2 fourier sel0360

2 fourier sel0360

análise de sinais marcelo bj 1

Representação de sinais

Sinais elétricos são em geral descritos no domínio do tempo.

Em muitas situações a representação no domínio do tempo não é suficiente para descrevê-lo ou analisá-lo completamente.

Tempo: amplitude, valor máximo, período,
Frequência: espectro, frequência importantes, largura de banda,

Representação no domínio da frequência: Série de Fourier (para sinais periódicos).

Transformada de Fourier (para sinais não periódicos).

Espectro Densidade de Potência (para sinais de informação – sinais aleatórios).

Transmissão de sinais através de sistemas lineares.

Análise de Sinais marcelo bj 2

Série de Fourier

Seja um sinal periódico xp(t) que satisfaz as seguintes condições: Número finito de descontinuidades,

Número finito de máximos e mínimos,

Absolutamente somável.

Série de Fourier na forma trigonométrica

coeficientes an e bn, n = 0, 1, 2,, são dados por:

Em que: f0 = 1/T frequência fundamental do sinal, e os nnp tnfsenbtnfcosaa tx pn dttnfcostxT pn dttnfsentxT

Análise de Sinais marcelo bj 3

Série de Fourier na forma compacta:

nnp tnfcosEEtx em que:

n n arctan;baE;a E

•apresenta somente os coeficientes an, os coeficientes bn são nulos.

Função impar:

•apresenta somente os coeficientes bn, os coeficientes an são nulos.

Análise de Sinais marcelo bj 4

Exemplo 1: série de Fourier da onda dente de serra t -T/2 T/2

X(t) é uma função ímpar e para um período temse:

x(t) = [2A/T]t n ncos

A dttnftsen

tfsentfsentfsenA tx

Análise de Sinais marcelo bj 5

Série de Fourier na forma exponencial tnfj np eAtx tnfj pn dtetxT

em que:

n n n b arctan; ba A

Análise de Sinais marcelo bj 6

Exemplo 2: Série exponencial de Fourier de um trem de pulsos retangulares tnfj e ndf ndfsenT

Ad tx d T/2 -T/2 tnfj n dtAeT

Análise de Sinais marcelo bj 7

Espectro de Amplitude e de Fase ndf ndfsenT

A n

/ncsin A

/nsenA A

Espectro de Fase Espectro de Amplitude

A/4

Análise de Sinais marcelo bj 8

Espectro de potência

PM dt|tx|T tnfjP* n

/T tnfjn

* nPM dtetxT AdteAtxT n n nnM AAAP

||Teorema de Parseval

Análise de Sinais marcelo bj 9

Transformada de Fourier

Condições de existência (Dirichlet) Número finito de descontinuidades,

Número finito de máximos e mínimos,

Absolutamente somável.

equação de análiseequação de síntese

direta inversa

Análise de Sinais marcelo bj 10

Exemplo 3: transformada de Fourier de um pulso retangular com largura p(t) = ret(t/ )

fcsinfPt rettp

fcsin fsen e dtefP

Análise de Sinais marcelo bj 1

Propriedades 1.Linearidade: considere dois sinais x1(t) e x2(t)

2.Deslocamento no tempo

3.Deslocamento na frequência ( teorema da modulação ) ffXetx ffMfX

M(f) f W - W

X(f) fc f fc + W fc - W - fc

Análise de Sinais marcelo bj 12

4.Escalonamento

Compressão no tempo ==> expansão na frequência e vice versa fj dttx

)f(Xfjtx dt

TF t nTF n

Análise de Sinais marcelo bj 13

7.Área sob x(t)

8.Área sob X(f)

9.Convolução

Análise de Sinais marcelo bj 14

10.Multiplicação

1.Teorema de Parseval

12.Se x( t ) é real:

Módulo é par e a fase é ímpar

Análise de Sinais marcelo bj 15

Transformada de Fourier de Funções Periódicas tfj np eAtx

Escrevendo a função em série de Fourier tem-se:

Cálculo da Transformada:

n n n tnfj n tnfj np nffAeAeAfX 0 n pnn p nffTfT

AnTtt 0 tnfj pn dtetxT

A em que:

t f 0 T 2T ... 0 f0 2f0 ...

Análise de Sinais marcelo bj 16

geralmente, considera-se um sinal de informação como um processo ergódico: isto é, uma única função amostra é suficiente para caracterizar o processo.

Neste caso as médias temporais são iguais às médias estatísticas.

T x dttxtxT limr

função de autocorrelação:

Espectro densidade de potência para sinais aleatórios x(t) t

Análise de Sinais Marcelo B. Joaquim 17

Um processo aleatório é um sinal de energia infinita. Portanto não apresenta Transformada de Fourier.

A característica Espectral é obtida pelo teorema de Wiener-Kinchine. transformada de Fourier da função de autocorrelação:

x fj x 2

XEdffPr x

Observe que:

A potência média total é calculada pela área sob Px(F). Px(f) representa a distribuição da potência em função de f.

Px(f): Espectro Densidade de Potência.

Análise de Sinais marcelo bj 18

Transmissão de Sinais através de sistemas lineares Sistema: É uma Transformação que se opera em um sinal.

Sinal de Entrada: Excitação x(t).

Sinal de Resposta: Saída ou resposta do sistema y(t).

Sendo: y1(t),, yM(t) as saídas do sistema correspondentes às
entradas x1(t),, xM(t). Para um sistema linear tem-se:

Sistemas Lineares

tyatya txTatxTatxatxaT

Em que: M é um número inteiro e a1, ..., aM são constantes.

Análise de Sinais marcelo bj 19

Sistema linear invariante no tempo “Um Sistema Linear é invariante no tempo se e somente se:“

Resposta ao Impulso:

h( t ): resposta do sistema à função impulso [ ( t ) ] com condições iniciais nulas.

É uma das formas de descrever um sistema.

H( f ): É a transformada de Fourier da resposta ao impulso. É chamada de função do sistema ou função de transferência.

h(t) x(t) y(t)

Análise de Sinais marcelo bj 20 x(t) No instante t = e 0, o pulso hachurado corresponde a um impulso com área:

resposta total: utilizando o “princípio da superposição”

Integral de convolução:

Análise de Sinais marcelo bj 21

Propriedades 1.Sistema causal (fisicamente realizável):

h(t) = 0,t < 0

2.Estabilidade:

entrada limitada ==> saída limitada

3.Convolução

H(f) é chamada de resposta em frequência do sistema. O sistema apresenta características de um filtro.

Análise de Sinais marcelo bj 2

Passa Baixas

Passa Altas

Passa Banda Rejeita Banda

Característica em Frequência dos Filtros Seletivos Ideais Parâmetros

Frequência de corte:

Banda de Passagem:

Banda de Transição:

Banda de Atenuação:

Atenuação máxima na banda de passagem:

Atenuação mínima na banda de atenuação:

Frequência de ressonância. Para um filtro LC:

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