Exercícios resolvidos: Multiplicadores de lagrange

Exercícios resolvidos: Multiplicadores de lagrange

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Multiplicadores de Lagrange

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 12/01/2015 - Atualizado em 07/05/2017

Exemplo 1: Uma caixa de papel de base x altura z e largura y deve ser construída com volume de 10 dm3. Essa caixa deve ser construída com 4 camadas de papelão em seu fundo, 2 camadas de papelão em seus lados e uma camada de papelão em sua tampa. Sabendo que o custo de produção da caixa é avaliado pela área de cada lado qual o valor de x, y e z para que a caixa seja fabricada de modo mais barato possível?

Solução:

Numa caixa com tampa temos um fundo, 4 lados e uma tampa como no desenho abaixo.

x y

Assim, o custo (Q) da caixa será: Q = custo do fundo + custo dos lados + custo da tampa

Onde:

Custo do fundo de quatro camadas = 4xy Custo dos lados maiores com 2 camadas = 2zy + 2zy

Custo dos lados menores com 2 camadas = 2xz + 2xz

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O que queremos é determinar o valor mínimo de Q( ,y,z) que pela definição de Lagrange será:

Como o vetor gradiente de V(x,y,z) é:

e o vetor gradiente de Q(x,y,z) é:

então:

Evidenciando λ em cada linha chegamos à:

Igualando os lambdas acima encontramos as relações de x, y e z com eles mesmos:

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Substituindo estas relações nas funções de restrição V = xyz que é igual a 10, chegamos a solução:

Exemplo 2: Ache as dimensões do maior jardim retangular que pode ser cercada com 100 m de cerca.

Solução:

A função a ser maximizada é a da área A = xy. E a restrição e de que 2x + 2y = 240.

Pela formula de Lagrange temos:

Chegamos a solução.

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