t não é completamente arbitrário, pois há restrições físicas a considerar. Por exemplo, as taxas de fluxo médias devem ser não negativas, pois es: tamos supondo ruas de mão única, e uma taxa de fluxo negativa indicaria um fluxo na contra- mão. Portanto, vemos de (1) que t pode ser qualquer número real que satisfaça O = 1 = 700, o que implica que a taxa de fluxo média ao longo das ruas ficará dentro das cotas 0=x,=700, 300=x,=1.000, 0=x,=700, 0=x,=70 «4 400 400 75 76 | Álgebra Linear com Aplicações Circuitos elétricos Figura 1.8.4 a Figura 1.8.5 + Figura 1.8.6 é () é () é dE de Convenção de laço fechado horário com sentidos arbitrários atribuídos às. correntes nos ramos Figura 1.8.7 Em seguida, mostramos como a análise de redes pode ser usada para analisar circuitos elétricos constituídos de capacitores e resistores. Um capacitor é uma fonte de energia elétrica, como uma bateria, e um resistor é um elemento que dissipa energia elétrica, como uma lâmpada. A Figura 1.8.4 mostra o diagrama esquemático de um circuito com um capacitor (representado pelo símbolo Ab. um resistor (representado pelo símbolo -W) e uma chave. O capacitor tem um polo positivo (+) e um polo negativo (—). Quan- do a chave está fechada, consideramos a corrente elétrica fluindo a partir do polo positivo do capacitor, através do resistor, e de volta ao polo negativo do capacitor (indicado pela seta na figura). A corrente elétrica, que é um fluxo de elétrons por fios, tem um comportamento mui- to parecido com o do fluxo de água por canos. Um capacitor funciona como uma bomba que cria “pressão elétrica” para aumentar a taxa de fluxo dos elétrons, e um resistor age como uma restrição num cano que reduz a taxa de fluxo dos elétrons. O termo técnico para a pressão elétrica é tensão elétrica, que usualmente é medida em volts (V). A resis- tência é o quanto o resistor reduz a tensão elétrica, e costuma ser medida em ohms (9). A taxa de fluxo dos elétrons num fio é denominada a intensidade de corrente, e é usual- mente medida em ampêres (A). O efeito preciso de um resistor é dado pela seguinte lei. Leide Ohm Se uma corrente de 1 ampêres passa por um resistor com uma resistência de R ohms, então o resultado é uma queda da tensão elétrica de E volts, que é o produto da corrente pela resistência, ou seja, E=IR Uma rede elétrica típica possui vários capacitores e resistores ligados por alguma configuração de fios. Um ponto no qual três ou mais fios da rede se encontram é um nó da rede. Um ramo é um fio ligando dois nós, e um laço fechado é uma sucessão de ramos conectados que começa e termina no mesmo nó. Por exemplo, o circuito elétrico da Fi- gura 1.8.5 tem dois nós e três laços fechados, dois internos e um externo. À medida que a corrente flui pelo circuito elétrico, ela passa por aumentos e diminuições de tensão elé- trica, que são as elevações e as quedas de voltagem, respectivamente. O comportamento da corrente nos nós e em torno de laços fechados é governado por duas leis fundamentais. Lei das correntes de Kirchhoff A soma das correntes fluindo para dentro de qualquer nó é igual à soma das correntes fluindo para fora do nó. Lei das tensões de Kirchhoff Em uma volta em torno de qualquer laço fechado, a soma das elevações de voltagem é igual à soma das quedas de voltagem. A lei das correntes de Kirchhoff é uma versão para circuitos elétricos do princípio da conservação do fluxo num nó, que enunciamos para redes gerais. Assim, por exemplo, as correntes no nó superior da Figura 1.8.6 satisfazem a equação 1, = 1, + 1,. Em geral, não é possível saber de antemão os sentidos nos quais estão fluindo as correntes em circuitos com vários laços e capacitores: por isso, na análise de circuitos, é costume atribuir sentidos arbitrários aos fluxos das correntes nos vários ramos e deixar os cálculos matemáticos determinarem se os sentidos atribuídos estão corretos. Além de atribuir sentidos aos fluxos de corrente, a lei das tensões de Kirchhoff requer um sentido de percurso para cada laço fechado. A escolha é sempre arbitrária, mas para obter alguma consistência, sempre tomaremos esse sentido como sendo o horário (Figura 1.8.7). Tam- bém introduzimos as seguintes convenções. 1.8 Aplicações de sistemas lineares 79 Dizemos que uma reação química está equilibrada se aparecer o mesmo número de átomos em cada lado da seta para cada tipo de átomo na reação. Por exemplo, a versão equilibrada da Equação (4) é CH, +20, — CO, + 2H,0 (5) com a qual queremos indicar que combinamos uma molécula de metano com duas de oxigênio estável para produzir uma molécula de gás carbônico e duas moléculas de água. Poderíamos perfeitamente multiplicar toda a equação por qualquer inteiro positivo. Por exemplo, multiplicando todos os termos por 2, obtemos a equação química equilibrada 2CH, + 40, — 2C0, + 4H,0 Contudo, é convenção padrão utilizar os menores inteiros positivos que equilibram a equação. A Equação (4) é suficientemente simples para ser equilibrada por tentativa e erro, mas equações químicas mais complicadas requerem um método mais sistemático. Existem vários métodos que podem ser usados, mas veremos um que usa sistemas de equações lineares. Para ilustrar o método, vamos reexaminar a Equação (4). Para equilibrar essa equação, precisamos encontrar inteiros x,, X,, x, € x, tais que x, (CH) + x, (0) — x, (CO) + x, (H,0) (6) Para cada um dos átomos da equação, o número de átomos à esquerda deve ser igual ao número de átomos à direita. Expresso em formato tabular, temos Lado esquerdo Lado direito Carbono x = x; Hidrogênio 4x, = 2x, Oxigênio 2x, = 2x, + x, de onde obtemos o sistema linear homogêneo % =» = 4x, —2x,=0 2% —2x,— w= A matriz aumentada desse sistema é 1 0-1 0/0 4.0 0 -2 0 0 2-2 + 0 Deixamos para o leitor mostrar que a forma escalonada reduzida por linhas dessa matriz é 10 040 0 1 0 —1 0 o 0 1410 da qual concluímos que a solução geral desse sistema é MN=U2, m=t m=H2, x=t em que 1 é arbitrário. Os menores valores inteiros positivos para as incógnitas ocorrem quando tomamos 2, de modo que podemos equilibrar a equação tomando x, = 1, %=2,x,= 1,x, = 2. Isso confere com nossa conclusão anterior, pois substituindo esses valores em (6), obtemos (5). Bo Álgebra Linear com Aplicações Interpolação polinomial y=ar+b Figura 1.8.10 b EXEMPLO 5 Equilibrando equações químicas usando sistemas lineares Equilibre a equação química HCI + NaPO, — HPO + Nal [ácido clorídrico) + [fosfato de sódio] —> [ácido fosfórico] + [cloreto de sódio] Solução Sejam x,, x,, x, e x, inteiros positivos que equilibram a equação x, (HCI) + x, (Na, PO) —» x, (H;PO,) + x, (NaCl) (1) Igualando o número de átomos de cada tipo de ambos lados, resulta Ix,=3x, Hidrogênio (H) lx, = Ix, Cloro (CI) 3x, = Ix, Sódio (Na) lx, = Ix, Fósforo (P) 4x, = 4x, Oxigênio (0) do que obtemos o sistema linear homogêneo x — 3x; =0 x, —x,=0 3x, —x,=0 m= mo =0 4x — 4x, =0 Deixamos para o leitor mostrar que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é 10 0-1 0 0 10-40 0 0 140 00 0 0 0 0 0 0 0 0 da qual concluímos que a solução geral desse sistema é N=t b=13, »=13, x=t onde t é arbitrário. Para obter os menores valores inteiros positivos que equilibram a equa- ção, tomamos t = 3,e resultax, = 3,x, = 1,x, = 1 e x,=3. Substituindo esses valores em (7), obtemos a equação equilibrada 3HCI + Na,PO, — H,PO, + 3NaCl «4 Um problema importante em várias aplicações é encontrar um polinômio cujo gráfico passe por uma coleção de pontos especificados no plano; tal polinômio é dito polinômio interpolador dos pontos. O exemplo mais simples de um problema desses é encontrar um polinômio linear po)=ax+b (8) cujo gráfico passe por dois pontos distintos conhecidos (x,, y,) e (x, Y5) do plano xy (Figu- ra 1.8.10). O leitor provavelmente aprendeu vários métodos da Geometria Analítica para encontrar a equação de uma reta por dois pontos, mas aqui daremos um método com base em sistemas lineares que pode ser adaptado à interpolação polinomial geral. 1.8 Aplicações de sistemas lineares 81 O gráfico de (8) é a reta y = ax + be, para essa reta passar pelos pontos (x,. y,) e (X,, 5), devemos ter y=a,+tb e y=as+b Portanto, os coeficientes incógnitos a e b podem ser obtidos resolvendo o sistema linear ax tb=y a tb=3, Não precisamos de métodos geniais para resolver esse sistema; o valor de a pode ser ob- tido subtraindo as equações para eliminar b e, então, o valor de a pode ser substituído em qualquer uma das duas equações para encontrar b. Deixamos para o leitor encontrar a e b e mostrar que podem ser expressos na forma BO po MBM 9) w—% ER a= desde que tenhamos x, * x,. Assim, por exemplo, a reta y = ax + b que passa pelos pontos 21) e (5,4) podem ser obtida tomando (x,, y;) = (2, 1) e (x,, y,) = (5, 4), caso em que (9) fornece 4-1 atol, e p- DOTADO —1 5-2 5-2 Portanto, a equação da reta é y="—1 Figura 1.811 (Figura 1.8.11). Consideremos, agora, o problema mais geral de encontrar um polinômio cujo gráfico passe pelos n pontos de coordenadas x distintas CD Cod (acc OD) (0) Como temos n condições a satisfazer, a intuição sugere que comecemos procurando por polinômios da forma PO =ataxtam+ tao (1) já que um polinômio dessa forma tem n coeficientes que estão à nossa disposição para satisfazer as n condições. Contudo, queremos permitir os casos em que alguns pontos estejam alinhados ou então satisfaçam alguma outra configuração, o que tornaria possível utilizar algum polinômio de grau menor do que n — 1; assim, vamos permitir que a, , e outros coeficientes em (11) sejam nulos. O próximo teorema, que será provado mais adiante, é o resultado fundamental da interpolação polinomial. TEOREMA 1.8.1 | Interpolação polinomial Dados quaisquer n pontos no plano xy que têm coordenadas x distintas, existe um úni- co polinômio de grau n — 1 ou inferior cujo gráfico passa por esses pontos. Vejamos, agora, como poderíamos encontrar o polinômio interpolador (11) cujo gráfico passa pelos pontos de (10). Como o gráfico desse polinômio é o gráfico da equação vy=ataxtaxtta, (12) n=1