cálculo um curso moderno e suas aplicações- hoffmann e bradley, Notas de aula de Cálculo

Baixe cálculo um curso moderno e suas aplicações- hoffmann e bradley e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity! A LAURENCE D. HOFFMANN & GERALD L. BRADLEY CÁLCULO | Um Curso Moderno e Suas Aplicações E: Edição E ÍNDICE DE APLICAÇÕES SELECIONADAS BIOLOGIA, SAÚDE E ECOLOGIA Alometria, Problemas 4-2, Problema 73: Problemas 6-2, Problema 62: “ Problemas 7-4, 32 Análise ambiental, Problemas de Revisão 1. Problema 6 Área da superlície de uma criança. Problemas de Revisão 5, Problema 82 Átca superficial do corpo humano, Problemas 7-1, Problema 35: Problemas 7-2, Problema 44: Problemas 7-6. Problema 85 Ameriosclerose, Problemas 2-5. Problema 29 Biologia marinha. Problemas de Revisão 3, Problema 54 Bioquímica. Problemas 1-4, Problema 53 Botânica, Problemas de Revisão 3, Problema 62 Camada de ozônio. Problemas de Revisão 4. Problema 69 Capacidade aeróbica. Problemas 4-4. Problema 32 Capacidade aeróbica média. Problemas 5-4. Problema 52 Cardiologia Problemas 2-1. Problema 45: Problemas 7-2. Problema 49 Circulação sangiiínea, Problemas 1-1. Problema 57; Problemas 1-2, Problema 34: Problemas 2-5, Problema 30; Problemas 2-6, Problema 53; Problemas de Revisão 2, Problema 41: Problemas 3-4, Problema 34; Problemas 7-2, Problema 51 Colônia de bactérias, Problemas 1-5. Problema 52: Verificação 1, Problema 9; Problemas Problema 52: Problemas de Revisão 2, Problema 38: Problemas 4-1. Problema 41: Problemas 4-2. Problema 53: Verificação 4, Problema 10; Problemas 5-4, Problema 37. Problemas 5-6. Problema 3: Problemas 6-1, Problema 46; Problemas 6-2, Problema 29: Problemas 7-4, = Problema 30 Concentração de 62, Problema 65 Concentração de um me Problemas 3-3, Problemmse. Verificação 3 3, . Problema 9; Proble: 4-2, Problema 48: Problemas 4-4. Problema 49: Problemas de Revisão 4, Problema 67; Problemas 5-2, Problema icose no sangue, Problems” 55: Problemas 5-3, Problema 535: Problemas 6-2, Problema 32: Verificação 6. Problema & Concentração média de um medicamento, Problemas 5-4, Problema 47; Verificação 5. Problema 10; Problemas 6-1, Problema 47 Contágio, Problemas 7-6. Problema 89 Controle da poluição. Problemas 2-2, Problema 75: Problemas 2-3, Problema 53; Problemas 2-6. Problema 42; Problemas de Revisão 2, Problema 42: Problemas 3-1, Problema 58; Problemas 6-4, Problema 41 Controle do alcoolismo, Problemas 4-3. Problema 72 Controle do colesterol. Problemas 5-5. Problema 31 Crescimento das plantas, Problemas 4-3. Problema 7 Crescimento de inssios: Problemas 2-4. Problema 69 Crescimento de um mamífero. Problemas 2-4. Problema 63 Crescimento de um tecido, Problemas 3-2. Problema 65 Crescimento de um tumor. Problemas 2.2. Problema 50: Problemas 2-6. Problema 39; Venifi io 2. Problema 10 Crescimento de uma árvore, Problemas 5-1. Problema 44: Problemas Problema 5t; Problemas de Revisão Problema 78 Crescimento de uma célula, Problemas 2-: Problema 26 Crescimento de uma criança. Problemas 1-3. Problema 45 Criação de peixes, Problemas 3-1, Problema 65 Débito cardíaco, Problemas 2-5, Problema 27; Probiemas 5-6. Problema 25: Problemas 6-1, Problema 59: Problemas 6-4. Problema 40 Decaimento de uma proteína, Verificação 6. Problema 9 Disseminação da AIDS, Problemas 7-4. Problema 31 Disseminação de uma doença. Problemas 2-2, Problema 62: Problemas 3-2, Problema 59: Problemas 4-4, Problema 62: Problemas 5-6, —— —-.. Problema 19: Problemas 6-1. Problema 54: Problemas 6-4, Problema 35 seminação de uma epidemia, Problemas 1-4, Problema 18: Problemas 2-2. Problema 51; Problemas 3-2. Problema 64: Problemas 4-4, Problema 2. Problemas de Revisão 4, Problema 70: Problemas 6-2. Problema 38 Dosagem de um medicamento, Problemas 2-3, Problema 63 Ecologia. Problemas 1-1. Problem: Problemas 4-3, Problema 70: Problemas de Revisão 5, Problema 91; Problemas 7-3, Problema 28 Efeito de uma toxina. Problemas 4.4. Problema 46; Problemas de Revisão 5. Efeito sísmico do alimento. Problemas 5-4. Problema 53 Efeizos do álcool. Problemas 1-3, Problema 54 Eficácia de um medicameiso Problemas 56, Problema 38 Eliminação de rejeitos Problemas de Revisão 3. Problema 59 Elingnação de eejenos tósicos. Problemas de Revisão 6. Problema 75 Energia gasta para voar. Problemas 5-6. Problema 42 Emomologia Problemas 1-5. Problema 48 Epidemia de AIDS. Problemas de Revisão 2. Probiema 36 Epidemiologia, Problemas 3-3, Problema 46: Problemas <<. Problema Esgotamento dos recursos naturais. Problemas 5. Problema 35 Espécie ameaçada de extinção, Problemas 5-1. Problema 50 Problemas 5-3. Problema 56; Problemas 5-6. Problem tologia, Problemas 2-1, Problema 38: Problemas 2-4, Problema 62: Problemas 3-1. Problema 67: Problemas 3-4. Problema 36: Problemas 3-5. Problema 39 Expectativa de vida, Problemas 5-6. Problema 40 Farmacologia. Problemas 2-3, Problema 54 Fisiologia, Problemas 1-4, Problema 51 Genética, Problemas 7-3, Problema 35 Hemodinâmica, Problemas 5-1, Problema 61: Problemas 3-4, Problema 60: Preblemas 7-1, Problema 41: Problemas 7-2. Problema 41 Horticultura, Problemas de Revisão 5. —— Problema 92 Tdade ideal para a reprodiição. Problemas 4-4, Problema 39 CÁLCULO Um Curso Moderno e Suas Aplicações Sr NS Po pigero SUMÁRIO CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO CAPÍTULO URB N + q cupwnNs in CUBA es BON pa - Resumo do Ca Prefácio ix Introdução às Calculadoras xix Funções, Gráficos e Limites Funções 1 O Gráfico de uma Função 12 Funções Lineares 22 Modelos Funcionais 34 Limites 48 Limites Unilaterais e Continuidade 60 Resumo do Capítulo 70 Termos, Símbolos e Fórmulas importantes 70 Verificação do Capítulo 1 70 Problemas de Revisão 71 Atualização do Explorel 75 Para Pensar 77 Derivação: Conceitos Básicos A Derivada 79 Técnicas de Derivação 92 Regras do Produto e do Quociente; Derivadas de Ordem Superior 103 Regra da Cadeia 114 Análise Marginal e Aproximação por incrementos 126 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 135 lo 145 Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes 145 Verificação do Capítulo 2 146 Problemas de Revisão 146 Atualização do Explore! 152 Para Pensar 154 Aplicações Adicionais da Derivada Funções Crescentes e Decrescentes; Extremos Relativos 155 Concavidade e Pontos de Inflexão 169 Traçado de Curvas 184 Otimização 196 Problemas Práticos de Otimização 211 Resumo do Capítulo 225 Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes 225 Verificação do Capítulo 3 226 Problemas de Revisão 227 Atualização do Explore! 233 Para Pensar 235 Funções Logarítmicas e Exponenciais Funções Exponenciais 238 Funções Logarítmicas 250 Derivação de Funções Logarítmicas e Exponenciais 263 Outras Aplicações das Funções Logarítmicas e Exponenciais 275 Resumo do Capítulo 287 viii Sumário Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes 287 Verificação do Capítulo 4 288 Problemas de Revisão 289 Atualização do Explore! 294 Para Pensar 296 CAPÍTULO Integração Antiderivação: a Integral Indefinida 299 Integração por Substituição 310 A Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo 319 Aplicações da Integração Definida: Área entre Curvas e Valor Médio 332 Aplicações em Economia e Finanças 347 Aplicações em Biologia e Ciências Sociais 357 Resumo do Capítulo 370 Termos, Símbólos e Fórmulas Importantes 370 Verificação do Capítulo 5 371 Problemas de Revisão 371 Atualização do Explore! 376 Para Pensar 378 CUBUNS U CAPÍTULO o Outros Tópicos de Integração Integração por Partes; Tabelas de Integrais 380 Introdução às Equações Diferenciais 392 Integrais Impróprias; Probabilidade Contínua 408 Integração Numérica 421 Resumo do Capítulo 433 Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes 433 Verificação do Capítulo 6 434 Problemas de Revisão 435 Atualização do Explore! 440 Para Pensar 442 BON CAPÍTULO Cálculo de Várias Variáveis 7 *- 1 Funções de Várias Variáveis 446 2 Derivadas Parciais 459 3 Otimização de Funções de Duas Variáveis 471 4 O Método dos Mínimos Quadrados 481 5 Otimização com Restrições: Método dos Multiplicadores de Lagrange 491 6 Integrais Duplas 502 Resumo clo Capítulo 515 Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes 515 Verificação do Capítulo 7 515 Problemas de Revisão 516 Atualização do Explore! 520 Para Pensar 522 APÊNDICE Revisão de Álgebra Uma Breve Revisão de Álgebra 525 Fatoração de Polinômios e Solução de Sistemas de Equações 534 Determinação de Limites com a Regra de L'Hôpital 541 Resumo do Apêndice 545 Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes 545 Problemas de Revisão 545 Para Pensar 548 vna p» TABELAS Potências de e 549 ll |O Logaritmo Natural (Base e) 550 SOLUÇÕES Respostas dos Problemas Ímpares, dos Problemas de Verificação do Capítulo e dos Problemas de Revisão Impares 551 Índice 620 Prefácio xi * A subseção da Seção 3.2 a respeito de Pontos de Inflexão foi revista para maior clareza e um novo quadro de definições e um novo quadro de procedimentos foram acrescentados. Capítulo 4: Funções Logarítmicas e Exponenciais * Foram acrescentados muitos novos problemas convencionais e aplicados a áreas como a concentração de um medicamento no sangue e o tempo necessário para triplicar um valor. * A subseção da Seção 4.2 a respeito das Propriedades dos Logaritmos foi revista para maior clareza e uma nova tabela que mostra as propriedades correspondentes das funções legarítmicas e exponenciais foi acrescentada. Capítulo 5: Integração * Foram acrescentados muitos novos problemas convencionais e aplicados a áreas como produção média, conservação. horticultura. prêmios de loterias, valor atual de um investimento, temperatura e outros. * A discussão do valor médio de uma função na Seção 5.4 foi consideravelmente modificada, com exemplos revistos. discussão ampliada e novos quadros de definições. * A Seção 5.6 foi revista e consideravelmente ampliada. Novas subseções a respeito de Densidade Populacional e de Volume de um Sólido de Revolução foram introduzidas, juntamente com novos exemplos, figuras e quadros de definições, e a discussão a respeito de sobrevivência e renovação foi ampliada e generalizada. Capítulo 6: Outros Tópicos de Integração * Foram acrescentados muitos novos problemas convencionais e aplicados a áreas como excedente do consumidor. valor futuro de um investimento. rejeitos nucleares, densidade populacional, eficiência dos operários e outras. * A introdução às equações diferenciais da Seção 6.2 foi revista e ampliada com uma discussão a tespeito de modelagem. Uma nova subseção sobre Crescimento Logístico e vários novos exemplos e figuras foram acrescentados para melhorar esta seção. * Um novo exemplo comercial a respeito da interpretação de dados com integração numérica foi introduzido na Seção 6.4. o Capítulo 7: Cálculo de Várias Variáveis * Foram acrescentados muitos novos problemas convencionais c aplicados a áreas como distribuição de mão-de-obra, amortização de dívidas. construção civil, demanda dos consumidores, retorno constante de escala, paisagismo, embalagens, vendas no varejo e outras. * Foi introduzida uma nova subseção na Seção 7.2, intitulada A Regra da Cadeia para Derivadas, com uma nova discussão. novos quadros de definições e procedimentos, novos exemplos computacionais e aplicados e uma nova lista de problemas. * A discussão a respeito do método dos multiplicadores de Lagrange na Seção 7.5 foi revista para maior clareza e o quadro de procedimentos foi atualizado. * Foram introduzidas na Seção 7.6 subseções a respeito de Integrais Duplas em Regiões Não-retangulares e Aplicações das Integrais Duplas. CARACT FRÍSTICAS IMPORTANTE Tempo para Dobrar de Valor Solução Gm um princi de vor uno uséidêntica à ante Assim. otemgoai | matado para Resolver Problemas de mas el Definições Definições e conceitos importantes são destacados do texto para facilitar a busca por parte do aluno. S DESTE LIVRO Aplicações Em todo o texto, foi feito um grande esforço para assegurar que os tópicos fossem aplicados a problemas práticos logo depois de serem introduzidos. apresentando métodos para lidar tanto com cáleulos de rotina como com problemas aplicados. Esses métodos e estratégias de solução de problemas são introduzidos em problemas aplicados c praticados nas listas de exercícios. Muitos novos exemplos aplicados foram introduzidos nesta Nona Edição a partir de uma grande variedade de fontes, com uma atenção especial para eliminar dados obsoletos. Uma lista completa de todas as aplicações usadas no texto pode ser encontrada no Índice de Aplicações atrás da primeira e da quarta capas. memos Exemplos e Quadros de Procedimentos Taxas Relacionadas Neste livro, procuramos facilitar o entendimento de tópicos novos através da apresentação de técnicas detalhadas de solução de problemas. Estas técnicas são ilustradas através de exemplos e resumidas em quadros introduzidos em pontos estratégicos do texto. 300 unidades o regeaçõoo — xiv Prefácio Lembretes asa CAPÍTULO CINCO Estas observações, posicionadas nas margens, são usadas para chamar a atenção do aluno para conceitos importantes da álgebra e da trigonometria que estão sendo usados cm exemplos e discussões. Discussões mais detalhadas destes conceitos podem ser encontradas no Apêndice A: Revisão de Álgebra. :B EXPLORE! ões Adicione da Desivasa 187 Aeee eres ncosmes cereais meme a função 3 Em cute cr, nó Es Listas de Exercícios a As listas de exercícios foram consideradas um ponto forte das edições anteriores; a Nona Edição oferece 200 novos problemas para aumentar ainda mais a eficácia destas listas. Foram introduzidos novos problemas convencionais para que os estudantes desenvolvessem o domínio de certas habilidades básicas c novos problemas práticos para demonstrar a aplicação da matéria a situações do dia-a-dia. As respostas dos problemas ímpares de cada seção, dos exercícios de verilicação e dos problemas ímpares de revisão de cada capítulo aparecem no final do livro. 210 capisuro tres LNGRO DI ME MONÓPÓLIO de am certo prod am hricamio que têm menopção “ias vendas sea um cs donde Ag jê creu? Parse dio é mínimas? ção ciado. Pa qo semen Ensaios Todas as séries de exercícios incluem ensaios sobre questões levantadas nos exemplos e exercícios, indicados pelo símbolo , Estes ensaios testam a [nó d Fem rasas gun capacidade crítica dos estudantes e os estimulam ci ; a realizar pesquisas independentes, explorando a linguagem da matemática. some Exercícios com Calculadoras Toda lista de exercícios inclui vários problemas que devem ser resolvidos com o auxílio de uma calculadora gráfica. Estes problemas estão indicados mes pelo símbolo E rem Agradecimentos Prefácio vii Como nas edições anteriores. procuramos ouvir tanto a opinião de professores que adotam nosso livro como a dos que usam outros livros-textos em busca de possíveis melhoramentos. Nossos leitores forneceram muitas info: e muitas delas que introduzimos foram consegi sucesso deste texto se deve a essas valiosas contribui no processo Faiz Al-Rubaee, Univ George Anastassiou. University of Memphis Dan Anderson. University of lowa Don Bensy. Suffolk County Community College Neal Brand, University af North Texas Randall Brian, Vincennes University PaulW. Britt, Louisiana State University — Baton Rouge lbert Bronstein, Purdue University James F. Brooks. Eastern Kentucky University Beverly Broomell. SUNY — Sufolk Laura Cameron, University of New Mexico Rick Carey, University of Kentucky Steven Castillo, Los Angeles Valley College Deanna Caveny. College of Charleston Gerald R. Chachere. Howard University Terry Cheng, Irvine Valley College William Chin, DePaul University Lymn Cleaveland, University of Arkansas Dominic Clemence, North Carolina A&T State University Charles C. Clever. South Dakota State University Peter Colwell. Towa State University Cecil Coone, Southwest Tennessee Community College Charles Brian Crane, Emory University Raul Curto, University of lowa Tcan F. Davis. Texas Stare Universiy — San Marcos Tom Davis. Bavior University Karahi Dints, Northern Illinois University Ken Dodaro, Florida Siate University Eugene Don, Queens College Dora Douglas. Wright State University Peter Dragnev. Indiana Universiny — Purdue University, Fort Wayne Bruce Edwards, University of Florida Margaret Ebrlich, Georgia State University Maurice Ekwo, Texas Southern University George Evanovich, St Peter's College Haitao Fan, Georgetown University Klaus Fischer, George Mason University Michael Freeze, University of North Carolina — Wilmington Constantine Georgakis. DePaul University Sudhir Goel, Valdosta State University rsity of North Florida des detalhadas a respeito do conteúdo do ro e da necessidade de mudanças a direta dessas sugestões. Uma parte considerável do s e agradecemos a todas as pessoas envolvidas Ronnie Goolsby. Winthrop College Lauren Gordon, Bucknell University Angela Grant, University of Memphis John Gresser. Bowling Green State University Murli Gupta, George Washington University Doug Hardin. Vanderbilt University Jonathan Hatch, University of Delaware Celeste Hernandez, Richland College William Hintzman, San Diego State Universii Matthew Hudock, St. Philips College Joel W. Irish, University of Southern Maine Zonair Issac, Vanderbilt University Erica Jen, University of Southern California Shafiu Tibrin, Norihern Arizona University Victor Kaftal, University of Cincinnati Sheldon Kamienny, University of Southern California Georgia Katsis, DePaul University Fritz Keinert, Jowa State University Melvin Kieman, St. Peter's College Donna Krichiver, Johnson County Community College Harvey Lambert, University of Nevada Donald R. LaTorre, Clemson University Melvin Lax, California State Univers: Beach Robert Lewis, El Camino College W. Conway Link, Louisiana State University — Shreveport James Liu. James Madison University Yingjie Liu, University of Illinois — Chicago Jeanette Martin. Washington State University James E. McClure. University of Kentucky Mark McCombs, University of North Carolina Ann B. Megaw, University of Texas — Austin Fabio Milner, Purdue University Kailash Misra, North Carolina State University Mohammad Moazzam, Salisbury State University Rebecca Muller, Southeastern Louisiana University Karla Neal, Louisiana State University Cornelius Nelan, Quinnipiac University Devi Nichols, Purdue University — West Lafayette Jaynes Osterberg., Universil — Long y of Cincinnati xvili Prefácio Ray Oto, Wright Stare University Hiram Paley, University of Hlinois Virginia Parks, Georgia Perimeter College Shahla Peterman, University of Missouri — St. Louis Murray Peterson, College of Marin Lefkios Petevis, Kirkwood Community College Cyril Petras, Lord Fairfax Community College Natalie Pricbe, Rensselaer Polytechnic Institute Georgia Pyrros, University of Delaware Richard Randell, University of lowa Mohsen Razzaghi. Mississippi State Universi Nathan P. Ritchey. Foungstown State University Arthur Rosenthal, Salem State College Judith Ross. San Diego State University Robert Sacker, University of Southern California Katherine Safford, St. Perer's College Mansour Samimi, Winston-Salem State University Dolores Schafiner, University of South Dakota Thomas J. Sharp, West Georgia College Robert E. Sharpton, Miami-Dade Community College Anthony Shershin, Florida International University Minna Shore, Florida International University Ken Shores, Arkansas Tech University Jane E. Sieberth, Franklin University Marlene Sims, Kennesaw State University Brian Smith, Parkland College Nancy Smith, Kenr State University Joseph F. Stokes, Western Kentucky University Hugo Sun, Califomia State University — Fresno Keith Stroyan, University of Iowa Martin Tangora, University of Illinois — Chicago Tuong Ton-That, University of Iowa Lee Topham, North Harris Community College George Trowbridge, University of New Mexiço Dinh Van Huynh, Ohio University Maria Elena Verona, University of Southern California Kimberly Vincent, Washington State University Karen Vorwerk, Westficld State College Charles C, Votaw, Fort Hays State University Hiroko Warshauer, Southwesi Texas State University Pam Warton, Bowling Green State University Jonathan Weston-Dawkes, University of North Carolina Henry Wyzinski, Indiana University — Northwest Paul Yun, El Camino College Xiao-Dong Zhang, Florida Arlantic University Jay Zimmerman, Towson University Agradecimentos especiais aos que fizeram a revisão do texto e dos problemas, incluindo Devilyna Nichols, Cindy Trimble, Brad Davis e Jaqui Bradley. Reginald Luke e Cindy Trimble ajudaram a criar os quadros de Explore! desta edição. Agradecimentos especiais também a Cornelius Nelan e Charles Brian Crane por apresentarem muitas sugestões específicas, detalhadas, que foram particularmente úteis para a preparação desta Nona Edição. Finalmente, queremos agradecer à nossa equipe na McGraw-Hill, Liz Covello, Nancy Anselment, David Dietz, Dan Seibert e Vicki Krug por sua paciência, dedicação e apoio. INTRODUÇÃO ÀS CALCULADORAS A discussão a seguir é uma breve introdução ao uso de calculadoras gráficas. Uma calculadora gráfica típica é a TI-84 Plus, fabricada pela Texas Instruments, Inc. Esta introdução e as Atualizações do Explore! | utilizam esta calculadora com o sistema operacional* OS 2.30. O teclado da calculadora TI-84 Plus (Silver Edition) dispõe das teclas padrão para números. edição e movimento do cursor, além de teclas para operações matemáticas e científicas. plotagem de gráficos e programação. Para instruções mais / específicas, consulte o manual da sua calculadora. CPx PRE De sl Es Mind re Filaxt EnDeriwá E Emnts EBSocluer.. OC FIGURA 2 Operações Gerais Apertando a tecla MATH, por exemplo. obtemos um menu com várias opções (Figuras 1 e 2) que podem ser selecionadas digitando o número correspondente ou apertando a tecla do cursor para baixo até iluminar a opção desejada e apertando a tecla ENTER. Observe que quando o cursor chega na extremidade inferior da tela aparecem opções adicionais como 8:nDeriv( e 0:Solver. Apertando a tecla do cursor para a direita, temos acesso a outras telas (Figura 3), uma das quais apresentando o menu numérico NUM cuja primeira opção é a função valor absoluto. As outras telas apresentam o menu de números complexos (CPX) e o menu de probabilidade (PRB). Duas teclas coloridas permitem o acesso a outras funções da calculadora: a tecla verde ALPHA é | usada para digitar letras e símbolos, enquanto a tecla azul 2nd é usada para digitar os comandos de cor azul, Assim, por exemplo, apertando 2nd e depois MODE(QUIT) chegamos a uma "tela mãe" na qual podem ser escritos textos ou cálculos. Experimente escrever o texto que aparece na Figura 4. Para obter o espaço em branco, use a segiência de teclas ALPHA e 0. É possível manter a tecla ALPHA acionada pressionando 2nd ALPHA. O sinal de igualdade está disponível como primeira opção do É menu TEST(2nd MATH), como na Figura 5. Podemos usar o armazenamento na memória das vatiáveis alfanuméricas para executar cálculos numéricos. Assim, por exemplo. é possível usar a tecla STO> (logo acima da tecla ON) para criar a tela que aparece na Figura 6, em que é obtido o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo. PYTHAGORRE THEODOR LOGIC SA Em RertEi=Ci 5 É E SE > 4 der PÉREZ +BES BEs 5 ES FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6 *Q sistema operacional mais recente para a calculadora TI-84 pode ser haixado no site da Texas Instruments, http://education. ticom/ é xii Introdução às Calculadoras Pist-l dE mai riam paintersect É cju.clye ' " PE Êo dx pra pues FIGURA 22 FIGURA 23 FIGURA 24 Representação Outro recurso útil de uma calculadora gráfica é a capacidade de representar funções simbolicamente. Já Simbólica colocamos funções em Y1 e Y2 do editor de equações, Y=. Há muitas ocasiões nas quais precisamos usar estes símbolos em eguações e expressões. Suponha, por exemplo, que estamos interessados em escrever Y1(5) para calcular o valor da função flx) = xº — 1 no ponto x = 5. O que devemos fazer? O símbolo Y1 (ou Y2) pode ser encontrado pressionando a tecla VARS, movendo o cursor para a direita até Y-VARS, selecionando a opção 1:Function e escolhendo Y1 (ou Y2). Estes passos estão ilustrados nas Figuras 25 a 27. PRE cEEes Function. iParametri sEPolar.. 4 19 dE On UPE... tg EE Erg E Lva FIGURA 25 FIGURA 26 FIGURA 27 Os símbolos Y1 e Y2 podem ser manipulados em combinações funcionais, como se fossem funções fix) e g(x). Desta forma, é possível calcular somas de funções, produtos de funções e funções compostas, além de efetuar translações e outras transformações. Como exemplo, vamos plotar o gráfico de Y3=YI(X + 2). Antes, porém, temos que cancelar Y 1 e Y2, para que os gráficos correspondentes não apareçam na tela. Para isso, deslocamos o cursor para o sinal de igualdade c pressionamos ENTER, como mostra a Figura 28, na qual as funções Y1 e Y2 foram canceladas. O gráfico resultante, usando a janela padrão ZOOM e com a tecla TRACE ativada, aparece na Pigura 20. Qual é a equação dessa função? Finalmente, cancele Y3 c entre com Y4 = Y1(Y2), a função composta fle(x)). O gráfico correspondente aparece na Figura 30. Qual é a equação desta função”? Probã ça Fiotz VESTACErE) Pas MCrES u=m =3 He uesrse [tz GBSaNGE FIGURA 28 FIGURA 29 FIGURA 30 A Escolha Um dos maiores problemas na hora de criar o gráfico de uma função é escolher uma janela que permita da Janela observar todas as partcs relevantes do gráfico. A janela padrão ou decimal disponível por intermédio da tecla ZOOM pode não ser adequada. Consultar uma tabela de valores pode ser a melhor forma de ter uma idéia das dimensões mais apropriadas para a janela. Como exemplo, vamos determinar as dimensões mais adequadas de uma janela para representar o gráfico da função fx) = 15 + 30x/(º + 1), que colocamos em Y1. Em primeiro lugar, criamos uma tabela para investigar o comportamento da função nas vizinhanças da origem, Pressione 2nd WINDOW (TBL SET) e mude as especificações da tabela para obter um valor inicial x = —3 e incrementos de uma unidade, ou seja, faça TblStart = —3 e ATbI = 1, como mostra a Figura 31. Em seguida, acione TABLE (2nd GRAPH) para obter a tabela de valores que aparece na Figura 32. Introdução às Calculadoras edi p= nd Derendi emeree Ra meet eira mem p= rs FIGURA 31 FIGURA 32 TND [PisiEAS0 ne) [sds AdonorHsei) fminecdar amagedor necl=l min=-5 'Ymag=so feci=l Hres=l E [t=3E E [t=38 FIGURA 33 FIGURA 34 FIGURA 35 ) Observando a tabela de valores, temos uma boa idéia da faixa de valores da função e, portanto. das dimensões da janela com a qual devemos trabalhar. Parece que vamos escolher uma faixa de valores para y um pouco maior que [0, 30], como, por exemplo, —5 = Y = 35. Como a faixa de valores de x deve ser maior que [—3, 3], usamos uma janela decimal modificada, como —4.7 = X = 4,7, Acione as seguintes teclas: ZOOM, 4:Z Decimal e WINDOW e mude as especificações da janela para as que aparecem na Figura 33. Estas dimensões podem ser expressas como [4.7; 4.7]! por [—5. 35]1. Finalmente, acionamos GRAPH para criar o gráfico que aparece na Figura 34, onde a tecla TRACE identifica a função e a posição do cursor no gráfico, O gráfico da Figura 34 possui aparentemente apenas um ponto de máximo, situado nas vizinhanç: de x = 1. Neste caso, a tecla TRACE pode ser particularmente útil, já que a janela decimal mod: permite deslocar o cursor ao longo da curva usando incrementos decimais, como mostra a Figura 35. Como a maioria das calculadoras gráficas, a TI-84 Plus dispõe de um comando para localizar máximos e mínimos. Aperte as teclas CALC (2nd TRACE) e 4:maximum, como mostra a Figura 36. Depois de especificar o limite à esquerda (Figura 37), o limite à direita (Figura 38) e uma estimativa para a coordenada x (Figura 38), acionando a tecla ENTER sucessivamente, a calculadora determina o ponto de máximo, que é especificado como x = 0.99999881 na Figura 40. Observe que este valor pode ser arredondado para x = 1 se levarmos em conta os limites de erro da calculadora, o que corresponde ao valor exato do máximo, como será visto no Capítulo 3. ada Hi=dS+3Un/chardl E] Let Bound n=.6 28235204 FIGURA 36 FIGURA 37 FIGURA 38 si B+BÓRAiHEei) RUE EE Paura HElE BBBBBRES [i=20 =2o B4EISM FIGURA 39 FIGURA 40  xxiv Introdução às Calculadoras Modelagem Outro recurso importante de uma calculadora gráfica é a capacidade de modelar dados estatísticos, isto é, de determinar e plotar a melhor função que representa uma série de dados obtidos experimental ou teoricamente. Considere a seguinte tabela de dados para a população dos Estados Unidos (em milhões de habitantes) em diferentes décadas, de acordo com o Britannica Almanac 2003. 1940 1950 151,33 1960 17932 Ano 1970 203.30 1980 226,54 1990 2000 População 248,72 131,67 O primeiro passo consiste em armazenar estes dados em uma tabela. Aperte a tecla STAT, situada no meio do teclado, e escolha a primeira opção 1:Edit (Figura 41), o que faz aparecer na tela três das seis listas possíveis, LI a Ló, além de uma lista sem nome. Você talvez tenha de escolher a opção 5: SetUp Editor se uma-destas três listas estiver faltando. Em seguida, entre com os dados. como mosira a Figura 42. Se uma das colunas já estiver preenchida com outros dados, desloque o cursor para o alto da lista, aperte a tecla CLEAR e desloque o cursor para baixo, apagando todos os dados antigos, como foi feito para a lista L3 na Figura 43. .CALE TESTE | ju it. 1 Sorthi i EorEDi i de ClrListo i OE SetlpEdi tor t iz FIGURA 41 FIGURA 42 FIGURA 43 A segunda fase do processo de apresentação de dados consiste em criar os gráficos estatísticos. Aperte a tecla STAT PLOT (2nd Y=) para chegar a uma tela com três opções para o gráfico, como mostra à Figura 44. Escolha a primeira opção c selecione as opções que aparecem nas cinco linhas, uma a uma, da forma indicada na Figura 45. Na Linha 2, especificamos o tipo de dados, deslocando o cursor para a direita e apertando a tecla ENTER várias vezes em sucessão para escolher, na ordem, uma das seguintes opções: gráfico de pontos, gráfico de linhas, histograma, boxplot com pontos anômalos, boxplot normal, gráfico normal, Escolhemos a primeira opção, gráfico de pontos, para plotar os dados. Na linha 3, especificamos que à coordenada x (XList) corresponde à variável Ano (L'1, na tabela); na linha 4, especificamos que a coordenada y (YList) corresponde à variável População (L2, na tabela). Na linha 4, especificamos que a marca para indicar os pontos no gráfico é um pequeno quadrado. Pita PlotE E = upel ES | dy PER po mlistils plistila a Mark! E + a Flot=0PF FIGURA 44 FIGURA 45 Depois de escolher os parâmetros do gráfico, acione a tecla ZOOM e selecione a opção 9:ZoomStart, como mostra a Figura 46, para produzir o gráfico que aparece na Figura 47, lembrando que a tecla TRACE pode ser usada para identificar as coordenadas de cada ponto. Como o gráfico parece ser uma linha reta, vamos procurar a função da forma Y = «X + b que melhor sc ajusta aos dados. Este processo é chamado de regressão linear e utiliza o método dos mínimos quadrados de Gauss para determinar os coeficientes ae b da função linear que mais se aproxima dos pontos dados. Prepare uma tela limpa, aperte a tecla STAT, use o cursor para selecionar CALC e escolha a opção 4:LinReg(ax+b). como mostra a Figura 48. Acione ENTER e entre com os símbolos LI, L2 e Y1 separados por vírgulas, como mostra a Figura 49. Lembre-se de que a função Y | pode ser obtida através da sequência VARS, Y-VARS, L:Function, 1:Y1. Finalmente, aperte ENTER para obter os resultados desejados, que aparecem na Figura 50. CAPÍTULO | 1 FUNÇÕES, GRÁFICOS E LIMITES Funções Funções Lineares Limites Qu awna Modelos Funcionais O Gráfico de uma Função Limites Uniloterais e Continuidade Resumo do Capítulo Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes Verificação do Capítulo 1 Problemas de Revisão | Atualização do Explore! Para Pensar SEÇÃO 1.1. Funções Em muitas situações da vida prática, o valor de uma grandeza depende do valor de uma segunda gran- deza. Assim, por exemplo, a demanda de came pode depender do preço do produto, a poluição do ar em uma cidade pode depender do número de veículos nas ruas e o valor de uma garrafa de vinho pode depender do ano em que o vinho foi fabricado. Relações como estas muitas vezes podem ser represen- tadas matematicamente através de funções. Em termos gerais, uma função consiste em dois conjuntos e uma regra que associa os elementos de um conjunto aos elementos do outro. Suponhamos, por exemplo, que o leitor esteja interessado em determinar o efeito do preço sobre o número de unidades vendidas de um certo produto. Para estudar esta relação, é preciso conhecer o conjunto de preços admissíveis, o conjunto de vendas possíveis e uma regra para associar cada preço a um determinado número de unidades vendidas. A definição de função que vamos adotar é a seguinte: | Função E Função é uma regra que associa a cada objeto de um conjunto À um é apenas umobjeto , | de um conjunto B.O conjunto À é cliamado de domínio da função é eo conjunio B é chamado de. | | contradomínio. Na maioria das funções examinadas neste livro, o domínio e o contradomínio são conjuntos de números reais e a função é representada pela letra f ou outra letra do alfabeto. O valor que a função f associa a um número x pertencente ao domínio é representado como fx) (que se lê “f de x”) e fregiientemente representado por uma expressão matemática, como no seguinte exemplo: f)=R+A4. Pode ser interessante pensar em uma função como um “mapeamento” de números em À para números em B (Figura 1.1a), ou em uma “máquina” que transforma um número do conjunto À em um número do conjunto B usando o processo especificado pela regra funcional (Figura 1.1b). Assim, por exemplo, a função fx) = x + 4 pode ser imaginada como uma “máquina f” que recebe uma entrada x, eleva esta entrada ao quadrado e soma 4 para obter uma saída y = x" + 4. Seja como for que você encare a relação funcional, é importante lembrar que existe apenas um número no contradomínio associado a cada número do domínio (entrada). Aqui está um exemplo: 2 CAPÍTULO UM FIGURA 1.1 Interpreta- ções da função f(x). —p Saída = () Função como um mapeamento (b) Função como uma máquina 1 EXPLORE! EXEMPLO [1.1.1 Entre com fx) = xº + 4 na Determine (3) para fx) = 2 + 4. calculadora, Calcule os valores da função parax = —3, —1,0, 1e3. Prepare uma tabela de valores. Faça o mesmo para à ro | função g() = xº — 1. Explique | como se comporta a diferença | entre f6) e gb) quando x varia. Solução Observe a conveniência e simplicidade da notação funcional. No Exemplo 1.1.1, a expressão compacta fx) = xº + 4 define perfeitamente a função; além disso. podemos indicar que o número cuja função associada a 3 é 13 escrevendo simplesmente 13) = 13. Muitas vezes é conveniente representar uma relação funcional através de uma equação do tipo y = fix); neste contexto, xe y são chamadas de variáveis. Em particular, como o valor numérico de y é deter- minado pelo valor de x, y é chamada de variável dependente e x de variável independente. Observe que não há nada de especial nos símbolos x e y; a função y = xº + 4, por exemplo, também poderia ser escrita na forma s = É + 4 ou na forma w = 1? + 4. A notação funcional também pode ser usada para descrever dados tabulares. Assim, por exemplo, a Tabela 1.1 mostra as taxas escolares médias cobradas nos Estados Unidos pelos cursos superiores privados de quatro anos em intervalos de cinco anos, entre 1973 e 2003. Ano Escolar. - Terminando e “Período n - Taxas 1973 1 US$1.898 1978 2 US$2.700 1983 3 US$4.639 1988 4 US$7.048 1993 5 US$10.448 1998 5 US$13.785 TABELA 1.1 Taxas Escolares Médias E TO USSIBZ3 | dos Cursos Superiores Privados de FONTE: Annual Survey of Colleges, The College Board, New York. Quatro Anos Podemos descrever estes dados como uma função f definida pela regra: fem) = | taxas escolares médias no final do enésimo período de 5 anos Neste caso, (1) = 1.898, A(2)= 2.700...., R7) = 18.273. Observe que o domínio de f é o conjunto de números inteiros 4 = (1,2,...,7). Os Exemplos 1.1.2 e 1.1.3 ilustram o uso da notação funcional. Observe que no Exemplo 1.1.2 são usadas letras diferentes de fe x para designar a função e a variável independente. Lembrete Se a e b são dois números EXEMPLO /1.1.2 inteiros, x:> = Yx*. Nocaso Se g(1) = (t — 2)12, determine (se possível) g(27). g(5), g(2) e g(1). do Exemplo 1.1.2,a = 1 e b=2;x'* é outra forma de Solução escrever x. A função pode ser escrita na forma g(?) = ,/t — 2. (Expoentes fracionários são discutidos no Apêndice Al). Assim, 2 EXPLORE! GD w ê ra calculadora como Y1 = Entrecomgwy)= jx—2 /x—2. Na tela inicial, entre | com Vil), Vils) e Yilz) ou com Yi(27, 5, 2)), onde as | chaves são usadas para indicar uma lista de valores. O que | acontece quando você cria via Funções, Gráficos e Limites 3 em = =V3B=s5 g(5) = V VI = 1,7321 e gD=V2-2=V0-0 Entretanto, g(1) não é definida, já que gD=Vi-2=V-1 e os números negativos não possuem raízes quadradas reais. As funções são muitas vezes definidas através de duas ou mais expressões, com cada expressão definindo a função em um subconjunto do domínio. Um função definida desta forma é chamada de função definida por partes. Segue um exemplo deste tipo de função. EXEMPLO 1.1.3 Determine (- | Ff ecÃ2) para 1 : EXPLORE! fog= 171 parax< 1 Crie uma função simples 3 + 1 paraxz1 definida por partes usando as | funções de álgebra booleana da calculadora. Entre com Y1 = Solução 2X<1)+ (IX = 1) no editor de funções. Observe o gráfico 1 desia função usando a Janela Comox = —— satisfaz à desigualdade x < 1, usamos a primeira expressão para obter Decimal do ZOOM. Que valores 2 assume Y1 paraX = -2,0,1 H 1) o 1 Aos 2 ssa 2) —p>-1 32 3 Por outro lado, x = 1 e x = 2 satisfazem à desigualdade x = 1 e, portanto, para calcular f(1) e f2) usamos a segunda parte da expressão: HO =30P+1= fo =30)+1=13 4 e Determinação do Domínio m A menos que seja especificado de outra forma, se-uma expressão (ou várias expressões, como no Exemplo 1.1.3) é usada para definir uma função; o domínio def | ' &o-conjunio de todos és números para Os quais fl) é definida (como um número real). Esteéo | chamado domínio natural de f Para determinar o domínio natural de uma função, é preciso excluir, por exemplo, os números x que resultam em uma divisão por O ou na raiz quadrada de um número negativo. Este-processo é ilustrado no Exemplo 1.1.4. É | EXPLORE! Entre com f(x) = 1/x — 3) na calculadora como Y1 e observe | o gráfico usando a Janela Decimal do ZOOM. Use TRACE para examinar os valores da funçãoentreX=25eX=3,5. O que você observa em X 3? Entre com g(x) = J x-2 como Y1 e observe o gréfico usando a Janela Decimal do ZOOM. Use TRACE para examinar os valores da junção entreX=0eX=3, aintervalos de 0,1. Quando os valores de Y começam a aparecer? O que isto indica a respeito do domínio de g(9? EXEMPLO 1.1.4 Determine o domínio e o contradomínio das funções a seguir. 1 5 a. b. fo) = sm = Vr Solução a. Como a divisão por qualquer número diferente de zero é possível, a domínio de fé o conjunto de todos os números x * 3. O contradomínio de f é o conjunto de todos os números y exceto 0, já que para qualquer y O existe um x tal que y = à 3 este valór de x é dado pela expressão x = 3 + —. . agrado , b. Como os números negativos não têm uma raiz quadrada real, g(?) pode ser calculada apenas para ! — 2 = 0; assim, o domínio de g é o conjunto de todos os números para os 6 CAPÍTULO UM EXEMPLO 1.1.7 Determine a função composta fg(x)) para flu) = + Ju + le gl) =x +11. Solução Substitua u por x + 1 na expressão de flu) para obter feoD=4+1"+34+D+1 =(C+m+D+(R+9+I =2+5x+5 6 EXPLORE! Entre no editor de funções com | NOTA Invertendo os papéis de fc g na definição de função composta, é possível definir a compo- Ea) 1) =x" eg) =x + 3 como 1 | sição g(fa)); as funções Hg()) e g(Aix)) não são necessariamente iguais. No caso do Exemplo 1.1.7, e Y2, respectivamente. Cancele | por exemplo, escrevemos primeiro a seleção de Y1 e Y2. Faça . a o. y3 = Yi(v2) e Va = v2(r1). sw =w+1 c fO=P+3x+I1 Mostre graficamente (usando a o E janela padrão) e analiticamente e depois substituímos w por x? + 3x + 1 para obter (através dos valores de uma | tabela) que fg(x), representada sfO)= + 3 + D+ por Y3, e g(fx)), representada =2+3%x+2 por Y4, não são a mesma | função. Quais são as equações | que é igual a f(g(x)) =? + 5x + 5 apenas para x = —3/2 (o leitor pode verificar que isto é ver- explícitas destas duas funções dade). = compostas? O Exemplo 1.1.7 também poderia ter sido enunciado, de modo mais conciso, da seguinte forma: determine a função composta fx + 1), onde tu) = 12 + 3u + 1. O Exemplo 1.1.8 ilustra o uso desta notação compacta. 7 EXPLORE! EXEMPLO 1.1.8 Leia o Exemplo 1.1.8. Entre com 1 fl) = 3x + 1/x + 5 como Yi. Determine f(x — 1) para o) = 312 +>+5. Faça Y2 = Y1(X — 1). Construa x umatabela de valorese Y1 eY2 Solução paraX=0,1,.,6.Oquevocê o o . observa a respeito dos valores À primeira vista, o problema pode parecer confuso, já que a letra x aparece como variável deWi eva? independente na expressão que define f e também como parte da expressão x — 1. Para compreender melhor o enunciado, pode ser interessante escrever a expressão de f usando outro símbolo para a variável independente: I rD=40/+—+5 im Para determinar fx — 1), basta substituir os quadrados pela expressão x — 1: fe-n=se- pa +s = Ocasionalmente, pode ser possível “desmontar” uma função composta g(h(x)) e identificar a “função externa” g(u) e a “função interna” h(x) a partir da qual foi formada. O processo é ilustrado no Exemplo 11.9. EXEMPLO |1.1.9 Se fix) = 5/(x — 2) + 4x — 2), determine as funções g(u) e h(x) para que flx) = gúh(x)). Solução A forma da função dada é n fy==+«40y 0 Funções, Gráficos e Limites 7 onde os dois quadrados contêm a expressão x — 2. Assim, podemos fazer Atx) = g(h(x)), onde 5 + 4 e hoj=x—2 u 1 ção Externa função intema Na verdade, existe um número infinito de pares de funções g(u) e h(x) que satisfazem à condição 5 5 pedida no Exemplo 1.1.9, [Por exemplo: g(u) = ET + 4(u + 1) e A(x) = x — 3.] O par de funções u escolhido na solução deste exemplo é o mais natural e o que reflete mais claramente à estrutura da função original fx). EXEMPLO /1.1.10 o O quociente diferença é uma expressão da forma fe + h) — fe) h onde f é uma função dada de x e A é um número. O quociente diferença será usado no Capítulo 2 para definir a derivada, um dos conceitos fundamentais do cálculo. Determine o quociente diferença para a função Mx) = 2º — 3x. Solução Aplicando a definição de quociente diferença, temos: ferm-fo Ia+ n2- 3x + h— po — 3x] h h E +2h+h- 33h —pé-— 3d] . , = o a as expandindo o numerador 2xh + hê — 3h combinando os termos = Top» do numerador =2x+h-—3 dividindo porn O Exemplo 1.1.11 ilustra a aplicação de uma função composta a um problema prático. EXEMPLO 1.1.11 Os ambientalistas estimam que em uma certa cidade a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia será c(p) = 0,5p + 1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será p(?) = 10 + 0,1? mil habitantes. a. Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia em função do tempo. b. Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão? Solução a. Como a concentração de monóxido de carbono está relacionada à variável p através da equação e(p) = 0,5p +1 ea variável p está relacionada à variável t através da equação pl) = 10+ 0,17 a função composta <(p(9) = (10 + 0.12) = 0.5(10 + 0,12) =6+0,05? expressa a concentração de monóxido de carbono no ar em função da variável 1. 8 CAPÍTULO UM b. Fazendo c(p(t)) = 6,8 e explicitando 1, temos: 6+ 0,05? = 6,8 0,052 = 0,8 polê ag 0,05 t=Vi6=4 desprezando 1 = —4 Assim, à concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão daqui a 4 anos. PROBLEMAS[|1.1 Nos Problemas 1 a II, calcule os valores indicados da junção dada. 1 MO= AS HO HDD 3 g0)=4+ E 8-1), 40,80) 5 no)= VE +R+A HO), (O), (4) 7. FO = Cr FO, HS). 13) 9. FO) =1—Le— HMA HS) 3 parar< = HM f)=it+lpara-s=r=5 6), H-5),f06) vt parat>5 2. 4. 6. 8. 10. h() = (Dr + 1; (1), (0), AC) "a E o FO) = Fal q 1H), H 1) gu = (u + 12: g(0), (1), (8) 860) = 4 + |xl; g(—2), g(0), g(2) -=2x+4 parar = 1 h(x) = : RO), (1), (O), MM —3 9 Ea para 5 pI (OD =) Nos Problemas 12 a 15, determine se o domínio da função dada é o conjunto dos números reais. +1 fP+1 14. hO)=V Nos Problemas 16 a 21, determine o domínio da função dada. 16. fj=)-32+2+5 já t+ fo=2—,—3 20. h(s)= Vs —4 Nos Problemas 22 a 29, determine a função composta f(g(x)). 2. fu=i2+4go)=x—1 24. f(u) = (Qu + 102, g(1) =x 26. Hu)= > = +2-2 28. fu)=u,gw)= = x—1 13. 17, 19. PAR 23. 25. 27. g=Es fO=VI-t 2X +5 2 fy=Va+6 . t+ ft) = v9 Fa) = 31º + Du — 6, 860) fu)=U-1P+MW g)=r+1 1 flu) = as) =2—1 fu Vu+rl,gy=-a—1 Nos Problemas 30 a 33, determine o quociente diferença de f, ou seja, o vulor de feti- A +hJ- A) , 30. f)=22+3 32. foj=4-x* 31. 33. fg = 1 fo) =— X 70. Qual é o domínio de fx) = (7x — 4)" — 2x + 47 71. Qual é o domínio de fix) = (4º — 2x + x— 3? 72. Parajftx) = 2/x— 1 eg(x) com duas casas decimais. x — 12, determine g(f4,8)) 73. Parafix)= 2x — 1 egty=x— 1,2, determine Hg(2.3)) com duas casas decimais, 168) 74. CUSTO DA EDUCAÇÃO A Tabela 1.2 mostra os gas- tos fixos anuais (mensalidade, taxas escolares, casa e comida) de um estudante universitário americano, por tipo de instituição, em dólares constantes (ajustados pela inflação) de 2002 para os anos escolares de 1987-1988 a 2002-2003. Defina o índice de custo da educação (ICE) para um dado ano escolar como a razão entre o custo fi- xo total neste ano e o custo fixo total no ano escolar que terminou em 1990 tomado como referência. Assim, por exemplo, para instituições públicas de 4 anos no ano es- colar que terminou em 2000, o índice de custo da edu- cação é 8311 6.476 ICE(2000) = = 1.28 ” Funções, Gráficos e Limites a. Calcule o ICE de um estudante de uma escola privada de 4 anos para cada um dos 16 anos escolares que aparecem na tabela. Qual é o aumento médio anual do ICE no período de 156 anos para este tipo de instituição? b. Calcule o ICE para os quatro tipos de instituição no ano escolar que terminou em 2003 é discuta os resul- tados. ZE e. Escreva um parágrafo a respeito do índice de custo da É educação. Ele pode continuar aumentando indefinida- mente? O que acha que acabará por acontecer? 75. VALOR DA EDUCAÇÃO A Tabela 1.3 mostra a receita média em dólares constantes (ajustados para a inflação) de 2002 para vários níveis de instrução no caso de um ameri- cano com 18 anos de idade ou mais na década de 1991-2000. Defina o índice de valor da educação (IVE) para um dado nível de instrução em um dado ano como a razão entre a receita média nesse ano de uma pessoa com este nível de instrução e a receita média de uma pessoa com o menor nível de instrução considerado (segundo grau incompleto). Assim, por exemplo, para uma pessoa com terceiro grau completo em 1995, o índice de valor da educação é IVE(1995) = — a. Calcule o IVE para todos os anos da década de 1991 a 2000 no caso de uma pessoa com o terceiro grau incom- pleto. b. Compare o IVE do ano 2000 para os quatro níveis de instrução que exigem o segundo grau completo. Discuta os resultados. TABELA 1.2 Gastos Fixos Anuais (Mensalidade, Taxas Escolares, Casa e Comida) por Tipo de Instituição, em Dólares Constantes (Ajustados pela Inflação) de 2002 Tipo/Ano 57-88 80-89 89-90 90-91 91-92 92-03 93-94 94-95 95-96 96-97 97-98 98-99 99-00 00-01 01-02 0203 1476 1.395 1.478 11.039 11.480 12.130 6925 7.150 7.382 15.747 16.364 16.765 Pública2a 1.112 1.190 1.203 1.283 Privada 2a 10.640 11.159 10.929 11.012 Pública4a 6.382 6417 6476 6.547 Privadad4a 13.888 14.852 14.838 15.330 1.517 1.631 1.673 1.701 1.699 1.707 1.752 12.137 12.267 12.328 12.853 13.052 13.088 13.213 13.375 14.202 7.535 7.680 7.784 8.033 8214 8311 8.266 8.630 9.135 17.216 17.560 17.999 18.577 18.998 19.368 19.636 20.783 21.678 1.767 1.914 Todos às dados são médias brutas, que refletem os preços médios cobrados pelas instimições. FONTE: Annúal Survey of Colleges. The Collego Board, New York, NY. TABELA 1.3 Receita Média para Vários Níveis de Instrução em Dólares Constantes de 2002 Nível de Instrução/Ano 1996 1908 1909 2000 1991 1992 1993 1994 1995 1997 Sem segundo grau 16.582 16.344 15.889 16.545 16465 17.135 17.985 17.647 17346 18.727 Segundo grau completo 24.007 23.908 24072 24.458 25.180 25.289 25537 25937 26439 27.097 Terceiro grau incompleto 27.017 26.626 26.696 26.847 28.037 28.744 29263 30.304 30561 31212 Terceiro grau completo 41.178 41.634 43.529 44.963 43450 43505 45.150 48.131 49149 51.653 Pós-graduação completa 60.525 62080 69.145 67.770 66581 69993 70.527 69777 72841 72175 FONTE: página do U.S. Census Bureau na Internet (waw.census.govihhesâncomeistino/p28). 12 CAPÍTULO UM SEÇÃO 1.2 | O Gráfico de uma Função Os gráficos têm impacto visual e também mostram informações que podem não ser evidentes em descri- ções verbais ou algébricas. Dois gráficos típicos aparecem na Figura 1.3. O gráfico da Figura 1.3a mostra a variação da produção industrial de um certo país durante um período de quatro anos. Observe que o ponto mais alto do gráfico aparece próximo do final do terceiro ano, mostrando que a produção passou por um máximo naquela ocasião. O gráfico da Figura 1.3b mostra o aumento da população em uma situação na qual fatores ambien- tais impõem um limite superior ao tamanho da população. De acordo com o gráfico, a taxa de aumento da população aumenta a princípio e depois diminui, quando o tamanho da população se aproxima do limite. Produção À É População. A | f Ponto mais alto Limite superior ee - RR ) f 2 3 ts E o] Momento de maior produção Momento de maior taxa de aumento (a) o FIGURA 1.3 (a) Função produção. (b) Função do aumento da população. Para representar geometricamente a função y = f(x) em um gráfico, costuma-se usar um sistema de coordenadas retangulares no qual as unidades da variável independente x são marcadas no eixo hori- zontal e as unidades da variável dependente y são marcadas no eixo vertical. RR de uma Função nO gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, = | onde x é o domínio de fé y = oo ou seja, todos os pontos d da forma Ge FO). No Capítulo 3, estudaremos técnicas eficientes para desenhar gráficos de funções. No caso de muitas funções, porém, é possível fazer um esboço razoável plotando uns poucos pontos, como ilustra o Exemplo 1.2.1. EXEMPLO 1.2.1 Faça um gráfico da função fl) = 2º. Solução Comece por construir a seguinte tabela: np o o Im FIGURA 1.4 Gráfico de y =». Em seguida, plote os pontos (x, y) e ligue-os através de uma curva suave, como na Figura 1.4. Funções, Gráficos e Limites 13 NOTA É possível traçar muitas curvas diferentes passando pelos pontos do Exemplo 1.2.1. A Figura 1.5 mostr: mas possibilidade: O há garantia de que a curva que traçamos a partir dos pontos disponíveis seja o verdadeiro gráfico de f. Entretanto, quanto mais pontos plotarmos. mais o gráfico se aproximará da função real. 8 EXPLORE! ; Entre com x) = x no editor de equações como Y1 usando o estilo negrito para traçar o gráfico. Represente gt) 2porY2=Yi+2ehby=x? — 3 por Y3 = Y1 — 3. Use uma janela decimal para mostrar a relação entre os gráficos de | gb) e lx) e o de f(x). Cancele à seleção de Y2 e Y3 e defina Y4 [=ViK+Devs=ViK—a. | Explique qual é relação entre os gráficos de Y1, Y4 e Y5. t a do + se + FIGURA 1.5 Gráficos de outras funções que passam pelos pontos do Exemplo 1.2.1. O Exemplo 1.2.2 ilustra o traçado do gráfico de uma função definida por mais de uma expressão matemática, 9 EXPLORE! EXEMPLO 1.2.2 E | Certas funções que são Weg | definidas por partes podem SÊ | ser introduzidas na calculadora Faça um gráfico da função | usando funções booleanas. | Assim, por exemplo, a função | valor absoluto x paaxz0 | —x paax<0 | pode ser representada por (YVi=XK=0)+(-X(x <0) Represente a função do Exemplo 1.2.2 usando funções booleanas e plote a função com uma janela de observação apropriada. [Sugestão: Será necessário representar o intervalo O <X < 1 pela expressão booleana (0 < X)(X <W fo) 2x paralsa<l 2 fo) = paralsyi<á 3 para x =4 Solução Ao fazer uma tabela de valores para esta função, não se esqueça de usar a expressão apro- priada para cada valor de x. Usando a expressão ftx) = 2x para 0 =x < 1, a expressão flx) = 2x para l = x<4e a expressão fx) = 3 para x = 4, é possível compilar a seguinte tabela: x peladloleleleloslos m [eloa folifo fofo Em seguida, plote os pontos (x, fx) e desenhe o gráfico (Figura 1.6). Observe que os trechos para O = x<1le1l=x< 4 estão ligados pelo ponto (1, 2), mas o trecho para x = 4 está separado do resto do gráfico. [O “ponto aberto” em (4, 1/2) mostra que o gráfico se aproxima deste ponto mas o ponto não faz parte do gráfico.) 16 CAPÍTULO UM FIGURA 1.9 Função re- ceita. Lembrete 4 de Báskara: K ' 2A Uma equação do segundo. f grau da forma Axº + Bx + : C = O tem soluções reais se e apenas se Bº — 4AC = 0, caso em que as soluções são dadas pela chamada fórmula -B+JEDHO 4AC R6100 reais) Observe que também podemos determinar o valor máximo de R(x) = —x? + 60x completando o quadrado: Rj = 2 + 60x=-(º- 60) colocando 1, em evidência ) + 900 somando e subtraindo = 900 are completar o quadrado =200 + 900 = —(x — 30? + 900 3 Assim, R(30) = O + 900 = 900 e para c É 30, temos: Bl) =—(c—30P + 900<900 jágue-to-30P<0 e, portanto, a receita máxima é 900 para x = 30. Interseções de Gráficos Às vezes é necessário determinar o ponto (ou pontos) em que duas funções são iguais. Assim, por exemplo, um econcmista pode estar interessado em calcular o preço para o qual a demanda de um produto é igual à oferta ou um analista político pode querer prever quanto tempo a popularidade de um candidato da oposição levará para se igualar à do candidato da situação. Algumas destas aplicações serão discutidas na Seção 1.4. Em termos geométricos, os valores de x para os quais duas funções f(x) e g(x) são iguais são as coor- denadas x dos pontos de interseção das duas curvas. Na Figura 1.10, os gráficos de y = f(x) ey = g(x) se interceptam em dois pontos, P e Q. Para determinar algebricamente os pontos de interseção, basta igualar f(x) e g(x) e calcular o valor (ou valores) de x. O Exemplo 1.2.5 ilustra este processo. Este resultado, que é usado FIGURA 1.10 As curvas de y = f(x) e y = g(x) se interceptam nos pontos Pe Q. no Exemplo 1.2.5, também aparece no Apêndice A2. Funções, Gráficos e Limites 17 ijEexPLORE! BEMPDTZS | Leia o Exempio 1.2.5 e usea Determine todos os pontos de interseção das funções x) = 3x + 2e gw) = caleuladora para determinar todos os pontos de interseção das curvas de fix) = 3x — 2 e g(x) = x?. Determine também as raízes de g(x) — flx) = x? — 3x — 2.0 que é possível concl partir destes resultados? Solução 2 As soluções são e a=T = 056 (Os cálculos foram feitos em uma calculadora, com uma precisão de duas casas decimais.) Determinando as coordenadas y correspondentes a partir da equação y = x, verificamos que os pontos de interseção são aproximadamente (3,56; 12,67) e (—0.56: 0,31). (Em consegiiência de erros de arredon- damento. o leitor obterá valores ligeiramente diferentes para as coordenadas y se substituir os mesmos valores de x na equação y = 3x + 2.) A Figura 1.11 mostra as duas curvas e os pontos de interseção. FIGURA 1.11 Interseções | das curvas de flx) = 3x — 2 l esm=. ey (3,565 12,67) (056031) Funções Potência, Polinômios e Funções Racionais Função potência é uma função da forma fx) = x”, onde n é um número real. Assim, por exemplo, fo) =) = que podem ser escritas como fx) = x “e fu) =x q o! EXPLORE! Polinômio é uma função da forma | = e 4 neem nerd e Use a calculadora para plotar Pl) = aux + Apa mx + ão “e flx) = x” são funções potência. O mesmo se pode dizer de flx) = d ef) = Ae; 5 x 2, respectivamente. o polinômio do terceiro grau ” ss ” a a y = a a Ao) =20—xt— Bx - 8. Estime onde n é um número não-negativo e as, a;..... «1, são constantes. Se a, * 0, o número inteiro n a posição dos pontos de & o grau do polinômio. Assim, por exemplo, a função f(x) = 3xº — 6xº + 7 é um polinômio interseção com o eixo x e de quinto grau. É possível demonsirar que o gráfico de um polinômio de grau n é uma curva determina os valores exatos contínua que não cruza o eixo x mais de n vezes. A Figura 1.12 mostra os gráficos de três usando a rotina para calcular a : EEE GR diferentes polinômios do terceiro grau. FIGURA 1.12 Três poli- nômios de terceiro grau. 18 CAPÍTULO UM O quociente a de dois polinômios p(x) e q(x) é chamado de função racional. Muito exemplos gx e exercícios deste livro envolvem funções deste tipo. A Figura 1.13 mostra os gráficos de três funções racionais. Os métodos usados para traçar estes gráficos serão discutidos na Seção 3.3 do Capítulo 3. FIGURA 1.13 Gráficos de“ ] três funções racionais. ; À Ea > á : = - x na | | , O Teste da Reta Vertical É importante chamar a atenção para o fato de que nem toda curva é o gráfico de uma função (Figura 1.14). Suponha, por exemplo, que o círculo x + 3? = 5 fosse o gráfico de uma certa função y = fl). Nesse caso, como os pontos (1, 2) e (1, —2) pertencem ao círculo, teríamos fl) = 2e fl) = —2,0 que não estaria de acordo com a definição de função, segundo a qual existe um e apenas um objeto no contradomínio associado a cada objeto do domínio. Este exemplo sugere a seguinte regra geométrica para determinar se uma curva é o gráfico de uma função. Teste da Reta Vertical m Uma curva é o gráfico de uma função se e apenas se nenhuma reta | vertical intercepta a curva mais de uma vez. FIGURA 1.14 Teste da reta vertical. 1 ! ta) Gráfico de una função - (Db) Gráfico de uma curva que não. é uma função. PROBLEMAS |1.2 Nos Problemas 1 e 2, classifique cada função como um polinômio, uma função potência ou uma função racional. Se a função não é de nenhum desses tipos, classifique-a como “diferente”. La fo) = Zafto- D+ + b.fiy)=-—-37+8 b. fo) =Vx+3 e fo) = (x — Sd — o BÊ-2+1 eld= LO a a fo) o X) 45. Que janela de observação deve ser usada para obter um ; gráfico adequado da função do segundo grau E fo) = 9x — 3.600x — 358.2002 46. Que janela de observação deve ser usada para obter um 3) gráfico adequado da função do segundo grau fo) = 4º — 2.400x + 355.000? 47. a. Plote as funções y = entre os dois gráficos b. Sem fazer nenhum cálculo adicional. plote a função y = RES, e. Suponha que g(x) = fx) + c. onde c é uma constante. Qual é a relação entre os gráficos de fe g? Justifique sua resposta. Plote as funções y = 2 ey = —xº. Qual é a relação entre os dois gráficos? b. Suponha que g( —f(xo). Qual é a relação entre os gráficos de fe g? Justifique sua resposta. Plote as funções y = x? e y = (x — 2). Qual é a relação entre dois gráficos? b. Sem fazer nenhum cálculo adicional. plote a função y = (x + Ip. e. Suponha que g(x) = fix — c), onde c é uma constante. Qual é a relação entre os gráficos de fe g? Justifique sua resposta. 50. O aluguel de um certo equipamento custa R$ 90,00 mais Ge 21.00 por dia de uso. a. Faça uma tabela mostrando o número de dias durante os quais o equipamento permanece alugado e o custo do aluguel para 2 dias, 5 dias, 7 dias e 10 dias. b. Escreva uma expressão algébrica para o custo y em função do número de dias x. c. Faça um gráfico da expressão do item (b). 51. Uma fábrica de cortadores de grama determinou que um Gsi novo é capaz de montar N aparadores por dia y=x + 3. Qual é a relação 48. a. 49. a. após 1 dias de treinamento, onde 45P MO = 1+8 sP+1+8 a. Faça uma tabela mostrando o número de cortadores montados para tempos de treinamento 1 = 2 dias, 3 dias, 5 dias, 10 dias e 50 dias. b. Com base na tabela do item (a), o que você acha que acon- tece com N(t) para tempos de treinamento muito longos”? e. Use uma calculadora para plotar N(t). 52. Use uma calculadora para plotar no mesmo gráfico as funções =Á,y="-—x = de: * — 3x, com uma janela [—2, 2]1 por [—2. 5]1. Que efeito tem o segundo termo, proporcional a x, sobre a forma das curvas? Repita para as funçõesy =x),y = =x — Itey=x — 3. Ajuste as dimensões da janela para ver melhor as novas curvas. Funções, Gráficos e Limites 24 53. Faça o gráfico de Àx) = e determine os E valores de x para os quais a função é é definida. 802 +9x+ psteegai— | Bs ss z E res de x para os quais a função é definida. 54. Façao gráfico de fix) = e determine os valo- 55, Faça o gráfico de g(x) = —3xº + 7x + 4.6 determine os | pontos de interseção com o eixo x. 56. Mostre que a distância d entre dois pontos (x, y1) € (X. 35) é dada pela expressão d= Ve) +» —n) [Sugestão: Aplique o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento de reta que liga os pontos dados.) Use a expressão anterior para calcular a distância entre os seguintes pontos: a (5,-1)e(2.3) b. (2,6)e(2. —1) E (73, 32) Es) PROBLEMA 56 57, Use a fórmula da distância entre dois pontos do Problema 56 para mostrar que uma circunferência com centro no ponto (a, b) e raio R é expressa pela equação G«-a+(p—-bP=R 58, Mostre que o vértice da parábola y = 4x + Bx + C(A É 0) corresponde ao ponto para o qual x = Eê. ZA [Sugestão: Mostre primeiro que AX + Bx + € = 5) (ES 24 A dA valor máximo ou mínimo de f(x) = AX? + Bx + € corres- —B ponde ao ponto para o qual x = Sa ) Em seguida, note que o 22 CAPÍTULO UM PROBLEMA 58 Vértice =<— (ponto de máximo) | Vértice £— (ponto demínimo) + =X. o o: SEÇÃO 1.3 | Funções Lineares Em muitas situações reais, a taxa com que uma grandeza varia em relação a outra é constante. O exemplo a seguir foi tirado da economia. 13 EXPLORE! S Entre com a função de custo EXEMPLO 1.3.1 À Y1 = 50x + 1200, 300, 400) no editor de equações, usando O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo variável chaves para indicar três valores ge R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades diferentes do custo fixo. Defina . 2 E ria jênela de obseredção [O produzidas e desenhe o gráfico associado. 5]1 por [-100, 700]100 para - obervar o efeito da variação do Solução custo fixo. Seja x o número de unidades produzidas e C(x) o custo total correspondente. Nesse caso, Custo total = (custo unitário)(número de unidades) + custo fixo onde Custo fixo = 200 Assim, Cx) = 50x + 200 O gráfico desta função de custo aparece na Figura 1.15. FIGURA 1.15 Função de custo C(x) = 50x + 200. Cy 500 = C=S0+ 200 400 a 200 o 20 190 FIGURA 1.16 Inclinação Th dy Funções, Gráficos e Limites 23 No Exemplo 1.3.1, o custo total aumenta à taxa constante de R$ 50.00 por unidade; assim, o gráfico da Figura 1.15 é uma linha reta cuja ordenada aumenta de 50 unidades cada vez que a abscissa aumenta de 1. . Uma função cujo valor varia a uma taxa constante em relação à variável independente é chamada de função linear. já que o gráfico de uma função deste tipo é uma linha reta. Em termos algébricos, função linear é qualquer função da forma O) = ax + ag va onde a, e a, são constantes. Assim, por exemplo, as funções fx) = > + 2x. fu) = —5Sx e fx) = 12. são 9 lincares. As funções lineares são frequentemente escritas na forma 3=mr+»b onde m e b são constantes. Esta notação será usada na discussão a seguir. E ES e O : E == Função Linear m Função lincar é uma função que varia a uma taxa constante em relação à | variável independente. | O gráfico de-uma função linear é uma linha reta. | A equação de uma função linear pods ser escrita na forma sJ=mr+b | onde me bsão constantes. Inclinação de uma Reta Um agrimensor pode dizer que um morro com uma “elevação” de 2 metros para cada metro de “extensão” tem uma inclinação — elevação extensão 1 A inclinação do gráfico de uma função pode ser medida da mesma forma. Suponhamos, por exemplo, que os pontos (x,, 1) e (x», Y) pertençam a uma mesma reta (Figura 1.16). Entre estes pontos, x varia dex, — x, €y varia de y, — y. À inclinação da reta é dada pela razão a variação de y s2—>M Inclinação = + = 2 A variaçãodex x —x Às vezes é conveniente usar o símbolo Ay em vez de y, — y, para representar a variação de y. O símbolo Ay é chamado de “delta y”. Da mesma forma, o símbolo Ax é usado para representar a variação Xi | Inclinação de uma Reta. E À inclinação de uma reta a passando pelos a Cia ! Ye 6x, y,) é dada pela expressão E dp nene ADE O da Inclinação == — ————— | elinação E O uso desta expressão é ilustrado no Exemplo 1.3.2. 26 CAPÍTULO UM FIGURA 1.21 A reta 3y + 2% = 16 EXPLORE! Forma Ponto-Inclinação da Equação de uma Reta m A equação & y Por inspeção, a inclinação é = e a interseção com o eixo y é o ponto (0, 2). Para desenhar o gráfico de uma função linear, basta plotar dois pontos pertencentes à função e ligá-los por uma linha reta. Neste caso, já conhecemos um ponto, o ponto de interseção com o (0,2) eixo y (0, 2). Uma escolha conveniente para a coordenada x do segundo ponto é x = 3, já que a 8.0) | coordenada y correspondente é y = -8 + 2= 0. Fazendo passar uma linha reta pelos pontos + a: (0, 2) e (3, 0), obtemos o gráfico da Figura 1.21. Forma Ponto-Inclinação da Equação de uma Reta = As informações geométricas a respeito de uma reta podem ser obtidas facilmente a partir da forma inclinação-interseção, y = mx + b. Existe, porém, outra forma para a equação de uma linha reta que é mais conveniente nos casos em que as propriedades geométricas são conhecidas 8, e o objetivo é determinar a equação da reta. ME EMA | Pr Jo = mx %o) | é a equação de uma reta que passa pelo ponto (xp. Yo) € tem uma inclinação m. A forma ponto-inclinação da equação de uma reta é simplesmente a fórmula da ineli- nação em outra roupagem. Para verificar que isto é verdade, suponha que o ponto (x, y) esteja sobre uma reta que passa pelo ponto dado (x5, Y) € tem uma inclinação m. Usando os Determine os valores do ponto pontos (x, )) € (xo, Yo) para calcular a inclinação, temos a equação de interseção com o eixo y bi que devem ser colocados na 2% =m Lista 1 para que a função Y1 = = da 0,5X + L1 produza na tela da gateladiora O gráfico mostrado que pode ser colocada na forma ponto-inclinação na figura. 7-5 mx — xo) simplesmente multiplicando ambos os membros por x — xy. Os Exemplos 1.3.4 e 1.3.5 ilustram o uso da forma ponto-inclinação da equação de uma reta. EXEMPLO 1.3.4 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (5, 1) e cuja inclinação é igual a > Solução Use a expressão y — yy = (x — xp) com (xy, yo) = (5, Dem = > para obter a equação y=1=56-3) , que pode ser escrita na forma FIGURA 1.22 A retay = x/2 — 1 3 Ya, dos O gráfico associado aparece na Figura 1.22. Para praticar, resolva o problema proposto no Exemplo 1.3.4 usando a forma inclinação-interseção. Observe que a solução baseada na forma ponto-inclinação é mais rápida. No Capítulo 2, a forma ponto-inclinação será usada para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto dado. O Exemplo 1.3.5 ilustra o uso da forma ponto-inclinação para determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados. Funções, Gráficos e Limites 27 FIGURA 1.23 A reta y —4x + 10. EXEMPLO 1.3.5 Determine a equação da reta que passa pelos pontos (3. —2) e (1, 6). Solução Calcule a inclinação e use à forma ponto-inclinação com (1. 6) com o ponto dado (x,, xo) para obter v—6= —da — 1) —4y + 10 ou Y É fácil verificar que a equação resultante seria a mesma se o ponto (3, —2) tivesse sido usado como ponto dado (xp. v,). O gráfico associado aparece na Figura 1.23. €=0 onde A, Be € são constantes e A e O. a equação Ax + By + C = O pode ser NOTA A forma geral da equação de uma reta é Ax + B B não são ambas iguais a O. Se B = 0, a reta é vertical: se B escrita na forma (=*) ES) y = ms id do—— AB) B) Comparando esta equação com a forma inclin: m = —A!B e a interseção com o eixo y por b — interseção, vemos que a inclinação da reta é dada por CIB. Se 4 = 0, a teta é horizontal (a inclinação é 0). = Aplicações Práticas Se a taxa de variação de uma grandeza em relação a uma segunda grandeza é constante, a função que relaciona as duas grandezas é necessariamente lincar. A taxa de variação constante é igual à inclinação da reta correspondente. Os Exemplos 1.3.6e 1.3.7 ilustram as técnicas que podem ser usadas para deter- minar as funções lineares apropriadas neste tipo de situação. EXEMPLO 1.3.6 Desde o início do ano. o preço do pacote de macarrão nos supermercados vem subindo a uma taxa cons- tante de 2 centavos por mês. No dia primeiro de novembro, o preço era R$ 1,56. Expresse o preço do macarrão em função do tempo e determine quanto custava o pacote de macarrão no início do ano. Solução Seja x o número de meses que se passaram desde o início do ano e y o preço do pacote de macarrão (em centavos). Como a taxa de variação de y em relação a x é constante, a função que relaciona y a x é linear e O gráfico associado é uma linha reta. Como o preço y aumenta de 2 cada vez que x aumenta de 1, a inclinação da reta é igual a 2. Como o preço era 156 centavos (R$ 1,56) em primeiro de novembro, 10 meses após o início do ano, a reta deve passar pelo ponto (10, 156). Para escrever uma equação que expresse y em função de x, use a forma ponto-inclinação = J0= max — x) m=2,x,=10,y= 156 y = 156= 2x — 10) =2x+ 136 com para obter ou 9 O gráfico associado aparece na Figura 1.24. Observe que o ponto de interseção com o eixo y é (0,136), o que significa que o preço do pacote de macarrão no início do ano era R$ 1,36. 28 CAPÍTULO UM FIGURA 1.24 Preço do macarrão: y = 2x + 136. ; À | (10, 156) | (0, 136) | | | | | 10 i x 1 con/ot) (OU) | Nem sempre é fácil saber dc que forma duas grandezas estão relacionadas simplesmente exami- nando uma tabela com pares de valores, x e y, destas grandezas. Em muitos casos, pode ser útil plotar um gráfico para verificar se os pontos (x, y) seguem uma tendência clara (estão sobre uma teta, por exemplo). O exemplo a seguir é ilustrativo. TABELA 1.4 Índice de Desemprego nos EUA no Período de 1991-2000 Número Índice de de Anos Desemprego Ano após 1991 (%) 1991 0 6,8 1992 1 75 1993 2 69 1994 3 61 1995 4 5,6 1996 5 54 1997 6 4,9 1998 7 45 1999 8 42 2000 9 40 18. Bureau of Labor Statistics, Employment and Earings, Coloque os dados da Tabela 1.4 em Li e L2 do editor de dados STAT, onde L1 é o número de anos a partir de 1991 eL2 é o índice de desemprego. Depois | de colocar a calculadora no modo de gráficos de estatística usando as teclas STAT e STAT PLOT, observe o gráfico de pontos e a reta de ajuste por mínimos quadrados que aparecem na Figura 1.25. EXEMPLO 1.3.7 A Tabela 1.4 mostra o índice de desemprego nos Estados Unidos no período de 1991-2000. Faça um gráfico com tempo (medido em anos a partir de 1991) no eixo x e o índice de desem- prego no eixo y. Os pontos seguem uma tendência clara? Com base nos dados disponíveis, qual você calcula que tenha sido o índice de desemprego no ano de 2005? Solução A Figura 1.25 mostra um gráfico traçado com base nos dados da Tabela 1.4. Observe que, com exceção do ponto inicial (0; 6,8), a variação é aproximadamente linear. Isto não é suficiente para concluirmos que o índice de desemprego varia linearmente com o tempo, mas o gráfico sugere que podemos obter informações úteis determinando a linha reta que “melhor se ajusta” aos dados experimentais de acordo com algum critério. No “método dos mínimos quadrados”, um dos mais usados, a reta é escolhida para que a soma dos quadrados das distâncias verti- cais entre os pontos da reta e os pontos experimentais seja a menor possível. O método dos mínimos quadrados, que será discutido com detalhes na Seção 7.4 do Capítulo 7, está dispo- nível na maioria das calculadoras científicas. Aplicando o método aos dados deste exemplos, f Es | | À | | 10 be 4 pre Reta de mínimos quadrados | Rc Y= -0,380x+ 7,338 8 | É: | Êo | Rus | é | Sá , NE UAS Ta pa , o Sm mena(tdo 19) | mo | í o | É Era i ! l L t | 1 L 1 to Dad x) 0 [und guegi o STS ge DA 2 13 1415 | k “Anos após 1991 2005 FIGURA 1.25 Índice de desemprego nos Estados Unidos no período de 1991-2000.  Funções, Gráficos e Limites 31 ): 10. > Nos Problemas 11 a 18, determine a inclinação e as interseções da reta cuja equação é dada e desenhe o gráfico associado. mM. x=3 12. 13. y=3% 14, 15. 3x+2y=6 16. x y df ES 18. =1 3 5 Nos Problemas 19 a 34, escreva uma equação para a reta com as propriedades indicadas. 19. Passando pelo ponto (2, 0) com inclinação 1 37. MATRÍCULA Os alunos de uma universidade estadual 20. Passando pelo ponto (—1, 2) com inclinação 2 são aconselhados a fazer uma pré-matrícula pelo correio nos 3 dois primeiros meses do ano; os que não fizeram a pré-matrí- 21. Passando pelo ponto (5, —2) com inclinação a cula devem se matricular pessoalmente em março. À secre- Em a 2 taria pode atender a 35 alunos por hora durante o período 22. Passando pelo ponto (0. 0) com inclinação 5. de matrícula. Quatro horas depois de aberto o período de 23. Passando pelo ponto (2, 5) e paralelo ao SAO, matrícula, com a secretaria funcionando com sua capacidade 24. Passando pelo ponto (2. 5) c paralelo ao eixo y máxima, 360 alunos (incluindo os que fizeram pré-matrí- 25. Passando pelos pontos (1, 0) e (0, 1). cula) já estavam matriculados. 26. Passando pelos pontos (2, 5) e (1, —2) a. Expresse o número de alunos matriculados em função 1 21 do tempo e desenhe o gráfico associado. 7. Pass s |-=,1le|5,— : Sr e ds PaSSanO pelos pontos ( 5 ) (5 3) b. Quantos alunos se matricularam nas primeiras três horas 28. Passando pelos pontos (—2, 3) e (0, 5) do período de matrícula”? 29, Passando pelos pontos (1, 5) e (3.5) e. Quantos alunos fizeram pré-matrícula? 30. Passando pelos pontos (1, 5) e (1. —4) 38. TAXA DE FREQUÊNCIA A taxa cobrada por um clube 31. Passando pelo ponto (4, 1) e paralelo à reta 2x + y = 3 de natação é R$ 250,00 para a temporada de verão, que dura 32, Passando pelo ponto (—2, 3) c paralelo à retax + 3y = 5 12 semanas. Caso alguém se inscreva depois de iniciada a 33, Passando pelo ponto (3, 5) e perpendicular à retax + y = 4 temporada, a taxa é cobrada pro rata, ou seja, é reduzida 34. P aspas I dicular à Sac linearmente. « Pastândo pelo ponto “a À | e perpendicnlandireta du: a. Expresse a taxa em função do número de semanas trans- 5y=3 corridas após iniciada a temporada de verão e desenhe o 35. CUSTO DE FABRICAÇÃO O custo total de fabricação gráfico associado. de um produto é composto por um custo fixo de R$ 5.000,00 b. Determine o valor da taxa cobrada 5 semanas após ini- e um custo variável de RS 60,00 por unidade. Expresse o ciada a temporada. custo total em função do número de unidades produzidase 39. DEPRECIAÇÃO LINEAR Um médico possui R$ desenhe o gráfico associado. 1.500,00 em livros de medicina que, para fins de imposto, 36. ALUGUEL DE AUTOMÓVEIS Uma certa locadora de softem uma depreciação linear que reduz seu valor a zero automóveis cobra R$ 35,00 por dia mais 55 centavos por após um período de 10 anos. Expresse o valor dos livros em quilômetro rodado. função do tempo e desenhe o gráfico associado. a. Expresse o custo para alugar um carro nesta locadora 40. DEPRECIAÇÃO LINEAR Um industrial compra R$ por 1 dia em função do número de quilômetros rodados 20.000,00 em equipamentos que sofrem uma depreciação « desenhe o gráfico associado. linear que reduz seu valor a R$ 1.000,00 após 10 anos. b. Quanto custa alugar o carro por 1 dia para uma viagem a. Expresse o valor dos equipamentos em função do tempo de 50 quilômetros? e desenhe o gráfico associado. e. Quantos quilômetros 0 carro rodou se o preço do aluguel b. Determine o valor dos equipamentos após 4 anos. por 1 dia foi R$ 72.00? E e. Após quanto tempo os equipamentos perdem totalmente 32 4 42. 44 45. CAPÍTULO UM o valor? Para o industrial talvez não scja interessante esperar tanto tempo para se desfazer dos equipamentos. Discuta os fatores que o industrial poderia levar em conta para decidir qual a melhor ocasião para vender os equi- pamentos. CONSUMO DE ÁGUA Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa cons- tante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros de água; no dia 21, está apenas com 164 milhões de litros. a. Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e desenhe o gráfico associado. b. Quanta água havia no reservatório no dia 8? CUSTO DE IMPRESSÃO Uma editora estima que o custo para imprimir entre 1.000 e 10,000 exemplares de um certo livro didático é R$ 50,00 por exemplar; entre 10.001 e 20.000, o custo é R$ 40,00 por exemplar; entre 20.001 e 50.000, o custo é R$ 35,00 por exemplar. a. Que função F(N) fornece o custo total para imprimir N exemplares do livro para 1.000 = N = 50.000? b. Desenhe o gráfico da função F(N) do item (a). . PREÇOS DEAÇÕES O preço da oferta pública inicial (OPI) das ações de uma certa empresa foi R$ 10,00 por ação e a ação é negociada 24 horas por dia. Desenhe o gráfico do preço da ação durante um período de 2 anos para os seguintes casos: a. O preço da ação aumenta a uma taxa constante durante os primeiros 18 meses até chegar a R$ 50,00 e diminui a uma taxa constante durante os 6 meses seguintes até «, chegar a R$ 25,00. b. O preço aumenta a uma taxa constante durante 2 meses até chegar a R$ 15,00, diminui a uma taxa constante durante os 9 meses seguintes até chegar a R$ 8,00 e torna a aumentar a uma taxa constante até chegar a R$ 20,00. e. O preço aumenta a uma taxa constante durante o primeiro ano até chegar à R$ 60,00. Um escândalo contábil faz com que o preço da ação caia instantaneamente para R$ 25,00 e o preço continua a cair durante os 3 meses seguintes, a uma taxa constante, até chegar a R$ 5,00. Em seguida, aumenta, a uma taxa constante, até chegar aR$ 12,00 no final do período de 2 anos. UMA FÁBULA ANTIGA Na fábula de Esopo sobre a lebre e a tartaruga, a tartaruga se desloca com velocidade constante do início ao final da corrida. A lebre começa correndo muito mais depressa que a tartaruga, mas pára no meio da prova para tirar uma soneca. Quando a lebre acorda, vê que a tartaruga está muito próxima da linha de chegada e corre a toda velocidade, tentando alcançá-la, mas perde por uma pequena diferença. Plote no mesmo gráfico as distân- cias percorridas pela lebre e pela tartaruga em função do tempo, da linha de partida até a linha de chegada. CRESCIMENTO DE UMA CRIANÇA Nos Estados Unidos, a altura média H em centímetros de uma criança de A anos de idade é dada pela função H = 6,54 + 50. Use esta expressão para responder às perguntas que se seguem. a. Qual é a altura média de uma criança de 7 anos? b. Qual é a idade provável de uma criança com uma altura de 150 em? e. Qual é a altura média de um recém-nascido? Esta resposta parece razoável? d. Qual é a altura média de um homem de 20 anos? Esta resposta parece razoável? 46. TRANSPORTE SOLIDÁRIO Para estimular os motoristas a adotarem o transporte solidário, o departamento de trânsito de uma cidade decidiu oferecer um desconto nos pedágios das pontes para os veículos que estiverem transportando qua- tro ou mais pessoas. No primeiro dia em que o plano entrou em vigor, há 30 dias, 157 veículos fizeram jus ao desconto. Desde então, o número de descontos vem aumentando a uma taxa constante; hoje, 247 veículos foram beneficiados. a. Expresse o número de veículos que fizeram jus ao descon- to em função do tempo e desenhe o gráfico associado. b. Se a tendência continuar, quantos veículos farão jus ao desconto daqui a 14 dias? 47. CONVERSÃO DA TEMPERATURA à. A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus Celsius. Use o fato de que 0ºC = 32ºF e 100ºC = 212ºF para escrever uma equação para esta função linear. b. Use a função obtida no item (a) para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit. «. Converta 68 graus Fahrenheit em graus Celsius. d, Que temperatura é a mesma tanto em graus Celsius quanto em Fahrenheit? 48. ENTOMOLOGIA Foi observado que o número de “ericris” que um grilo faz por minuto depende da tempera- tura. Os resultados experimentais são os seguintes (para T<3ºC, os grilos permanecem silenciosos): Número de o |s [10 | 20/60. Temperaturar(o) la la ls Tas a, Expresse T como uma função lincar de C. b. Quantos “cricris” faz um grilo por minuto quando a tempe- ratura ambiente é 25ºC? Se um grilo faz 37 “cricris” em 30 segundos, qual é a temperatura ambiente? 49. VALORIZAÇÃO DE UM BEM O valor de um certo livro raro duplica a cada 10 anos. Em 1900, o livro valia 100 dólares. a. Quanto valia o livro em 19307 Em 19907? No ano 20002 b. O valor do livro é uma função linear do tempo? Res- ponda a esta pergunta interpretando um gráfico apro- priado. 50. POLUIÇÃO DO AR Em algumas regiões do mundo, observou-se que o número de mortes N por semana está relacionado à concentração x de dióxido de enxofre no ar. Suponha que tenha havido 97 mortes quando x = 100 mg/ me 110 mortes quando x = 500 mg/mº. a. Qual é a relação funcional entre Ne x? b. Use a função obtida no item (a) para determinar o número de mortes por semana quando x = 300 mg/m”. Para que concentração de dióxido de enxofre ocorrem 100 mortes por semana? e e. Leia à respeito dos efeitos da poluição sobre a taxa de mortalidade.” Escreva um ensaio de pelo menos dez linhas a respeito do assunto. *Os seguintes artigos poderão servir como ponto de partida: D. W. Dockery, 1. Schwartz and J. D. Spengler, “air Pollution and Daily Mortality: Associations with Particulates and Acid Aerosols)” Environ. Res. VOL 59, 1992, pp. 362-373; Y. 8. Kim, “Air Pollution, Climate, Sociveconomics Status and Total Mortality in lhe United States)” Sci, Total Environ., Vol. 42, 1985, pp. 245-256. 51. 53. 54. ee 55. 56. EXAME VESTIBULAR As notas da prova de matemá- tica do exame vestibular de uma universidade diminuíram a uma taxa constante durante vários anos, Em 1995, a nota média era 575; em 2000, era 545. a. Expresse a nota média em função do tempo. b. Se a tendência continuou, qual foi a nota média no ano 2005? e. Se a tendência continuou, em que ano a nota média foi 527 . NUTRIÇÃO Cada 30 g do Alimento I contém 3 g de carboidratos e 2 g de proteínas; cada 30 g do Alimento IL contém 5 g de carboidratos e 3 g de proteínas. Quando x g do Alimento I são misturados com y g do Alimento II, o alimento composto contém exatamente 73 g de carboidratos e 46 g de proteínas. a. Explique por que existem 3x + 5y g de carboidratos no alimento composto e por que devemos ter 3x + 5y = 73. Escreva uma equação semelhante para o teor de proteínas do alimento composto. Desenhe os gráficos das duas equações. b. Quais são as coordenadas do ponto de interseção dos dois gráficos do item (a)? O que significa este ponto de interseção? CONTABILIDADE Para fins fiscais, o valor nominal de certos ativos é calculado depreciando linearmente o valor original do bem ao longo de um certo período de tempo. Suponha que um bem com um valor inicial de V reais seja depreciado linearmente durante um período de N anos e no final deste período tenha um valor residual de S reais. a. Expresse o valor nominal B do ativo 1 anos após o início da depreciação como uma função linear de 1. [Sugestão: Observe que B = Vparaz=0eB=Sparat=N] b. Suponha que um ativo de R$ 50.000,00 em equipa- mentos de escritório seja depreciado linearmente durante um período de 5 anos e que o valor residual seja R$ 18.000,00. Qual é o valor nominal dos equipamentos após três anos? EFEITOS DO ÁLCOOL O álcool etílico é metabolizado pelo corpo humano a uma taxa constante (independente da concentração). Suponha que esta taxa seja de 10 mL por hora. a. Quanto tempo é necessário para eliminar os efeitos de um litro de cerveja contendo 3% de álcool etílico? b. Expresse o tempo T necessário para metabolizar o álcool etílico em função da quantidade A de álcool consu- mida. Discuta de que forma a função obtida no item (b) pode ser usada para determinar um limite razoável para a quan- tidade de álcool ingerida em uma festa. Use uma calculadora para plotar as retas y 144 30 = “as + 229 no mesmo gráfico, com uma janela [—10, 10J1 por [—-10, 10]1. As duas retas são paralelas? 5 63 Use uma calculadora para plotar as funções y = 20 19 139 346 ey= cos” = a no mesmo gráfico, começando com uma janela [—10. 10]1 por [—10, 10]1. Ajuste a janela até que as duas retas sejam visíveis. Elas são paralelas? E maisRS Funções, Gráficos e Limites 33 ALUGUEL DE EQUIPAMENTOS Uma empresa aluga uma máquina industrial por uma quantia fixa de R$ 60,00 0 por hora de uso. a. Faça uma tabela mostrando o número de horas de uso da máquina e o preço correspondente do aluguel para 2 horas, 5 horas, 10 horas e t horas. b. Escreva uma expressão para o custo y em função do número de horas de uso í. Suponha que o tempo t seja medido em horas e frações decimais de hora. (Em outras palavras, suponha que É seja um número real positivo.) e. Faça um gráfico da expressão obtida no item (b). d. Use a expressão do item (b) para determinar, com precisão de centésimos de hora, à tempo de uso do equipamento, se a quantia cobrada pelo aluguel da máquina foi R$ 216,25. 58. ASTRONOMIA A tabela a seguir mostra a duração do ano (em anos da Terra), Z. para todos os planetas do sistema solar, juntamente com a distância média do Sol, D, em unidades astronômicas (1 unidade astronômica é a distância média entre a Terra e 0 Sol). Duração do Ano, L Planeta Distância Média do Sol, D Mercúrio 0,388 0,241 Vênus 0,722 0.615 Terra 1,000 1,000 Marte 3 1,881 Júpiter 11,862 Saturno 29457 Urano 84,013 Netuno 30.079 164,783 Plutão 39.463 248,420 FONTE: Kendrick Frazier, The Solar System, Alexanária, VA: Time/Life Books, 1985, p.3r. a. Plote os pontos (D, L) em um gráfico. Parece haver uma relação linear entre as duas grandezas? É D' resultado expressando L em função de D. b. Calcule a razão para todos os planetas. Interprete o £ e. O que o leitor descobriu no item (b) é uma das leis de Kepler, que recebeu este nome em homenagem ao astrô- nomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Leia um artigo sobre Kepler e escreva a respeito do papel que ele desempenhou na história da ciência. 59. ÍNDICE DE DESEMPREGO Na solução do Exemplo £E 1.3.7, vimos que a reta que melhor se ajusta aos dados disponíveis, usando o critério dos mínimos quadrados, é descrita pela equação y = —0,389x + 7.338. Interprete a inclinação desta reta em termos da tendência do índice de desemprego. Os dados do exemplo vão apenas até o ano 2000. Use a Internet para descobrir qual foi o índice de desemprego nos Estados Unidos nos anos subsegiientes. Estes novos resultados estão de acordo com as estimativas obtidas a partir da reta de mínimos quadrados? Justifique sua resposta. 60. RETAS PARALELAS Mostre que duas retas não-verticais são paralelas se e apenas se tiverem a mesma inclinação. 36 CAPÍTULO UM 19 g EXPLORE! Entre com fx) = x + 10.000/x no editor de equações e use o comando de tabela (TBLSET) para procurar um mínimo de Fox). Por exemplo: fixe o valor inicial de x (TbIStart) em zero e escolha incrementos (ATbI) de 100, 50 e 10. Com base no resultado desta investigação preliminar, escolha uma janela apropriada para resolver o Exemplo 1.4.1. FIGURA 1,31 Lata cilíndrica, 20 EXPLORE! É | Usando o comando de tabelas RES! (TBLSET) da calculadora, escolha uma janela apropriada para plotar a função C(n) = 6mr* + 967/r. Em seguida, usando | TRACE, ZOOM ou uma rotina para determinar mínimos, encontre o raio para o qual o custo é mínimo no Exemplo 1.4.2. Quais são as dimensões da lata neste caso? Usando os comandos TRACE e ZOOM, determine o raio para o qual o eusto é R$ 3,00. Existe um raio para o qual o custo é R$ 2,00? 300 | 290 + ' | 280 7 | ei 260 + Comprimento mínimo. — rt x 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2 FIGURA 1.30 Comprimento da cerca: Fl) = x + 10.000/x. EXEMPLO 1.4.2 Uma lata cilíndrica deve ter uma capacidade (volume) de 247 centímeiros cúbicos. O preço do imaterial usado para o fundo e a tampa da lata é 3 centavos por centímeiro quadrado e o preço do material usado para 0 lado da lata é 2 centavos por centímetro quadrado. Expresse o custo do material necessário para construir uma lata em função do raio. Solução Seja r o raio da tampa e do fundo, A a altura da lata e C o custo (em centavos) do material neces- sário para construir uma lata. Nesse caso, temos: € = custo da tampa + custo do fundo + custo do lado onde, para cada componente do custo, Custo = (custo por centímetro quadrado)(número de centímetros quadrados) = (custo por centímetro quadrado)(área) A área da tampa (e do fundo) é 7º e o preço por centímetro quadrado do material usado na tampa e no fundo é 3 centavos. Assim, temos: Custo da tampa = 37? e Custo do fundo = 3wr? Para determinar a área do lado da lata, imagine que a tampa e o fundo tenham sido retirados eo lado aberto para formar um retângulo, como na Figura 1.31, A altura do retângulo é altura hdalata: o comprimento é a circunferência 27 da tampa (ou do fundo) da lata. Assim, a área do retângulo (e, portanto, do lado da lata) é 2arh centímetros quadrados. Como o preço do material usado no lado da lata é 2 centavos por centímetro quadrado, temos: Custo do lado = 2U2mrh) = Somando todos os custos, obtemos: C=3m? + 3m? + 4h = 6m7 + 4mh Como o objetivo é expressar o custo em função apenas do raio, precisamos encontrar um meio de expressar a altura 4 em função de ». Para isto, usamos o fato de que O volume V = rh deve ser igual a 247. Igualando ah a 247 e explicitando h, temos: za =247 ou FIGURA 1.32 Função de custo: (7) = 677 + 96gir. Funções, Gráficos e Limites 37 Agora podemos substituir h por este valor na expressão de C: A Figura 1.32 mostra um gráfico desta função para 0.4 < x < 3.2. Observe que o custo é mínimo para um certo valor de r. No Capítulo 3. vamos aprender como calcular este valor de » usando métodos matemáticos, eum g ê papo qereniçro E | 200 + s [a : | Do t ee Custo mínimo EXEMPLO 1.4.3 Durante uma seca, os moradores do condado de Marin. na Califórnia, tiveram que enfrentar uma séria escassez de água. Para combater 0 desperdício, as autoridades aumentaram drasticamente as tarifas. O preço para uma família de quatro pessoas passou a ser de 1.22 dólares por 100 pés cúbicos de água para os primeiros 1.200 pés cúbicos, 10 dólares por 100 pés cúbicos para os 1.200 pés cúbicos seguintes e 50 dólares por 100 pés cúbicos para consumos maiores. Expresse o valor da conta de água para uma família de quatro pessoas em função do consumo de água em centenas de pés cúbicos. Solução Seja x o número de centenas de pés cúbicos de água consumidos pela família durante o mês e Clx) a conta correspondente em dólares. Se O = x =< 12, o custo é simplesmente o custo por centena de pés cúbicos multiplicado pelo consumo em centenas de pés cúbicos: Cla) = 1,22x Sel2<x= 24, as primeiras 12 centenas de pés cúbicos custarão 1,22 dólares c portanto o custo total destas 12 unidades scrá 1,22(12) = 14,64 dólares. Cada uma das x — 12 unidades restantes custará 10 dólares e, portanto. o custo total destas unidades será 10(x — 12) dólares. O custo das x unidades será, portanto, Clx) = 14,64 + 10(x — 12) = 10x — 105,36 Sex > 24, o custo das primeiras 12 unidades será 1,22(12) = 14,64 dólares, o custo das 12 unidades seguintes será 10(12) = 120 dólares e o custo das x — 24 unidades restantes será 50(x — 24) dólares. O custo total das x unidades será, portanto, C(x) = 14,64 + 120 + 50(x — 24) = 50x — 1.065,36 Combinando as três expressões, temos: 1,22% paraQ=<r=12 C(x)=410x— 105,36 parall<x=24 [50x — 1.065,36 parar > 24 38 CAPÍTULO UM FIGURA 1.33 Custo da água no condado de Ma- rin. A Figura 1.33 mostra o gráfico desta função. Observe que o gráfico é formado por três segmentos de reta, cada um mais inclinado que o anterior. Que aspecto da situação se reflete na inclinação crescente dos segmentos de reta? Proporcionalidade Na formulação de modelos matemáticos muitas vezes é necessário levar em conta relações de propor- cionalidade. Três dos tipos mais importantes de proporcionalidade são definidos da seguinte forma: Proporcionalidade = Dizemos que uma grandeza Q é diretamente proporcional ax se O = kx. onde k é uma constante inversamente proporcional a x se Q — klx, onde k é uma constante : proporeional ao produto xy se O = kxv, onde k é uma constante Segue um exemplo extraído da biologia. FIGURA 1.34 Gráfico da função Rp) = kp(b — p). EXEMPLO 1.4.4 Quando fatores ambientais impõem um limite superior ao número de indivíduos, uma população cresce a uma taxa que é proporcional ao produto do número de indivíduos pela diferença entre o limite superior e o número de indivíduos. Expresse a taxa de aumento da população em função do tamanho da população. Solução Seja p o tamanho da população, R(p) a taxa de aumento correspondente e b o limite superior imposto à população pelo ambiente. Nesse caso, Diferença entre à população e o limite superior = b — p e, portanto, R(p) = kp(b — p) onde k é uma constante. A Figura 1.34 mostra um gráfico de R(p). No Capítulo 3. vamos aprender como calcular o valor de p para o qual esta função é máxima usando métodos matemáticos. Modelagem na Economia e nas Finanças Os modelos econômicos c financeiros muitas vezes envolvem questões como fixação de preços, controle de custos e otimização de lucros. Vários destes modelos serão analisados no Capítulo 3. No exemplo a seguir, o lucro é expresso em função do preço de venda do produto. Funções, Gráficos e Limites 41 Solução a. O equilíbrio do mercado é atingido quando = Dix) +14=174-6 2+6y—160=0 10%Xx + 16)=0 x=10 ou = =16 Como apenas os valores positivos do nível de produção x têm significado físico, desprezamos a solução x = — 16 e concluímos que o equilíbrio acontece para x = x, = 10. O preço de equilíbrio pode ser obtido fazendo x = 10 na função oferta ou na função demanda. Temos: pe = D(i0) = 174 — 6(10) = 114 b. Como se pode ver na Figura 1.37, a curva de oferta é uma parábola e a curva de demanda é uma linha Icta. Observe que a oferta é zero até o preço unitário atingir o valor de R$ 14,00 e que a demanda é 29 unidades quando o preço unitário é O. Para 0 < x < 10, existe uma escassez do produto, já que a curva de oferta está abaixo da curva de demanda. A curva de oferta intercepta a curva de demanda no ponto de equilíbrio (10, 114); para 10 < x = 29, existe um excesso do produto. FIGURA 1.37 Curvas de - = ” oferta e demanda e ponto de equilíbrio. Excesso Escassez a (unidades) Análise de Equilíbrio As interseções de curvas surgem naturalmente no campo das finanças por causa da análise de equilí- brio. Em uma situação típica, um fabricante está interessado em saber quantas unidades de um certo FIGURA 1.38 Curvas de custo e receita. com um Receita: y= RG) ponto de equilíbrio. - pra Casto:y= Ca) | Ponto de | equilíbrio 42 CAPÍTULO UM 23 EXPLORE! produto terá que vender para que a receita total seja igual ao custo total. Suponha que x seja o número de unidades fabricadas e vendidas e C(x) e R(x) sejam as funções que representam o custo total e a receita total. respectivamente. A Figura 1.38 mostra um par típico de curvas de custo e receita. Por causa dos custos fixos. a curva de custo está inicialmente acima da curva de receita; assim. para um baixo nível de produção. o fabricante tem prejuízo. enquanto para um alto nível de produção, a receita total ultrapassa o custo total e o fabricante tem lucro. O ponto em que as duas curvas se inter- ceptam é chamado de ponto de equilíbrio porque é neste ponto que o custo e a receita se equilibram e o fabricante não tem lucro nem prejuízo. Segue um exemplo. EXEMPLO 1.4.7 Um fabricante pretende vender um certo produto por R$ 110,00 a unidade. O custo total é constituído por um custo fixo de R$ 7.500,00 e um custo de produção de R$ 60,00 por unidade. a. Quantas unidades o fabricante deve vender para não ter prejuízo? b. Qual é o lucro ou prejuízo do fabricante quando 100 unidades são vendidas? 1.4.7, entre com as funções Cfy) 8 Usando os dados do Exemplo e. Quantas unidades o fabricante deve vender para ter um lucro de R$ 1.250.007 7.500 + 60x em Y1 e (gy | = 110x em Y2, Usando uma | janela de observação [0, 250]50 | por [-1.000, 20.000]5.000 com Solução Sc x é o número de unidades fabricadas e vendidas. a receita total é dada por R(x) = 110xe | TRACE eZ00M ouumarotina O custo total por C(x) = 7.500 + 60x. | para determinar interseções, confirme a posição do ponto de equilíbrio. FIGURA 1.39 Curvas de receita R(x) = 110x, e custo Cla) = 7.500 + 60x. a. Para determinar o ponto de equilíbrio. fazemos R(x) igual a C(x) e explicitamos x: 10x = 7.500 + 60x 50x = 7.500 e portanto x= 150 Assim, o fabricante tem que vender 150 unidades para não ter prejuízo (veja Figura 1.39). 16.500 (150; 16.500) b. O lucro P(x) é igual à diferença entre a receita e o custo. Assim, P(x) = RO) — C(x) = 10x — (7.500 + 60x) = 50x — 7.500 O lucro com a venda de 100 unidades é P(100) = 50(100) — 7.500 = —2.500 O sinal negativo indica um lucro negativo (ou seja. um prejuízo), o que já era esperado, já que 100 unidades é um valor menor que o valor de equilíbrio, 150 unidades. Isto significa que o fabricante terá um prejuízo de R$ 2.500,00 se vender apenas 100 unidades. Funções, Gráficos e Limites 43 e. Para determinar o número de unidades que devem ser vendidas para obter um lucro de R$ 1.250,00. basta fazer P(x) = 1.250 e explicitar x. Temos: P(x) = 1.250 50x — 7.500 = 1.250 50x — 8.750 8.750 ese Xx= = 175 50 £. portanto, será necessário vender 175 unidades para obter o lucro estipulado. O Exemplo 1.4.8 mostra como a análise de equilíbrio pode ser usada como um instrumento para tomada de decisões. 24 EXPLORE! Leia o Exemplo 1.4.8. Entre EXEMPLO 1.4.8 É mcols 0,6xemY1 £ com Gol) = 30 + 0,5x em Uma certa locadora de automóveis cobra R$ 25,00 mais R$ 0,60 por quilômetro rodado. Y2 no editor de equações da Outra locadora cobra R$ 30,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Qual das duas ofertas calculadora. Use uma janela [-25, 250]25 por [-10,125]50 é a melhor? de modo a determinar que faixa | de distâncias é melhor usar Solução | cada locadora. No caso de uma a ais : emo | distância percorrida maior que A resposta depende do número de quilômetros rodados. Para viagens curtas, é mais barato | 100 quilômetros, seria melhor alugar um carro na primeira locadora, mas para viagens longas é mais barato alugar um carro | tecorrer à locadora cuja função na segunda. A análise de equilíbrio pode ser usada para determinar o número de quilômetros frstatel é Gob) ou Cab) para o qual o aluguel cobrado pelas duas locadoras é o mesmo. Ra Suponha que o carro rode x quilômetros. Nesse caso, a primeira locadora cobrará C (x) = 25 + 0,60x reais e a segunda cobrará C,(x) = 30 + 0,50x reais. Igualando as duas expressões e explicitando x, obtemos: 25 + 0,60x = 30 + 0,50x e portanto Ox = ou Isto significa que o aluguel cobrado pelas duas locadoras será o mesmo se o carro rodar 50 quilôme- tros. Para distâncias menores, é melhor alugar o carro na primeira locadora: para distâncias maiores, é melhor alugar o carro na segunda. A situação está ilustrada na Figura 1.40. FIGURA 1.40 Custos de aluguel de carros em duas locadoras. (ieais) 1=Cit) Ponto de equilíbrio += CG) ER E x (quilômetros) | Escolha a primeira so Escolhaa segunda locadora locadora 46 CAPÍTULO UM 33 35, 36. 37. 38 39, de cada canto c dobrando as abas resultantes para formar os lados. Expresse o volume da caixa em função do lado x dos quadrados removidos. Desenhe o gráfico associado e estime o valor de x para o qual o volume da caixa é máximo. DIAGRAMAÇÃO DE UM CARTAZ Um cartaz de forma retangular contém 25 centímetros quadrados de texto cercado por margens de 2 centímetros de cada lado e 4 centí- metros em cima e embaixo. Expresse a área total do cartaz em função da largura da parte impressa. VENDAS A VAREJO Ujima livraria pode encomendar um certo livro a uma editora por um preço de R$ 3,00 o exemplar. A livraria está vendendo o livro a R$ 15,00 o exemplar e por este preço tem vendido 200 exemplares por mês. A livraria pretende reduzir o preço para aumentar as vendas e calcula que, para cada R$ 1,00 de redução do preço, conseguirá vender mais 20 exemplares por mês. Expresse o lucro mensal da livraria com a venda deste livro em função do preço de venda, desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda. VENDAS A VAREJO Um fabricante tem vendido lâm- padas a R$ 30,00 a unidade e por este preço as vendas têm sido de 3.000 lâmpadas por mês. O fabricante pre- tende aumentar o preço e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento, menos 1.000 lâmpadas serão vendidas por mês. O custo de produção é R$ 18,00 por lâmpada. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das lâmpadas, desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda. DISTÂNCIA Um caminhão está 300 quilômetros a leste de um carro, viajando para oeste com uma velocidade cons- tante de 30 quilômetros por hora. Enquanto isso, o carro está viajando para o norte com uma velocidade constante de 60 quilômetros por hora. Expresse a distância entre o carro e o caminhão em função do tempo. CUSTO DE PRODUÇÃO Uma companhia recebeu uma encomenda do departamento de esportes de uma prefeitura para fabricar 8.000 pranchas de isopor. A companhia possui várias máquinas, cada uma das quais é capaz de produzir 30 pranchas por hora. O custo de programar as máquinas para produzir este tipo de prancha é de R$ 20,00 por máquina. Depois de programadas as máquinas, a operação é total- mente automática e pode ser supervisionada por um único funcionário, que ganha R$ 19,20 por hora para fazer este trabalho. Expresse o custo de fabricação das 8.000 pran- chas em função do número de máguinas utilizadas, desenhe o gráfico associado e estime o número de máquinas que a companhia deve usar para minimizar o custo. PRODUÇÃO AGRÍCOLA Um agricultor da Flórida calcula que se plantar 60 pés de laranja, a produção será, em média, de 400 laranjas por pé. A produção diminui de 4 laranjas por pé para cada árvore a mais plantada na mesma região. Expresse a produção total do agricultor em função do número adicional de árvores plantadas, desenhe o gráfico associado e estime o número total de pés de laranja que o agricultor deve plantar para maximizar a produção, COLHEITA O preço de atacado de um saco de batatas é R$3,00 em primeiro de julho; após esta data, o preço cai de 2 centavos por saco por dia. Em primeiro de julho, a plan- tação de batatas de um agricultor já produziu o equivalente a 140 sacos e ele calcula que nos dias seguintes a produção deverá ser, em média, de um saco por dia. Expresse a receita do fazendeiro com a venda das batatas em função do dia da colheita, desenhe o gráfico associado e estime o dia em que o fazendeiro deve realizar a colheita para que a receita seja máxima. EQUILÍBRIO DO MERCADO Nos Problemas 40 a 43, as funções oferta e demanda, S(x) e D(x), são dadas para um certo produto em termos do nível de produção x. Em cada caso, (a) Determine o valor de x, x, para o qual ocorre o equilí- brio e o preço de equilíbrio correspondente, Pa. (b) Plote no mesmo gráfico as curvas de oferta e de demanda, p= SWep= D(x). (c) Determine para que valores de x existe uma escassez do produto e para que valores existe um excesso do produto. 40. S(x) = 4x +200 e Dx)= —3x + 480 41. SW)=3x+150 e Dx) = —2x+ 275 42. S)=2+x+3e Dy)=21-3% 43, SM)=27+7,43 e Dx) = 021 — 0,84x + 50 44. OFERTA E DEMANDA Quando um liquidificador é vendido no varejo por p reais, os fabricantes fornecem fi liquidificadores aos varejistas e a demanda é de 60 — p aparelhos. Qual é o preço de mercado para o qual a oferta de liquidificadores é igual à demanda? Quantos liquidifica- dores são vendidos a este preço? 45. OFERTA E DEMANDA Os produtores fornecem ao mercado x unidades de um certo produto quando o preço unitário é p = S(x) reais e os consumidores demandam (compram) x unidades quando o preço unitário é p = D(x), onde 385 St) = 2x + 15 e D(x) = 1 a. Determine o nível de produção de equilíbrio x, e o preço de equilíbrio p.. b. Plote as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico. e. Em que ponto a curva de oferta intercepta o eixo y? Discuta o significado deste ponto em termos econô- micos. 46. ESPIONAGEM O herói de um filme de espionagem escapou do quartel-general de uma quadrilha internacional de contrabandistas de diamantes, no pequeno país europeu de Azusa, Nosso herói, dirigindo um caminhão de leite roubado a 72 quilômetros por hora, tem uma dianteira de 40 minutos em relação aos perseguidores, que estão numa Ferrari a 168 quilômetros por hora. Se chegar à fronteira, que fica a 83,8 quilômetros do esconderijo dos bandidos, estará a salvo. Será que vai conseguir? 47. VIAGENS AÉREAS Dois aviões comerciais partem de Nova York com destino a Los Angeles, com 30 minutos de diferença. O primeiro viaja a 880 quilômetros por hora e o segundo a 1.040 quilômetros por hora. Quantos minutos após a partida do segundo avião este ultrapassa o primeiro? o 48. ANÁLISE DE EQUILÍBRIO Um fabricante de móveis pode vender mesas de jantar por R$ 70,00. O custo total do fabricante é composto por um custo fixo de R$ 8.000 e um custo de produção de R$ 30,00 por mesa. 49. 50. 51 52. 53. a. Quantas mesas o fabricante precisa vender para não ter prejuízo? b. Quantas mesas o fabricante precisa vender para ter um lucro de RS 6.000,00? c. Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante se vender 150 mesas? d. Plote no mesmo gráfico a receita total e o custo total em função do número de mesas vendidas. Explique como é possível determinar o custo fixo a partir do gráfico. DECISÃO EDITORIAL Um escritor recebe propostas de duas editoras interessadas em publicar seu último livro. A Editora A oferece uma comissão de 1% dareceita líquida para os primeiros 30.000 exemplares vendidos e 3,5% para os exemplares que excederem 30.000 e espera lucrar R$ 2,00 com cada exemplar vendido. A Editora B não paga nenhuma comissão pelos primeiros 4.000 exemplares vendidos. mas oferece 2% de comissão para os exemplares que excederem 4.000 e espera lucrar R$ 3.00 com cada exemplar vendido. O autor espera vender N exemplares. Qual das duas ofertas é mais vantajosa para o escritor? CONTA BANCÁRIA A taxa cobrada para manter uma conta corrente em um certo banco é R$ 12.00 por mês mais 10 centavos para cada cheque emitido. Outro banco cobra R$ 10,00 por mês mais 14 centavos por cheque. Defina um critério para decidir em qual dos dois bancos é mais vanta- joso manter uma conta corrente. FISIOLOGIA A pupila do olho humano é aproximada- mente circular. Se a intensidade 1 da luz que entra o olho é proporcional à área da pupila, expresse 1 em função do raio r da pupila. RECICLAGEM Para levantar fundos. uma organização beneficente está recolhendo garrafas usadas, que pretende vender a uma indústria para serem recicladas. Desde que a campanha começou, há 80 dias, a organização já recolheu 24 toneladas de garrafas, pelas quais a indústria se dispõe a pagar 1 centavo por quilo. Como, porém, as garrafas estão se acumulando mais depressa do que podem ser recicladas, a indústria já avisou que vai reduzir de 1 centavo por dio preço que paga por 100 quilos de garrafas usadas. Supondo que a organização possa continuar a recolher a mesma quan- tidade de garrafas e que os custos de transporte tornem invi- ável realizar mais de uma viagem à indústria de garrafas. expresse a receita da organização com a venda de garrafas usadas em função do número de dias a mais que a campanha permaneça em vigor. Desenhe o gráfico associado e estime o número de dias que a organização deve esperar para encerrar a campanha de modo a maximizar a receita. BIOQUÍMICA Na bioquímica, a constante de equilíbrio R de uma reação enzimática é dada pela equação E p— mol Km + TS] onde K, é uma constante (a chamada constante de Micha- elis), R, É o valor máximo de R e [S] é a concentração do substrato. * Reescreva a equação de modo a expressar y *Mary K. Campbell. Biochemistry. Philadelphia: Saunders College Publishing. m a 55. LUCRO DE E . OFERTA E DE Funções, Gráficos e Limites 47 i R [5] (Este gráfico é conhecido como gráfico duplamente recí- proco de Lineweaver-Burk.) NDA Os produtores fornecem ao mercado q unidades de um certo produto quando o preço unitário é p = S(q) reais e os consumidores demandam (compram) q unidades quando o preço unitário é p = D(g) reais, onde em função de e desenhe o gráfico desta função. S(g) = ag + b e Dig)=c+d onde a, b, ce d são constantes. a. O que se pode dizer a respeito dos sinais dos coeficientes a, b.ced se as inclinações das curvas de oferta e demanda são as que aparecem na figura a seguir? b. Expresse o nível de produção de equilíbrio q, e o preço de equilíbrio p, em termos dos coeficientes q, b, ce d. e. Use aresposta do item (b) para determinar o que acon- tece com o nível de produção de equilíbrio q, quando a aumenta. O que acontece com q, quando d aumen- ta? p=S(g) q (unidades) PROBLEMA 54 IA EDITORA Uma editora gasta RS 74.200,00 na preparação de um livro para ser impresso (composição, ilustrações, revisão etc.); o custo de impressão e encadernação é de R$ 5,50 por livro. O livro é vendido às livrarias por R$ 19,50 o exemplar. a. Faça uma tabela mostrando o custo para produzir 2.000, 4.000, 6.000 e 8.000 livros. Use quatro algarismos signi- ficativos. Faça uma tabela mostrando a receita com a venda de 2.000, 4.000. 6.000 e 8.000 livros. Use quatro algarismos significativos. Escreva uma expressão matemática para o custo y em função do número x de livros impressos. Escreva uma expressão matemática para a receita y em função do número x de livros impressos. Use uma calculadora para plotar as duas funções no mesmo gráfico. f. Use os comandos TRACE e ZOOM para determinar o ponto no qual o custo é igual à receita. Use o gráfico para determinar quantos livros devem ser impressos e vendidos para que a editora tenha uma receita de RS 85.000,00. Qual é o lucro (ou prejuízo) para este número de livros vendidos? b. d. » 48 CAPÍTULO UM SEÇÃO 1.5 Limites Como veremos em capítulos subsegientes, o cálculo é um ramo extremamente poderoso da matemática, com um grande número de aplicações. como a plotagem de curvas, a otimização de funções, a análise de taxas de variação e a determinação de áreas, volumes e probabilidades. O que torna o cálculo pode- Toso e 0 distingue da álgebra é a noção de limite; esta seção tem por objetivo introduzir para o leitor este importante conceito. Nossa abordagem será mais intuitiva do que formal. As idéias apresentadas aqui servem de base para um desenvolvimento mais rigoroso das leis € procedimentos do cálculo e estão no cerne de boa parte da matemática moderna. Abordagem Intuitiva do Conceito de Limite Falando de maneira geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar o comportamento de uma função f(x) quando x se aproxima de um número c que pode ou não pertencer ao domínio de f. Os limites aparecem em um grande número de situações da vida real. O zero absoluto, por exemplo, a temperatura T. na qual toda a agitação molecular cessa, é uma temperatura da qual podemos nos apro- ximar mas que jamais conseguimos atingir exatamente. Da mesma forma, os economistas que falam do lucro em um mercado ideal e os engenheiros que determinam a eficiência de um novo motor em condi- ções ideais estão, na realidade, trabalhando com situações limite. Para ilustrar o conceito de limite, considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de milhares de reais. onde A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando neste nível de produção ideal? A princípio, pode parecer que o gerente pode responder a esta pergunta simplesmente calculando o valor de C(80), mas ao fazer x = 80 na equação do custo obtemos a fração A que não tem um valor . 0 definido. Entretanto, é possível calcular C(x) para valores que se aproximam de x pela dircita (x > 80, quando a fábrica está sendo temporariamente superutilizada) e pela esquerda (x < 80, quando a fábrica está sendo subutilizada). A tabela a seguir mostra alguns destes valores. x tende a 80 pela esquerda — < x tende a 80 pela direita = | 08 79.99 7.899 | 80 | 80,000] 80001 | 8004 co | eso | eo | 699000 | >< | 7000001 | 700001 | 7,00043 Os valores de C(x) mostrados na linha inferior desta tabela sugerem que C(x) se aproxima do número 7 quando x se aproxima de 80. Assim, é razoável que o gerente espere um custo de R$ 700.000,00 quando à fábrica está funcionando com 80% da capacidade máxima. O comportamento da função que aparece neste exemplo pode ser descrito afirmando que “o limite de C(x) quando x se aproxima de 80 é igual a 7”, ou, em notação matemática, lim C(x) = 7 280 No caso geral, o limite de ftx) quando x se aproxima de um número c pode ser definido da seguinte maneira informal: - ——— O Limite m Se fl) se aproxima de um número L quando x st aproxima de um número c tanto pela. | esquerda como pela direita, 1 é o limite de lx) quando x tende a c, o que, em notação matemátic: | é escrito como lim fo = ɺ | | is | | Geometricamente, a relação lim f(x) = L significa que a ordenada do gráfico de y = (x) se aproxima de L quando x se aproxima de c, como mostra a Figura 1.41. Esta interpretação é ilustrada, juntamente com o uso de tabelas para determinar limites, no Exemplo 1.5.1. Funções, Gráficos e Limites 51 tim f(x) = O elime)=0 a oo neto oe tim [76 = NimfGP sellim A)P existir xe sc 15 Em outras palavras, o limite de uma soma, de uma diferença, de um múltiplo, de úm produto, de um | quociente e de uma potência é a soma, diferença, múltiplo. produto, quociente é potência dos limites | | individuais, contanto que todas as expressões envolvidas sejam definidas. Os dois limites elementares a seguir podem ser usados, junto com as regras dos limites, para calcular limites que envolvem expressões mais complexas. Limites de Duas Funções Lineares = Para qualquer constante k, lim k=& e lima = => 15€ Em outras palavras. o limite de uma constante é a própria constante e o limite de lx) = x quando tendeacéc. Em termos geométricos, a expressão limk = k significa que a ordenada do gráfico da função cons- tante f(x) = T conserva o valor k quandô X se aproxima de c. Analogamente, a expressão limx = c significa que a ordenada do gráfico da função linear f(x) = x se aproxima de c quando x se aproxima de c. Os dois casos estão ilustrados na Figura 1. FIGURA 1.45 Limites de duas fun- ções lineares S (8 i | e e 28 EXPLORE! a pum = lote a função fh) = | EE intra | usando uma janela de ! observação [0, 2]0,5 por [0, / dias | 50,5. Use a tecla TRACE para Cálculo de Limites | 85 Uejobmania queda Os Exemplos 1.5.2 a 1.5.6 ilustram o uso das propriedades dos limites para calcular os limites | um valor correspondente de y. | Prepare uma tabela com um de funções algébricas. No Exemplo 1.5.2, vamos determinar o limite de um polinômio. valor inicial de 0,5 para x e um incremento de 0,1. Observe que = sis is é indicado um erro parax = 1, EXEMPLO 1.5.2 o que confirma que fx) não é definida neste ponto. Qual é o Calcule Em (3x — 4x + 8). valor apropriado para preencher dad esta lacuna? Mude o valor inicial de x para 0,9 e o incremento Sóliigao para 0,01 para obter uma Usando as propriedades dos limites, temos: aproximação melhor. Finalmente, , ' x use a tecla ZOOM para observar lim Gu — 4x +8)= 3 tim x|P — al lim 2) + lim 8 a curva nas vizinhanças de x = 1 4-1 A=—1 4-1 5-1 e estimar o valor limite da função =3H-IP-4-D)+8=9 neste ponto. 52 CAPÍTULO UM FIGURA 1.46 Gráfico de fx) = x+1 x—2 29 EXPLORE! No Exemplo 1.5.3. vamos determinar o limite de uma função racional cujo denominador não tende azero. EXEMPLO 1.5.3 3x —8 x-20 Calcule lim +51 Solução Como lim (x — 2) 0, podemos usar a regra do quociente para limites para obter xl ; 3 sos 24ê o Ba — 3 É — 3-8 lim (3x 8) din x tim 8 3-8 hi = =5 el x-2 lima-2D limx-lm? 1-2 " xo x 151 A partir das propriedades dos limites, é fácil obter as seguintes expressões, que podem ser usadas para calcular muitos limites que aparecem em problemas reais. | Limites de Polinômios é Funções Racionais m Se pix) e q(x) são polinômios, | / tim pl) = p(c) | + | | | EE 1 | | E é : | : tim o a plo para g(c) + O | ae) No Exemplo 1.5.4, o denominador da função racional dada tende a zero, enquanto o numerador permanece diferente de zero. Quando isto acontece, podemos concluir que o limite não existe, já que o valor absoluto da fração aumenta indefinidamente e, portanto, não tende para um número finito. | EXEMPLO 1.5.4 KH Calcule lim ——. 52 £x—2 | Solução A regra do quociente não se aplica neste caso, já que o limite do denominador é limtyr— 2)=0 12 Como o limite do numerador é lim (x + 1) = 3, que é diferente de zero, chegamos à conclusão a de que o limite não existe. +1 O gráfico da função fix) = —. que aparece na Figura 1.46, dá uma idéia melhor do que real- ZE , mente está acontecendo neste exemplo. Observe que fx) aumenta indefinidamente quando x se apro- xima de 2 do lado direito e diminui indefinidamente quando x sé aproxima de 2 do lado esquerdo. +41 No Exemplo 1.5.5, tanto o numerador como o denominador de uma fração dada tendem Ê Plote a função y = a usando uma janela decimal para obter o limite desejado. aumentada [-9,4; 9,4)1 por =2 a zero. Quando isto acontece, muitas vezes é possível simplificar algebricamente a fração | [-6,2; 6,2]1. Use a tecla TRACE | para observar as vizinhanças do EXEMPLO | 1.5.5 ponto x = 2 do lado esquerdo | e do lado direito. Prepare uma tabela de valores usando um E | valor inicial de 1,97 para x e um Calculo tim x 1 x +42 incremento de 0,01. Descreva suas observações, FIGURA 1.47 Gráfico de fix) = Funções, Gráficos e Limites 53 Solução Quando x tende a 1. tanto o numerador como o denominador tendem a zero e não podemos tirar nenhuma conclusão a respeito do valor do quociente. Obviamente, a função dada não é definida para x = 1, Para qualquer outro valor de x. porém, podemos dividir o numerador e o denominador por x — 1. obtendo o seguinte resultado: ne dy (tx=— Dt — 2 a z (Como x = 1, não estamos dividindo por zero.) Agora podemos calcular o limite quando x tende a 1: lim (x + 1) 3 2 Wm(=2) 1. 2-1 51 XI +2 , ” E - a O gráfico da função fx) = A aparece na Figura 1.47. Observe que se trata de um x — +22 gráfico semelhante ao da Figura 1.46, mas com um buraco no ponto (1, =. Em geral, quando tanto o numerador como o denominador de uma fração tendem a zero quando x tende a c. a primeira coisa a fazer é tentar simplificar a fração (como fizemos no Exemplo 1.5.5, divi- dindo o numerador e o denominador por x — 1). Na maioria dos casos, esta forma simplificada da fração é válida para todos os valores de x exceto x = c. Como estamos interessados no comportamento do quociente nas vizinhanças de f=cenioemx=c: podemos usar a forma simplificada da fração para calcular o limite. No Exemplo 1.5.6. usamos esta técnica para obter o limite que estimamos usando uma tabela no Exemplo 1.5.1. EXEMPLO 1.5.6 = N Calcule lim ————. Solução Tanto o numerador como o denominador tendem a zero quando x tende a É. Para simplificar Lembrete a poi as , Rel a fração, racionalizamos o numerador (ou seja, multiplicamos o numerador e o denominador | Sabemos que por x + 1): (a-bja+bj=a-b se = osaEE “No Exemplo 1.5.6, usamos Va = (va — Dev 1 = z — 1 = a 1 | esta identidade coma = x x—1 (e — XV + 1) G=IXVLED ve+l reb=1. Agora podemos calcular o limite: ” Limites no Infinito O comportamento “a longo praz uma questão de interesse tanto para os economistas como para os físicos e biólogos. Assim, por exemplo, um biólogo por estar interessado em estimar o tamanho de uma colônia de bactérias após um longo tempo, ou um industrial pode querer saber qual será o custo médio para fabricar um certo produto se o nível de produção aumentar indefinidamente. Na matemática, o símbolo de infinito, 2, é usado para representar o aumento sem limite de uma variável ou o resultado deste aumento. Seguem as definições de dois limites no infinito que podem ser usadas para estudar o “comportamento a longo prazo”. Limites no Infinito m Se os valores da função f(x) tendem para o número L quando x aumenta sem limite, escrevemos: | | (continua) 56 CAPÍTULO UM Solução O limite que nos interessa é o seguinte: lim YN)= No += Assim, a produtividade tende para o valor constante 4 quando o tcor N de nitrogênio aumenta indefini- damente. Por este motivo, A recebe o nome de produtividade máxima possível. Limites Infinitos Dizemos que lim f(x) é um limite infinito se f(x) aumenta ou diminui sem limite re quando x — c. A rigor, este limite não existe, mas podemos fornecer uma informação adicional a respeito do comportamento da função escrevendo lim fo) = += ] voe se f(x) aumenta sem limite quando x — ce lim f(x) = —= Toe E a É E = se flx) diminui sem limite quando x — c. Esta notação é ilustrada no Exemplo 1.5.10 para o caso em quer> +, EXEMPLO 1.5.10 | 2x+1 Calcule lim E ade Ha Solução A potência maislalta de x no denominador é x. Dividindo o numerador e o denominador por x, temos: Como temos Funções, Gráficos e Limites 57 PROBLEMAS 1.5 Nos Problemas ! a 6, determine lim f(x), caso exista. oa 1, 2. 3. > y y N 1 à Ê f I | | | A e e d+ »+ bi ad | AS | i i É | | Í 1 x A x | = a a Ê a i a 4 4 s 6 X > ; z | + i | / | i de | | I o 4 | ! | E E —— b A “e b 1 t | | | | | | | | I | | | i ae | x j o a | a a Nos Problemas 7 a 26, determine o limite indicado, caso exista. 7 lim(g— 5x +2) 8 lim (> 22+4—3) 12 x>5—1 9. lim —- 6 +7) 10. lim (1-5) 20 25-12 IL lim(g— D+) 1-3 mx 1 x>H3 x + 2 13. x+3 15. tim x55 =X 2 am | 17. lim? «51 x—1 2 — as ió; jp BE DÃO, «1-5 —G+DG-A 2. lim EEE? est (x — Dx — 4) Ê-x—6 de mar? fe=2 25. lim 2 ss x— 4 58 CAPÍTULO UM Nos Problemas 27 a 36, determine lim f(x) e lim f(x). Se o valor limite for infinito, indique se é +ºº ou —e, 27. Hoy 4-4 28. fgy=1-x+W—-3é 29. HO)=(-2)+S) 30. fy=+7P Mg Ep sos nes Va - WS soTs+ 2 -Ga+2 . 2%+1 ES 3. 0) =242m07 34. fo) = põe 35 p= ESSE 3% s)= Nos Problemas 37 e 38, o gráfico de uma função f(x) é dado. Use o gráfico para determinar lim f(x) e lim f(x). 37. Nos Problemas 39 a 42, complete a tabela calculando f(x) para os valores especificados de x. Em seguida, use a tabela para estimar o limite indicado ou mostrar que o limite não existe. a 1 392. fij)=r—x limit) 40. fo)=x—5 limf() 152 x" «50 x 1,9 | 1,99 | 1,999 2 2001 | 201 | 241 x | —0,09 | —0,009 | 0 | 0,0009 | 0,009 | 0,09 FG) >< fo | | [=<| | a f Re, (x + 42. g + A « fo =p mio Jo Jim SO) x 0,9 | 0,99 | 0,999 1 1,001 | 1,01 | 11 x [EH [HO | 1,001 | + | 0.999 [5089 -09 fe) | >< fo | | >< | | Nos Problemas 43 a 50, caleule o limite indicado ou mostre que o fio se rompe. Com base nos dados da tabela a seguir, qual ele não existe usando as seguintes informações a respeito de é o maior deslocamento possível deste tipo de fio? limites das junções f(x) e g(x): agr nãos É BE ue Peso 15 16 17 18 tes |O 17,99 nn à e infd= W kg) | nm | | lim g(x) = —2 e lim gx) = 4 Desloca- | 1,7 | 1,75 | 1,78 |Amrebenta| 1,79 [1,795 | Arrebenta ne as mento | | | a j a , I 43. lim [AGO —3e()] 44 lim f6) 86) > (em) 450 re 2f0) — gx | “8 im ag ig st te g(X) e Sg(x) + 2f6x) esa ES BR) + 80) W E 469) 48. O e fim Ve) Sd rito Ro | 49, Um fio é estendido horizontalmente, como mostra a figura. PROBLEMA 49 Um experimento é executado no qual diferentes pesos são o pendurados no centro do fio e os destocamentos verticais 50. PRODUÇÃO O gerente de uma empresa determina que correspondentes são medidos. Quando o peso é excessivo, ft meses após começar a fabricação de um novo produto forma de gerenciar o estoque é conhecida como ju: no instante 5 t; do lado direito. o valor Ti Funções, Gráficos e Limites 61 st in time). Suponha que a primeira reposição ocorra nde para 7, do lado esquerdo, o valor limite é L,, mas quando r tende para teéL,. do 7 Para descrever os limites unilaterais, usaremos a notação a seguir. Limites Unilaterais m Se ix) tende a L quando x tende a « pela equgerda (x < c), escrevemos Hm f(x) =. Se fix) tende a M quando x tende a c pela direita (x > c), escrevemos M. lim fG) = Usando esta notação no exemplo do estoque, temos: lim Jg) =L: e lin = Seguem mais dois exemplos de limites unilaterais. EXEMPLO 1.6.1 No caso da função —Y se0=r<2 A FIGURA 1.52 Gráfico de fx) = i-x se0<1<2 2x+1 sex=2 1 2+1 ses=2 Solução O gráfico de f(x) aparece na Figura 1.52. Como f(x) = 1 =X? para 0 =x < 2, temos: Como fx) = 2x + 1 para x = 2. temos: lim fx) = lim Qu+ 1)=5 a=2 12 31 EXPLORE! | Leia o Exemplo 1.6.2. Plote a g junção xy = *22 cando x-4 uma janela [0; 9,4]1 por [-4, 471 para verificar qual é o limite quando x tende a 4 pela esquerda e pela direita. | Verifique também qual é o valor de f(x) para grandes valores | positivos e negativos de x. O que você observa? sx EXEMPLO 1.6.2 -2 Calcule lim e quando x tende a 4 pela esquerda < pela direita. Solução Em primeiro lugar, observe que para 2 <x < 4a grandeza énegativa. de modo que quando x tende a 4 pela esquerda, fx) diminui sem limite. Indicamos este faio escrevendo Analogamente. quando x tende a 4 pela direita (ou seja, com x > 4). fl) aumenta sem limite e escre- vemos x 2 lim = += ss 1—4 O gráfico de f aparece na Figura 1.53. 62 CAPÍTULO UM FIGURA 1.53 Gráfico de lim fo = + Ea im fo ==> cd Observe que o limite bilateral tim f(x) não existe para a função do Exemplo 1.6.2, já que os valores de f(x) não tendem para um único valor L quando x tende a 4 pelo lado esquerdo e pelo lado direito. O critério para a existência de um limite é o seguinte: / | Existência de um Limite m O limite lim f(x) existe-se é apenas se Os limites unilaterais | 5 | Cdimf0) é tim f(x) existirem e forem iguais, caso em que lim f6o = tim f6) = lim fe) É E ] 32 EXPLORE! EXEMPLO 1.6.3 ( || Crie novamente a função Determine se lim f(x) existe, onde | linear por partes f(x) definida Sa 1 | no Explore! 27. Verifique +I parax<1 graficamente que Jim fo)=3 fo) = [ sic 1 paae=l e limf(x)=5. mer Solução Calculando os limites unilaterais em x = 1, encontramos x lim fd = tim G+D=(D+i=2 quef)=x+1 parax<l 1 ão H lim 6) = lim (+44 D jíquertos- x-31 a Ma =-"0P+40)-1=2 r4x—l parax=1 Como os dois limites unilaterais são iguais, o limite de f(x) quando x tende a 1 existe e é dado por lim f 6) = tir, FO) = lim fo) =2 1 1—> x— O gráfico da função flx) aparece na Figura 1,54, Funções, Gráficos e Limites 63 FIGURA 1.54 Gráfico de Ro= > a+l sex<l =x: +4x—1 sex=1' Continuidade No início desta seção. observamos que uma função contínua é aquela cujo gráfico não possui “buracos ou saltos”. Um “buraco” em um ponto x = c pode surgir de várias formas, três das quais estão repre- sentadas na Figura 1.55. FIGURA 1.55 Três for- mas pelas quais uma fun- ção pode possuir um “bu- raco” no ponto x = c. | | ar Ê + x / rãe (a) fc) não é definida (O) lim ft) +) (im 69 = lim fo) = += e = O gráfico de fix) possui um “salto” no ponto x = c se os limites unilaterais ti f(x) e Him. Te não são iguais. Três das formas pelas quais isto pode acontecer estão representadas na Figura L 56. FIGURA 1.56 Três for- mas pelas quais uma fun- ção pode possuir um “sal- to” no ponto x = «. (b) Salto infinito: lim f6) é finito tim fog) = + oe pe mas lim f(x) = +* e lim f0) = — set ame Quais são as propriedades que garantem que f(x) não possui um “buraco” ou um “salto” no ponto x = c? A resposta é surpreendentemente simples: a função deve ser definida em x = c, deve ter um limite fimtoemx=ce lim f(x) deve ser igual a fic). Resumindo: ae ' Continuidade = Uma função fé contínua no ponto c se três condições são satisfeitas: | a. fc) é definida : b. lim f(x) existe ese e tim fo) =ÃO Se fl) não é contínua no ponto -c, dizemos que o ponto-c é-um ponto de descontinuidade. 66 CAPÍTULO UM L+2 eo FIGURA 1,59 Proprieda- de do valor intermediário. | = Solução A função racional f(x) é contínua para todos os valores de x exceto x = 3. Assim, a função é contínua no intervalo aberto —2 < x < 3, mas não no intervalo fechado —2 =x = 3, já que é descontínua no ponto x = 3 (no qual o denominador se anula). O gráfico de f aparece na Figura 1.58. A Propriedade do Valor Intermediário Uma propriedade importante das funções contínuas é a propriedade do valor intermediário, Co segundo a qual se (x) é contínua no intervalo a = x = be L é um número entre, Ta) e Ab), existe FIGURA 1.58 Gráfico de fx) = algum número c entre a e b para o qual fc) = L( veja Figura 1,59). Em outras palavras, uma função contínua assume todos os valores possíveis entre dois quaisquer dos seus valores. Assim, por exemplo, uma menina que pesa 3 kg ao nascer e 40) kg ao fazer 15 anos deve ter pesado exata- mente 30 kg em algum instante da vida, já que o peso é uma função contínua do tempo. Fc) = E para algum pomtoe Ê »= f(x) enmeaed | | ! Tt A propriedade do valor intermediário tem muitas aplicações. No Exemplo 1.6.9, apresentado a seguir, mostramos que pode ser usada para estimar a solução de uma equação. EXEMPLO 1.6.9 Mostre que a equação x? —- x — 1= tem uma solução para 1 <x<2. x+1 Solução 1 == — TA Nesse caso, f1) = -2 ex) = Como f(x) é contínua para x 2 Seja fl) = 1<x=<2€o gráfico de festá abaixo do eixo x no ponto x = 1 e acima do eixo x no ponto x = 2, segue-se que, de acordo com a propriedade do valor intermediário, o gráfico deve cruzar O eixo x em um ponto entre x = 1 ex = 2 (veja Figura 1.60). Em outras palavras, existe um número c talquel<c<2Zefc)=0, ou seja, tal que FIGURA 1.60 Gráfico de y = gs | 1 i geme — x+1 c+1 NOTA O método para localizar raízes apresentado no Exemplo 1.6.9 pode ser usado para estimar a raiz c com um grau arbitrário de precisão. Assim, por exemplo, como o ponto central do intery adlolsy=<2éd= 1,5e 1.5) = —0,65, a raiz c deve estar no intervalo 1,5 <x < 2 (já que (2) > 0) e assim por diante. “Tudo bem” — deve estar pensando o leitor —, “mas minha calculadora é capaz de determinar o valor de c com uma precisão muito maior, com um simples apertar de botões”. O leitor está certo, é claro, mas como acha que a calculadora determina o valor de c? Talvez não utilize exatamente o método que acabamos de descrever, mas certamente foi programada para executar uma rotina de aproximações sucessivas. Não é melhor saber | o que uma calculadora está fazendo do que se limitar a apertar botões e esperar que os resultados apareçam como que por um passe de mágica? Funções, Gráficos e Limites 67 PROBLEMAS 1.6 Nos Problemas 1 a 4, determine os limises unilaterais lim f(x) e lim f(x) da famção dada e verifique se Em f(x) existe. =" ao sa2 É to & lim G—9) 6. tim É 7. lim V3 — = É 8. lim X537 x 9. lim («— Va) 10. tim À x50 x] E KH. lim 12. tim É 1537 5 ss 13. lim f6) e dim fe, 14º lim fo) e lim f0), 3 x5—1 x5-1 1 “—x parax<3 parax< —1 - onde f(x) = 41 1 d+ 2 parax=-1 onde f(x) = E 3-x paar=3 Nos Problemas 15 a 26, verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x. 15. fog)-5-6x+1 emr=2 16. foo=7-2+x—-5 emx=0 2x—d 18. fo)= 302 emx=2 2x+1 % ge 20. fo)= 3x —6 emr=2 2H. fw= EA emy=4 22. Ho)= EA emr=2 E x+1 parax<2 x+1 parar<0 23. )= p= 2. j= =0 fo) E parax>2 emr=2 24. fx) É À pas iztÔ em x 68 CAPÍTULO UM X+1 parar=3 2x+4 parax>3 ara +< —1 emr=3 26. fy=|x+1 ? emx=—1 xX-3 paraxz—l 25. fwy= [ Nos Problemas 27 a 40, determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua. 27. oj=m-6r+9 28. fy=-é—r sã 3% 29. fl) 2 30. fl)= a 2 31. 32 fo=" x+1 Se =—2 33. fg) =—E— 34. (e + 3X — 6) 35. fo) = 36. +3 parar= 1 É parar s2 3. fo= 2x; para x 38. foj= x” parax 6x—1 parax>1 9 paax>2 o 3x—2 parax<0 a DS paraxs-—l 39. fo) = 40. fix) = Ho ss parax = O FO) Pesa parax>—1 41. METEOROLOGIA Suponha que a temperatura do ar 43, TARIFAS POSTAIS No correio dos Estados Unidos, seja 30ºF. Nesse caso, a sensação térmica (em “F) para a “função de porte” p(x) pode ser descrita da seguinte uma velocidade do vento v (em milhas por hora) é dada forma: port 37 paral<x=l 30 paraQ=v=<4 60 W6) = 41,257 — 18,67Vy + 623 paraé<v<45 -7 parav=45 paral<x=2 p(Q)=483 paral<x=3 a. Qual é a sensação térmica para v = 20 milhas por hora? 290 para ll <x= 12 E para v = 50 milhas por hora? - b. Que velocidade do vento produz uma sensação térmica onde x é o peso de uma carta em onças e p(%) é o preço de 0ºF? correspondente do porte, em cents. Faça o gráfico de p(x) e. A função de sensação térmica W(w) é contínua em v = para 0 <x = 6. Para que valores de x a função p(x) é descon- 4Eemv= 45? tínua no intervalo 0 < x =< 67 42. INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO Seumaesfera ** IT nas m cano ii em uma ar oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade E Peas a o siar O orte fe Uz uma mancha estática, a intensidade do campo elétrico E(x) em um ponto e “óleo circular que tem y metros de espessura à uma p iai É istânci : , E pa P situado a uma distância de x unidades do centro da esfera a Stância de ONDE do local do vazamento. À turbulência é dada por torna difícil medir diretamente à espessura da mancha no local do vazamento (x = 0), mas para x > O observa-se 0 paraO<x<R que 1 7 parax=R x x 3 E) = 1 5 > o a; A a x paca Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vazamento? Faça um gráfico de Elx). A função E(x) é contínua parax>0? 45, CONSUMO DE COMBUSTÍVEL O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Susana =Adaptado de William Bosch and L. G. Cobb, UMAP Module No. 658, durante um período de 30 dias. Em que pontos o gráfico é *WindchilP", 1984, pp. 244-247. descontínuo? O que acontece nessas ocasiões? 3 a. Expresse o preço da gasolina comum em função do tempo e plote o gráfico associado. b. Qual era o preço no início do ano? c. Qual será o preço no dia 1º de outubro? OFERTA E DEMANDA Sabe-se que os produtores forne- cerão ao mercado x unidades de um certo produto se o preço unitário for p = S(x) e que o mesmo número de unidades será demandado (comprado) pelos consumidores quando o preço unitário for p = D(x) reais, onde M)=P+A e DO)=Br+59 Funções, Gráficos e Limites 71 demanda quando são produzidas S unidades? Qual é a diferença quando são produzidas 10 unidades? 9. COLÔNIA DE BACTÉRIAS A população (em milhares) de uma colônia de bactérias / minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função =P ri para0=si<s L—8t+72 parat=5 a. Em que instante a colônia deixa de existir? b. Explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante no intervalo 1 <1 < 7. em que A e B são constantes. Também se sabe que não será 10. MUTAÇÕES Em um estudo de mutações em drosófilas, oferecida nenhuma unidade até que o preço unitário seja pesquisadores irradiam as moscas com raios X e observam pelo menos R$ 3,00 e que o equilíbrio do mercado é atin- que a porcentagem M de mutações aumenta linearmente gido para x = 7 unidades. com a dose D de raios X, medida em quilorroentgens (KR). a, Use estas informações para determinar os valores de 4 e Quando uma dose D = 3 KR é usada, a porcentagem de B e do preço de equilíbrio. mutações é 7,7%, enquanto uma dose de 5 KR resulta em b. Plote no mesmo gráfico as curvas de oferta e deman- uma porcentagem de mutações de 12,7%. Expresse M em da. função de D. Qual é a porcentagem de mutações quando as e. Qual é a diferença entre o preço de oferta e o preço de moscas não são submetidas a raios X? Problemas de Revisão 1. Especifique os domínios das seguintes funções: em um certo município revela que a concentração média a fj=2-2+6 de poluentes no ar será O(p) = /0,5p + 19,4 unidades quando o município tiver p mil habitantes. Calcula-se que b. fo)==5 daqui a + anos a população será p(t) = 8 + 0,22 mil habi- *+a-2 tantes. e fog=vr-—s a. Expresse a concentração de poluentes no ar em função do tempo. 2. O valor de mercado de qualquer modelo de calculadora b. Qual será a concentração de poluentes daqui a 3 anos? tende a diminuir com o tempo por causa do lançamento : e. Daqui a quanto tempo a concentração de poluentes atin- de modelos mais modernos. Suponha que daqui a x meses girá o valor de 5 unidades? o preço de um certo modelo seja dado por P(x) = 40 + — 7. Determine o valor de c para o qual a curva y = 3x? — 2x + 30/x + 1) reais. c passa pelo ponto (2, 4). a. Qual será o preço daqui a 5 meses? 8. Plote as seguintes funções: b. Qual será a queda no preço durante o quinto mês? a fy="+%-8 e. Daqui a quanto tempo a calculadora custará R$ 43,007 b Hy)=3+4-2 d. O que acontece com o preço “a longo prazo” (ou seja, j aii . . . para grandes valores de x)? 9. Determine a inclinação e a ponto de interseção com o eixo Determine a função composta g(A(x)). » da reta data e plote o gráfico. na o. a y=3+2 a gu)=u e Lhgg)=1—+ db 5x-49=20 e(u) = —— j=x+ . 2y+Ik= b. g(u) mIpio="+2 e ” o 0 e d)=VT-uha=2x+4 dz+5=4 a. Determine fx — )sef) = — x + 4. 10. Escreva equações para as seguintes linhas retas: 2 a, À inclinação é 5 e intercepta o eixo y no ponto (0, —4) b. Determine fx? + 1) se fx) = Jx + = b. A inclinação é —2 é passa pelo ponto (1, 3) e. Determine fx + 1) — fu) se fx) = 2. e. Intercepta o eixo x no ponto (3, 0) e o eixo y no ponto 5. Determine funções A(x) e g(u) tais que fx) = g(h(x)). o. a fj=(+3r+4f d. Passa pelo ponto (5, 4) c é paralela à reta 2x + y = 3 P to (—1, é dicular à reta 5x — bd Os A+ E 5 e o ponto (—1, 3) e é perpendicular à reta 5x 11. FINANCIAMENTO DE UM ORFANATO Um orfa- 6. ANÁLISE AMBIENTAL Um estudo ambiental realizado nato lançou uma campanha para levantar fundos. Os orga- CAPITULO RESUMO DO  72 14. CAPÍTULO UM ; =. 10x nizadores calculam que serão necessárias fx) = EE semanas para atingir x% da meta da campanha. a. Plote a parte relevante do gráfico desta função. b. Quanto tempo será necessário para atingir 50% da meta da campanha? «. Quanto tempo será necessário para atingir 100% da meta? DESPESA DO CONSUMIDOR A demanda de um certo produto é dada por D(p) = —50p + 800 unidades por mês quando o preço é de p reais por unidade. A despesa do consu- midor E(x) é a quantia que os consumidores pagam para comprar x unidades do produto. a. Expresse a despesa do consumidor em função de x e-faça o gráfico de Ely). b. Use o gráfico do item (a) para determinar o nível de produção x para o qual a despesa do consumidor é máxima. Que preço p corresponde à despesa máxima do consumidor? MICROBIOLOGIA Uma célula esférica de raio r tem um 4 ; g volume V= >ar* c uma superfície S = 4mr. Expresse V em função de S. Se S é multiplicada por dois, o que acontece com V? E CIRCULAÇÃO DE UM JORNAL A circulação de um . jomal está aumentando com uma taxa constante. Há três 16. 17. 18. meses, à circulação era de 3.200 exemplares; atualmente, é de 4.400. a. Expresse a circulação em função do tempo e desenhe o gráfico. b. Qual será a circulação daqui a 2 meses? Determine os pontos de interseção (sc existirem) entre os pares de curvas a seguir é desenhe os gráficos associados. a y=-M+S5 e py=2r—10 b. +7 e y=-2+r Es d y= PREÇO ÓTIMO DE VENDA Uma fábrica pode produzir estantes a um custo de R$ 80.00 a unidade. Os analistas da empresa estimam que sc as estantes [orem vendidas por x reais a unidade, aproximadamente 150 — x unidades serão vendidas por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda, x, desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda. PREÇO ÓTIMO DE VENDA Um revendedor compra um certo modelo de câmara na fábrica a R$ 150,00 a unidade. As câmaras vêm sendo vendidas a R$ 340.00; por este preço, são vendidas em média 40 câmaras por mês. O revendedor pretende reduzir o preço para aumentar as vendas e calcula que, para cada R$ 5,00 de redução no preço, 10 câmaras a mais serão vendidas por mês. Expresse o lucro mensal do revendedor em [unção do preço de venda das câmaras. Desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda. PROJETO DE EMBALAGENS Uma lata cilíndrica, sem tampa, é construída por 80 centavos. O custo do mate- rial usado para fazer o fundo é 3 centavos por centímetro quadrado e o custo do material para fazer o lado é 2 centavos 19. 20. A! 22: 24 por centímetro quadrado. Expresse o volume da lata em função do raio. EFICIÊNCIA DE PRODUÇÃO Uma empresa recebeu uma encomenda para fabricar 400.000 medalhas comemo- rativas do 35º aniversário do pouso da Apolo 11 na Lua. À firma possui várias máquinas, cada uma das quais é capaz de produzir 200 medalhas por hora. O custo de programar as máquinas para cunhar as medalhas é R$ 80,00 por máquina e o custo total de operação é R$ 5,76 por hora. Expresse o custo para produzir as 400.000 medalhas em função do número de máquinas utilizadas. Desenhe o gráfico associado e estime o número de máquinas que a empresa deve usar para minimizar o custo. ANÁLISE DE ESTOQUE Um empresário manteve um estoque durante um período de 30 dias da seguinte forma: do 1º ao 9º dia: 30 unidades do 10º ao 15º di 17 unidades do 16º ao 23º di 12 unidades do 24º ao 30º dia: redução de 12 unidades a O unidades a uma taxa constante Faça um gráfico da função E(?) que representa o estoque E em função do tempo + (em dias). Para que valores dera função E(4) é descontínua? ANÁLISE DE EQUILÍBRIO Um fabricante pode vender um certo produto por R$ 80,00 a unidade. O custo total é composto por um custo fixo de R$ 4.500,00 e um custo de produção de R$ 50.00 a unidade. a. Quantas unidades o fabricante precisa vender para não ter prejuízo? b. Qual é o lucro ou prejuízo do fabricante se vender 200 unidades? c. Quantas unidades o fabricante precisa vender para ter um lucro de R$ 900,00? GERENCIAMENTO DA PRODUÇÃO No verão, um grupo de estudantes fabrica caiaques em uma garagem adaptada. O aluguel da garagem é R$ 1.500,00 para todo o verão e os mate- riais necessários para construir um caiaque custam R$ 125,00. Os-eaiagues podem scr vendidos por R$ 275,00 cada um. a. Quantos caiaques os estudantes precisam vender para não ter prejuízo? b. Quantos caiagues os estudantes precisam vender para ter um lucro de R$ 1.000,00? APRENDIZADO Alguns psicólogos acreditam que, quan- do se pede a uma pessoa para se lembrar de uma série de fatos, o número de fatos lembrados por unidade de tempo é proporcional ao número de fatos relevantes na memória do paciente que ainda não foram lembrados. Express o núme- ro de fatos lembrados por unidade de tempo em [unção do número de fatos que já foram lembrados. CÁLCULO DE CUSTOS Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio com 9200 metros de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000 metros rio abaixo. Q cabo deve ir em linha reta da usina até um ponto P na margem oposta do rio e, em seguida, acom- panhar a margem do rio até a fábrica. O custo de estender um cabo no rio é R$ 5,00 o metro e o custo de estender um cabo em terra é R$ 4,00 o metro. Seja x a distância entre o ponto P e um ponto localizado em frente à usina de força, na margem oposta do rio. Expresse o custo de instalação do cabo em função de x. 25. | | PROBLEMA 24 CUSTO DE CONSTRUÇÃO Uma janela com um perí- metro (moldura) de 6 m é formada por um semicírculo de vidro colorido acima de um retângulo de vidro claro, como mostra a figura. O vidro claro custa R$ 16,00 o metro quadrado e o vidro colorido custa R$ 48,00 o metro quadrado. Expresse o custo da janela em função do raio do painel de vidro colorido. PROBLEMA 25 26. 27. 28. 29, Funções, Gráficos e Limites 73 CUSTO FIXO DE FABRICAÇÃO Um fabricante de móveis pode vender mesas de canto por R$ 70,00 cada uma. O custo de fabricação de uma mesa é R$ 30,00 e o fabri- cante estima que a receita será igual ao custo se 200 mesas forem vendidas. Qual é o custo fixo associado à fabricação das mesas? [Nora: Custo fixo é o custo quando O unidades são fabricadas.) CUSTO DE FABRICAÇÃO Um fabricante é capaz de produzir no máximo 5.000 unidades por dia, por um custo fixo de R$ 1.500,00 por dia e um custo variável de R$ 2,00 por unidade produzida. Expresse o custo diário C em função do número de unidades produzidas e faça o gráfico de C(x). A função C(x) é contínua? Se a resposta for negativa, quais são os pontos de descontinuidade? Em que instante, entre as 15 e as 16 horas, o ponteiro dos minutos coincide com o ponteiro das horas? [Sugestão: A velocidade do ponteiro dos minutos é 12 vezes maior que a do ponteiro das horas.] RESUMO DO CAPÍTULO PAGAMENTO DE IMPOSTOS O proprietário de uma | E casa pode pagar o imposto predial de duas formas. No Plano A, pagará R$ 100,00 mais 8% do valor do imóvel; no Plano B, terá que pagar R$ 1.900,00 mais 2% do valor do imóvel. Supondo que o único objetivo do proprietário seja pagar o mínimo possível de imposto, estabeleça um critério, baseado no valor V do imóvel, para escolher o plano de pagamento. Nos Problemas 30 a 43, determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é + ou —oe, 30. 32, 34. 36. 38. dá. do. x2=3x j lim 152 x+1 fo=5"-3r+vk 2 + 5x O Comer 31: to Sao 37. 39. 47. h 2” rx— EM 2-1 a lim x2 2—X » 1 lim [2 — F) x=>0 x lim => im sux) + 5 +43 = 2047 «DO z 2- = eus x +2x—33 parax= 3 hG)=4x- 6x+9 parax>3 H—3