Sinais e Sistemas marcelo bj 1 introdução ao estudo de sinais e sistemas

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1. Sinais contínuos no tempo

Os sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes,

Eles transportam informações a respeito de um fenômeno físico ou então de um sistema.

Neste curso estudaremos: sinais com uma variável independente: o tempo,

sinais contínuos no tempo (tempo discreto sel0343 - pds),

exemplo: sinal de voz:

t x(t)

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1.1 Operações com sinais Deslocamento no tempo t0 > 0 - representa um tempo de atraso. t0 < 0 - representa um tempo de avanço.

os sinais: são idênticos quanto à forma mas deslocados no tempo.

sinal avançado sinal atrasado t0 t0

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Reversão do tempo

txty É obtido refletindo x(t) em torno da origem (t = 0).

os sinais: são idênticos quanto à forma mas invertidos no tempo.

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Compressão e expansão em que ‘a’ é uma constante. é obtido fazendo-se uma mudança linear na variável independente.

se a > 1 - o sinal é comprimido (variações rápidas) a < 1 - o sinal é expandido (variações lentas) x(t) x(at) a > 1 x(at) a < 1 compressão expansão

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Sinal par e sinal ímpar Um sinal é chamado par se ele satisfizer a seguinte condição:

x(t) é igual a sua reflexão em torno da origem. Um sinal é chamado ímpar se ele satisfizer a seguinte condição:

•Observe que um sinal ímpar vale 0 para t = 0 x(t) x(t) sinal par sinal ímpar

 parte par de um sinal:parte ímpar de um sinal:

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Recomenda-se como exercício provar estas duas propriedades. Sinais periódicos

Um sinal é chamado periódico se existir um valor positivo T tal que:

ttodoparaTtxtx

a condição é válida para: T,  2T,  3T,

período fundamental:

acimacondiçãoasatisfazqueTmenor:T 0

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frequência fundamental:

HzhertzousegundoporciclosT f

s/radsegundoporradianosfT w

Pois tem-se um ciclo completo em 2 radianos.

0 Tsinal periódico

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Sinais de energia e de potência A potência instantânea dissipada em um resistor é definida como:

A potência instantânea de um sinal em relação a um resistor de 1 ohm é:

txtpoutxtp

Energia total de um sinal:

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Potência média de um sinal:

T dttxT

Potência média de um sinal periódico:

t dttxT

Sinal de energia: é aquele para o qual: 0 < E <

Sinal de potência: é aquele para o qual: 0 < P < sinais não periódicos e determinísticos.

Sinais aleatórios e periódicos. Raiz do valor quadrático médio (root mean square)

= raiz quadrada da potência média em relação a um resistor de 1 ohm = valor rms ou valor eficaz.

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1.2 Sinais contínuos no tempo básicos

Sinais exponenciais

•em que C e a são em geral números complexos. •admtindo C e a valores reais obtém uma exponencial real:

x(t) a > 0 x(t) a < 0

0 0 exemplo: descarga de um capacitor através de um resistor.

provenientes de algum sistema real (físico)

São utilizados para modelar, representar ou testar sistemas ou sinais t t

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exponencial complexa:

A forma mais comum de exponencial complexa é realizada admitindo a um número puramente imaginário.

C é admitido ser 1 e w0 um número positivo, Esta função é periódica com período 2 /w0 pois:

txeeeeeeTtx tjwjtjwTjwtjwTtjw

Aplicação: análise de Fourier onde é definido um conjunto de exponenciais relacionadas harmonicamente tais que:

kT wk

T k

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Sinais senoidais A forma mais comum de se escrever um sinal senoidal é:

em que A é a amplitude, w0 é a frequência em [rad/s] e é o ângulo de fase em radianos.

x(t)

0 twcosAtwsenA

Outra forma de se escrever o sinal senoidal:

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twsenjtwcose eej twseneetwcos tjw tjwtjwtjwtjw

Sinais senoidais exponencialmente amortecidos em que a > 0

T k x(t) t

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Função degrau unitário t, tu u(t)

Função impulso unitário

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compreensão da função (t) pulso de área igual a 1 txdttttx

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multiplicação por uma função (de modo informal):

função degrau unitário como função da função impulso:

dtdtu

função trem de impulsos:

T kTtt

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rampa t,at tr r(t)

onda quadrada

T0/2 -T0/2 t x(t) A

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onda triangular

T0/2 -T0/2 t x(t) A

-A onda dente de serra

T0 t x(t) A

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algumas medidas em sinais: valor médio em um intervalo t:

t m dttxt

para sinais periódicos:

t m dttxT

extraindo o valor médio de um sinal tem-se a componente alternada:

valor rms:

Px rms

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2. Sistemas

Introdução É um dispositivo que processa um sinal aplicado em sua entrada.

É um processo (ou conjunto de operações interconectadas) que resulta numa transformação de um sinal.

Admitindo H[ . ] um operador que denota a transformação então:

H[.] x(t) y(t)

x(t): sinal de entrada e y(t): sinal de saída

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HM[.] x(t) y(t) H2[.] H1[.]

Diagrama de blocos conexão série ou cascata conexão paralelo

Sinais e Sistemas marcelo bj 26 conexão com realimentação x(t) y(t)

+ ou -

Interconexões combinadas

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Exemplo:

C R i(t) i1(t) i2(t) v(t) tidttiC tv titititititi entrada: i(t) v(t): saída - dtti

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3. Propriedades dos sistemas

A saída depende da entrada somente para o instante atual. tRitv dttiC

O resistor é um sistema sem memória:

sistema sem memória

O capacitor é um sistema com memória:

sistema inversível

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sistema causal:

sistema causal (causalidade)

Um sistema é causal se a saída em qualquer instante de tempo depender somente de valores presentes e/ou passados do sinal.

sistema estável (estabilidade)

Um sistema é estável se para toda entrada limitada a saída também é limitada.

BIBO: bounded input / bounded output

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sistema invariante no tempo

Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no sinal de entrada produzir o mesmo deslocamento no sinal de saída.

sistema linear (linearidade) Um sistema é linear se ele satisfaz o princípio da superposição.

ai constantes quaisquer.

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sistema linear:

ai = 1 sistema linear aditivo. ai 1 sistema linear homogêneo.

exercícios:

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