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Sistemas Lineares invariantes no tempo

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Introdução

Importância do estudo:

•boa parte dos sistemas físicos são bem modelados como um sistema linear invariante no tempo, SLIT,

•existe um poderoso conjunto de ferramentas matemáticas que ajuda a caracterizá-los.

Nesta parte do curso vamos estudar três tipos de representações destes:

•resposta ao impulso do sistema (a integral de convolução),

•representação por equação diferencial linear com coeficientes constantes,

•representação utilizando diagrama de blocos.

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Introdução

Revisão das propriedades para um sistema linear invariante no tempo,

•representações:

Um sistema LIT é identificado pelas as seguintes propriedades: •linearidade princípio da superposição,

•invariância ao deslocamento,

•a partir destas duas propriedades podemos caracterizar completamente o sistema.

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Deslocamento na entrada mesmo deslocamento na saída invariância no tempo:

é válido o princípio da superposição: linearidade:

nomenclatura: sistemas LTI (ingles) ou LIT ou SLIT

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Representação de um sistema pela resposta ao impulso [h(t)] a integral de convolução

Definição:

•a resposta ao impulso de um sistema LIT é o sinal de saída quando aplica-se na entrada a função impulso unitário (t),

• é representada por h(t).

•primeiramente vamos estudar a representação de uma função utilizando a função (t), em seguida aplicar este resultado em sistemas lineares.

slit (t) h(t)

Sistemas LTI marcelo bj 6 contráriocaso t t

considere: • x(t) um sinal qualquer,

• euma aproximação em degraus de x(),

•em que cada degrau é representado pelo seguinte pulso:

t

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representação em degraus de x(t):

ktkxtxˆ

•desde que o produto (t) é igual a 1, então x(t) pode ser aproximada por:

x(t) (t)

t

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Conforme 0 a aproximação torna-se cada vez melhor. • no limite tem-se que:

ktkxlimtx 0

•considerando o limite note que: •k um valor qualquer ,

•portanto a somatória torna-se uma integral do tipo:

•x(t) pode ser representada por uma soma de impulsos deslocados.

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A integral de convolução Seja h(t) a resposta de um sistema LIT ao impulso unitário:

suponha que seja aplicado no sistema um sinal x(t) tal que: •x(t) seja uma aproximação em degraus (como anteriormente),

•assim, para um instante particular k tem aplicado na entrada do sistema o seguinte pulso:

t

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t como a resposta do sistema LIT ao pulso:

• então a resposta do sistema ao pulso será:

por hipótese o sistema é linear, então: • podemos aplicar o princípio da superposição,

•isto é, a saída é a soma de todas as contribuições individuais de cada pulso deslocado.

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Novamente, conforme 0 a aproximação torna-se cada vez melhor. • assim, no limite tem-se que:

•a equação acima é conhecida como integral de convolução ou integral de superposição,

•corresponde à representação de um sistema LIT em termos de sua resposta ao impulso h(t),

• ela é representada por:

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Propriedades de um sistema LIT 1. comutativa:

txththtx **

2. distributiva:

x(t) y(t) h1(t) + h2(t) x(t) y(t) h2(t) h1(t)

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3. associativa:

x(t) y(t) h2(t) h1(t) x(t) y(t) h2(t) h1(t)

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exemplo: prova da propriedade comutativa:

por definição trocando a variável de integração: t – τ = λ

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4. sistemas sem memória:

•em um sistema sem memória a saída depende da entrada somente para o instante atual.

5. inversibilidade x(t) yi(t) = x(t) hi(t) h(t) x(t) yi(t) = x(t) (t)

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6. sistemas causais:

•um sistema é causal se a saída depende somente dos valores presentes e/ou passados da entrada.

•para a integral de convolução tem-se:

dtxhdthxty

7. sistemas estáveis:

•um sistema é estável se para toda entrada limitada a saída também é limitada (BIBO).

•seja:então, x

Sistemas LTI marcelo bj 25 Mtx dhM dtxhdtxhty

dhh(t) deve ser absolutamente somável

•exemplo: verifique para que condições de a, que o sistema abaixo é estável.

A e dtAedtth aatat

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8. resposta ao degrau unitário:

fornece informações sobre o comportamento do sistema para mudanças abruptas no sinal,

ela está relacionada com a resposta ao impulso.

exemplo: encontre a resposta ao degrau unitário para um circuito RC tal que:

deRC dueRC

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Representação através de equações diferenciais lineares forma geral da representação:

k k k k k tx d bty d a

ak e bk coeficientes constantes

N: [ a maior derivada de y(t) ] ordem do sistema; é o número de dispositivos que armazenam energia (capacitores, indutores).

A solução consiste de duas partes:

solução homogênea ( resposta natural ) yh(t) solução particular yp(t)

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a solução da equação diferencial necessita de um conjunto de N condições auxiliares:

elas resumem as condições dos dispositivos que armazenam energia ( tensões nos capacitores, correntes nos indutores )

para um sistema linear e causal admite-se uma condição inicial de repouso:

neste caso o sistema é também invariante no tempo e a saída pode ser calculada admitindo:

ty dt d ty ty N

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Solução homogênea ou resposta natural: yh(t) a resposta natural é a saída do sistema quando a entrada é nula:

h k k ty da equação homogênea

a solução apresenta a seguinte forma:

i ecty

em que os i são as raízes da seguinte equação característica:

k a

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se uma das raízes se repete M vezes são incluídos M termos:

tMtt i

 reais EXPONENCIAIS REAIS.

com relação ao tipo de raízes, tem-se os seguintes tipos de saída: Imaginárias SENÓIDES.

complexas SENÓIDES AMORTECIDAS.

Solução particular: yp(t)

a solução particular é obtida através da resposta forçada, supõe-se que a saída tenha a mesma forma geral da entrada.

wtsencwtcoscwtcos cee c t

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se a entrada tiver a mesma forma da resposta natural então a solução particular deve ser modificada:

t t ectte,e natural particular

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Representação através de diagrama de blocos

Definição: Interconexão de operações elementares que agem no sinal de entrada.

Os sistemas descritos por equações diferenciais com coeficientes constantes podem ser representados por um diagrama de blocos de operações elementares. Três operações básicas são utilizadas:

c multiplicação por escalar: x(t) cx(t) adição: x(t) x(t) + g(t)

t dxintegração:

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considere o sistema descrito pela equação diferencial:

k k k k k tx d bty d a

considere a seguinte operação de integração recursiva:

t n dgtg 1

g(n)(t) a n-ésima integral de g(t) g(0)(t) = g(t)

Admitindo N M kN k k txbtya

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Exemplo ilustrativo para N = 2:

d btx d btxbty d aty atya 2

•escrevendo a equação acima através de uma soma de integrais:

txbtxbtxbtyatyatya

•isolando y(t)

•calculando a integral (dupla) d btx d btxbty d aty atya 2

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tyatyatxbtxbtxbtya

•portanto

tyatyatxbtxbtxba

•isolando y(t) operações em x(t) operações em y(t)

•a partir da equação acima poder construir o diagrama de blocos do sistema.

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tyatyatxbtxbtxba x(t) g(t) 1/a2

-a0 FORMA DIRETA I

•tem-se dois sistemas LTI em cascata: AZUL e o VERMELHO, •podemos trocar o ordem de execução (propriedade comutativa).

g(t)

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•trocando a ordem de operação dos sistemas:

•w(t) alimenta os dois conjuntos de integradores idênticos, •portanto eles podem ser agrupados em um só,

•tem-se então uma nova forma de diagrama de blocos.

w(t) y(t)

Sistemas LTI marcelo bj 38 y(t) 1/a2

vantagem:

• utiliza um número menor de integradores em relação à forma direta I.

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Generalizando a forma direta I:

y(t) bN 1/aN

x(t)

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exemplo de aulas passadas:

C R i(t) i1(t) i2(t) v(t) tidttiC tv titititititi entrada: i(t) v(t): saída dt.

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