Guidorizzi solution volume 2 - cap. 1, Notas de estudo de Física

Baixe Guidorizzi solution volume 2 - cap. 1 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! CAPÍTULO 1 Exercícios 1.1 1. Seja: [0,1] > R dada por 1 0 se read) 1 se refaz) 2 Seja P uma partição qualquer de [0, 1] fO)= n PIO=W <<<. <x | <x<..<x=lescja S f(ci) 4x; uma soma de Riemann de f relativa a esta partição. i=1 Se nenhum dos c1, c,, ..., cy pertencer ao conjunto fo 1 À então a soma de Riemann será zero. 2 Admitindo que algum ou alguns (um, dois ou três) c; pertença ao conjunto fo 1 ih 2 então fc) = le flc;)) Ax; = Ax; (para cada c; E fo. 1 ip. Portanto, 2 a 3 sei) sx; |<3 máx dx. i=1 Dado & > 0, existirá 8 = £ (que só depende de &) tal que: 3 a 3 f(ci) Ax; |< e sempre que máx Ax; <ô. i=1 Em qualquer caso, temos, independentemente da escolha dos c; e para toda partição P de [0, 1], com máx Ax, < ô, que z fic) Ax—0|<e. i=1 Portanto, n | lim SD f)Ag=0= f fl) dx. i=1 máx dx,>0 3 ato 1 se 0<x<l ' a) Seja f(x)=44 se x=1 ! 2 se I<x<2. --0 y 1 Seja P uma partição qualquer de [0, 2]: 1H—d 1 ' 1 ! 1 pa PIO=SQ<mS Sm <H<.<m=2 qa 3 2 Suponhamos que 1 E Ex; -+ x). Temos n ja n 3 rcmar=> Lei) xi + fej) 4x; + 3 flki) Ax;, onde fc E (1,2,4) i=1 i=1 | i=j+i 5 =3 Hho) Gy x) +22-2)=3- (>) +) Gy =D) + (a). Segue que a IS, fico sx —3|= x; >; [+ 4x; a; +12; |= 6 máx dx. i=1 Dado £ > 0 e tomando-se ô — tem-se a máxAx;<ô > Is Fc) Ax; —3|< e. i=1 a Então, lim 3 f(c;) Ax; = 3 independentemente da escolha de c;. máx 8x0 A 2 Logo, f é integrável e J fajdx=3. 0 . Jx se x€Q A Seja =", se xg0. SejaP:-1=m)<m<..<x 1 <x<..<x,= | uma partição qualquer de [-1, 1] 1 e Z seja um ponto dessa partição. Escolhamos c; + O da seguinte forma: c, irracional se c;<0€ c; racional se c; > 0. Desse modo, ftc;) > O para todo i. Segue que a soma de . . “a 1a 1 Riemann será maior que a área do retângulo de vértices |, 0) z2) (,0)e|1, z) n ou seja, 3 Flci) Ax; > + (Concorda?) Por outro lado, escolhendo c; racional se c; < O i=1 n ec; irracional se c; > O teremos f(c;) < 0, para todo i, e portanto, 3 flci) Ax; <0. i=1 2