A Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Res (1)

A Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Res (1)

(Parte 1 de 3)

Christiane Mázur Lauricella Christiane Mázur Lauricella

Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidos

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Editor: Paulo André P. Marques Supervisão Editorial: Aline Vieira Marques Copidesque: Paula Regina Pilastri Capa: Cristina Satchko Hodge Diagramação: Tatiana Neves Assistente Editorial: Vanessa Motta

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LAURICELLA, Christiane Mázur Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidos Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2011

1. Matemática. I — Título

ISBN: 978-85-399-0113-5CDD 510
Rio de Janeiro, RJ – BrasilCEP: 20.950-150

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IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoVIIVIIVIIVIIVII

SumárioSumárioSumárioSumárioSumário

Derivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma Variável1
Exercícios Propostos – Capítulo 125
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 126

Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1

Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma Variável2929292929
Exercícios Propostos – Capítulo 256
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 257

Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2

Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas Variáveis5959595959
Exercícios Propostos – Capítulo 373
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 374

Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3

Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela7
Exercícios Propostos – Capítulo 493

Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.................................................................94

IVIVIVIVIVComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da T abelaabelaabelaabelaabela9797979797
Exercícios Propostos – Capítulo 5108
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5109

Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5

Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição1
Exercícios Propostos – Capítulo 6129
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6130

Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6

Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes131131131131131
Exercícios Propostos – Capítulo 7148
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7149

Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7

Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas151151151151151
Exercícios Propostos – Capítulo 8159
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8160

Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8

Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração161161161161161
Exercícios Propostos – Capítulo 9196

Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9...............................................................197

VVVVVSumárioSumárioSumárioSumárioSumário

Integrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de Variável199199199199199
Exercícios Propostos – Capítulo 10234

Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10............................................................235

IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução

Este trabalho não pretende ser mais um livro de Cálculo Diferencial e Integral. Sua intenção é auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolver derivadas e integrais. Em cada exemplo há uma conversa com o leitor, na qual, em linguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvidas na resolução de derivadas e integrais.

A estrutura da organização do texto é baseada em três grandes blocos: o das derivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado no quadro abaixo.

Inicialmente, são feitos exemplos com resoluções detalhadas de derivadas de funções simples de uma variável, incluindo o uso de propriedades de derivação relativas à soma, ao produto e ao quociente de funções bem como ao produto de uma constante por uma função. Em seguida, há soluções minuciosas de derivadas de funções compostas. Finalizando o bloco das derivadas, são abordadas várias situações envolvendo funções de duas variáveis.

As integrais chamadas de “diretíssimas da tabela”, ou imediatas, são as que estão em tabelas básicas de integração ou que, para serem resolvidas, dependem de duas propriedades algébricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de “dire-

Derivadas de funções simples de uma variável Derivadas de funções compostas de uma variável Derivadas parciais de funções de duas variáveis Integrais diretíssimas da tabela Integrais diretas da tabela Método da integração por substituição Método da integração por partes Integrais definidas Integrais duplas e regiões de integração Mudança de variável nas integrais duplas

VIIIVIIIVIIIVIIIVIIIComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos tas da tabela” são as que, por desenvolvimentos da função a ser integrada, chegam a um caso previsto em tabelas básicas de integração. Os métodos de integração por substituição e por partes são utilizados em diversos exemplos. O bloco das integrais simples é concluído com as integrais definidas.

Finalmente, são realizadas integrais duplas em vários tipos de domínios de integração e, também, integrais duplas resolvidas por meio de mudanças de variáveis.

Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1

Derivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções Simples de uma Vde uma Vde uma Vde uma Vde uma Variávelariávelariávelariávelariável

A derivada da função y = f (x), em relação à sua única variável independente x, pode ser indicada por:

yf x D dydx df x,,

Sendo f (x) e g (x) duas funções da variável x e k uma constante, temos as seguintes propriedades das derivadas:

df x g xdx df xdx dg xdx

dx k df xdx

D3. f x .g x f x g x f x g x ou df x g xdx ddx gx f x dg xdx

D4. fxgx fx g x f x g xgx df xdx gx f x dg x dx

Essas propriedades são enunciadas como descrito abaixo.

D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duas funções.

22222Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante pode ser qualquer número real.

D3. A derivada do produto (multiplicação) de duas funções é igual à soma da derivada da primeira função multiplicada pela segunda função com a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

D4. A derivada do quociente (divisão) de duas funções é igual à subtração entre a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denominador e a função do numerador multiplicada pela derivada da função do denominador, sendo “toda” essa subtração dividida pela função do denominador elevada ao quadrado. Inclui-se a condição da função do denominador ser diferente de zero.

Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funções simples de uma variável estão mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se à derivada da função constante que é zero (também lida como “a derivada da constante é igual a zero”).

Tabela de derivadas (funções simples)

33333Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

Esse é um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, em relação à variável x, uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “x elevado ao expoente 5” ou “x elevado a 5”.

Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:

x' dxdx

44444Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de “x elevado a 5” é “5 multiplicado por x elevado a 5 − 1”, resultando em “5 vezes x elevado a 4”, conforme segue.

fx x dxdx

Exemplo 1.2. Derive y = x−7

Este também é um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado a −7”.

Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:

x dxdx

No caso, n vale −7 (n = −7). Ou seja, a derivada de “x elevado a −7” é “−7 multiplicado por x elevado a −7 −1”, resultando em “−7 vezes x elevado a −8”, conforme segue.

Lembre-se que, subtraindo 1 de −7, temos −8 e não −6! Ou seja, a derivada de x −7 em relação à variável x é −7x −8 e não −7x −6.

derivação: apenas aplicamos a equivalência xa−−=→=

Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6. Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas:

x dxdx

55555Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável multiplicada por

”, conforme segue.

fx x dxdx x

Lembre-se que, para subtrair 1 de 5/6, devemos fazer:

= não usamos

qualquer regra de derivação, apenas aplicamos as equivalênci- as: x a a

Exemplo 1.4. Derivefxx

“prepará-la”, de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração da função original.

Sabemos que:

derivadas:

x dxdx

66666Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Ou seja,

fx x x dxdx x x

Para podermos usar a tabela na derivação da função raiz quadrada de x, antes devemos escrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.

Sabemos que:

x x x xba b a=→ = =

Escrevendo a raiz quadrada de x como “x elevado ao expoente ½”, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas, com n = 1/2:

x dxdx

Ou seja,

fx x x dxdx x x, , , x x x

77777Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

Este exemplo é muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos a tabela, vamos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada ao expoente 2/3”.

Vejamos:

x x xba b a=→ =

Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas:

x dxdx

Ou seja,

fx x x dxdx x x,

Exemplo 1.7. Derive f (x) = x −3 + x3. Temos de derivar, em relação à variável x, a soma de “x elevado a −3” com “x elevado a 3”.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirma que a derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções:

df x g xdx df xdx dg xdx

88888Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Ou seja,

fx x x dxdx dxdx

Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.

(x -3)’ = -3x -3-1 = -3x -4, poisxdxdx

Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3

Temos de derivar, em relação à variável x, a constante 4 multiplicada por x elevado ao cubo. Ou seja, trata-se da derivação do produto da constante k = 4 pela função x3.

Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função:

dx k df xdx

Ou seja,

fx dxdx

99999Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável Agora, usando a regra

x dxdx para n = 3, temos que:

Antes de derivarmos a função

fx x vamos escrevê-la como f (x) = 7 + 5x −1. Isso não altera a função original, pois, se

Agora, começamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectivamente, por:

fx x x

1010101010Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos

Cada uma das derivadas anteriores pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.

(7)’ = 0, pois (),kdk dx ==0 (a derivada da constante é zero) e, no caso, k = 7.

x x x

, pois xdxdx

Logo,

fx x x x

Exemplo 1.10. Derive y = 8 + cos x Temos de derivar a soma de 8 com o cosseno de x. Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1 abaixo:

fx x dx

Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:

dx ==0(a derivada da constante é zero) e coscos,xdxdx

1111111111Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável

Observe que o cosseno de x, indicado por cosx, é uma função trigonométrica, ou seja, não é a multiplicação de “alguma coisa” por x!

Exemplo 1.1. Derive f (x) = 5 tgx + 3 senx.

Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do quíntuplo da tangente de x com o triplo do seno de x. Ou seja, a soma da tangente de x multiplicada pela constante 5 com o seno de x multiplicado pela constante 3.

Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2, dadas, respectivamente, por:

Observe que a tangente de x, indicada por tgx, o seno de x, indicado por senx, o cosseno de x, indicado por cosx, e a secante ao quadrado de x, indicada por sec2x, são funções trigonométricas, ou seja, não são multiplicações de “alguma coisa” por x!

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