análise de Fourier 01 marcelo bj 1

Análise de Fourier série de Fourier - primeira parte análise de Fourier 01 marcelo bj 2

Introdução

Sinais elétricos são em geral descritos no domínio do tempo.

medidas de: amplitude, valor máximo, período, potência,

Representação no domínio do tempo:

em muitas situações a representação no domínio do tempo não é suficiente para descrevê-lo completamente.

Representação no domínio da frequência:

largura de banda,

espectro de frequência, componentes de frequência importantes, •série de Fourier (para sinais periódicos).

•transformada de Fourier (para sinais aperiódicos).

•espectro Densidade de Potência (para sinais de informação - sinais aleatórios).

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Resposta de um sistema LIT a exponenciais complexas

Considere um sistema LIT, com resposta ao impulso h(t), em que que é aplicado na entrada uma exponencial complexa, x(t), tal que:

em que s0 é um número complexo da forma: s0 = 0 + j 0 h(t)

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utilizando a integral de convolução calculamos a saída y(t):

assim, a resposta do sistema apresenta a seguinte forma:

0 sHety

•observe que o mesmo sinal da entrada está presente na saída, somente que alterado por H(s0).

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a saída apresenta a mesma forma da entrada,

•ela é modificada por H(s) em amplitude e fase, pois H(s) é um número complexo.

est é chamada de autofunção do sistema.

H(s) é chamada de autovalor.

observe também que a operação de convolução entre a entrada e saída foi substituída pela operação de multiplicação.

entrada: exponencial complexa ou senóide

saída: exponencial complexa ou senóide

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aplicando uma combinação de exponenciais na entrada tem-se:

N tsN tsts sHeasHeasHeaty N k ts k sHeaty

a saída é uma combinação linear de exponenciais complexas.

pista: sinais podem ser representados por uma combinação linear de exponenciais complexas do tipo eskt .

tsts N

H[ . ] como o sistema é LIT

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Representação em série de Fourier de sinais periódicos anteriormente foi apresentado dois tipos de sinais periódicos:

twsenjtwcose tjw

sinal cossenoidal

exponencial complexa

e o conjunto de exponenciais ejkwot complexas, relacionadas harmonicamente:

0 wkwk

T k

frequência de cada harmônico

período de cada harmônico (k ≠ 0)

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Uma combinação linear do conjunto de exponenciais complexas pode ser escrita da seguinte maneira:

tjkw k eatx

A equação acima é a série de Fourier para sinais periódicos.

k j eAa são os coeficientes da série complexos

termo constante ou dc primeiro harmônico ( freq. fundamental )

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exercício 1: considere a série exponencial abaixo:

0 weatx tjkw k

expandindo a equação acima e agrupando os sinais de mesma frequência tem-se:

análise de Fourier 01 marcelo bj 10 x0 + x1 x0 + x1 + x2 x0 + x1 + x2 + x3

exercício 1 (continuação)

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Determinação dos coeficientes da série de Fourier tjkw k eatx

multiplicando ambos os lados da equação acima por tjnw tjnwtjkwk tjnw tjnwtjkw k

T tjnw dteeadtetx

integrando em um período:

trocando a ordem da integral com a somatória:

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T twnkj

T tjnw dteadtetx nk,T nk, dte

T twnkj

como:

tjkw k dtetxT tjkw

0 funções ortogonais

base para funções periódicas

portanto:

análise de Fourier 01 marcelo bj 13 tjkw k dtetxT tjkw k eatx

Observações:

o intervalo de integração não precisa ser o anterior, basta que seja feito em um período,

o par de equações que define a série exponencial de Fourier é mostrado abaixo:

equação de síntese: reescreve o sinal a partir dos coeficientes ak.

equação de análise: calcula os coeficientes ak.

análise de Fourier 01 marcelo bj 14 exercícios:

Condições de existência da série

A convergência da série é garantida se as condições de Dirichlet forem satisfeitas:

x(t) é um sinal limitado (absolutamente integrável ou somável em um período),

x(t) apresenta um número finito de máximos e mínimos em um período,

se x(t) apresenta um número finito de descontinuidades em um período.

Se o sinal satisfizer as condições acima e não for contínuo então a série convergirá para o ponto médio de x(t) em cada descontinuidade.

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exercício 2:

0 twcostwcostwsentx

|ak| ak

-2-1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 módulo par fase ímpar

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T ak,kwsenk a k

dteT a tjkw

exercício 3: onda quadrada t, tx

/ksen a k

/ksen a k

To = 4 To = 8

OBS: neste caso, em particular os coeficientes são reais

análise de Fourier 01 marcelo bj 17 ak k ak k

Gráficos dos coeficientes ak

/ksen a k

/ksen a k

To = 4 To = 8 análise de Fourier 01 marcelo bj 18 Espectro de Fase

Espectro de Amplitude Espectro de amplitude e de fase

-2w0 wo 0 w0 2wo w

|ak|

w

ak

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Função sinc xsen xsinc

-3 -2 -10 1 2 3

sinc(x)

1 lóbulo principal xsen xcsinlim

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exercício 4: onda dente de serra s/radwst t,ttx jk a k ek ou

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análise de Fourier 01 marcelo bj 2 análise de Fourier 01 marcelo bj 2

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análise de Fourier 01 marcelo bj 24 análise de Fourier 01 marcelo bj 24

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Propriedades da série de Fourier

1. Linearidade:

k tjkwkSF d aebttxty

Sejam dois sinais periódicos x(t) e y(t) e períodos iguais.

período T0 e frequência w0 = 2 /T0 tais que:

A e B constantes 2. Deslocamento no tempo:

OBS: |bk| = |ak| somente a fase é alterada.

análise de Fourier 01 marcelo bj 26

Muda somente a frequência fundamental ( w0 ) e os valores dos harmônicos ( k w0 ). Os coeficientes permanecem os mesmos:

3Reversão no tempo:
4Compressão / expansão:

twjkk

SF o eatytxty k ab

5Multiplicação de sinais:

lklk

SF bactytxtz

análise de Fourier 01 marcelo bj 27 k kT m adt|tx|T

6Conjugado complexo:

k SF*

7Integração e diferenciação:

SF t a jkw bdxty

SF ajkwbtx

8. Relação de Parseval:

análise de Fourier 01 marcelo bj 28 k k k kkm |a|aaP

Espectro densidade de potência:

A relação de Parseval relaciona a energia no domínio do tempo com o da frequência. Elas devem ser as mesmas.

O gráfico do módulo ao quadrado dos coeficientes com a frequência é chamado de espectro densidade de potência.

Pm análise de Fourier 01 marcelo bj 29 exercícios:

9Simetria da função:

Função par:

os coeficientes ak são reais. Função impar

os coeficientes ak são imaginários.

Observação: Para um sinal real qualquer

Os coeficientes ak complexos conjugados |ak| função par

Fase de ak função ímpar.

análise de Fourier 01 marcelo bj 30 análise de Fourier 01 marcelo bj 30

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Série trigonométrica de Fourier

Para sinais reais os coeficientes ak aparecem na forma de números complexos conjugados tais que:

k j kkj k eAaeeAa

O módulo permanece o mesmo. Portanto x(t) pode ser escrita na seguinte forma:

k tkwcosAAtx forma compacta

análise de Fourier 01 marcelo bj 3 k tkwsenCtkwcosBatx dttkwcostxTB T dttkwsentxTC T

Considerando os coeficientes ak na forma retangular, isto é, k jCBa então:

relação com os coeficientes da série exponencial:

k B

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-5-3 -1 0 1 3 5

Exercício 5: t x(t) a k

os coeficientes ak são reais como a função é par temos somente termos em cossenos, os coeficientes bk são nulos.

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Espectro de amplitude e de fase eetwcostx 0

-w00 w0
0w0
série trigonométricasérie exponencial

espectro unilateral espectro bilateral

É o gráfico dos coeficientes da série de Fourier em função da frequência (harmônicos).

|ak| espectro de amplitude k espectro de fase unilateral bilateral

análise de Fourier 01 marcelo bj 36 cos

twjtwj eetwtwsentx

-w00 w0
0w0

espectro de amplitude |ak|

-w00 w0
0w0

/2 espectro de fase k unilateral bilateral

análise de Fourier 01 marcelo bj 37 exercícios:

análise de Fourier 01 marcelo bj 38 análise de Fourier 01 marcelo bj 38

análise de Fourier 01 marcelo bj 39 análise de Fourier 01 marcelo bj 39 análise de Fourier 01 marcelo bj 40

Joaquim, M. B. e Sartori, J. C., Análise de Fourier, CD-ROM, EESC-USP, 2003.

bibliografia complementar

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