05 analise Fourier II

05 analise Fourier II

análise de Fourier I marcelo bj 1

Análise de Fourier transformada de Fourier - segunda parte

análise de Fourier I marcelo bj 2

Introdução: da série à transformada de Fourier kwsen

Ta k

-
-T0/2T0/2
To  

T0 ↑ -> w0 ↓

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equação de análiseequação de síntese
diretainversa

Transformada de Fourier

dwejwXtx jwt

dtetxjwX jwt

equação de análiseequação de síntese
diretainversa

•utilizando frequência em rad/s:

•admitindo um sinal de energia finita tem-se:

jwXespectro de amplitude jwXoujw espectro de fase

•em geral a transformada de Fourier direta conduz a uma função complexa tal que, módulo fase •representação gráfica marcelo bj 4

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Para que a transformada de Fourier exista, o sinal x(t) deve satisfazer as seguintes condições:

•número finito de descontinuidades,

•número finito de máximos e mínimos,

•absolutamente integrável,

Sinal com energia finita condições de existência (Dirichlet):

análise de Fourier I marcelo bj 6 exercício 1: transformada de Fourier do pulso retangular com largura

P(f) = sinc(f ) p(t) = ret(t/ ) fcfPt rettp sin

análise de Fourier I marcelo bj 7 exercício 2: transformada de Fourier de um sinal exponencial.

jwa wX espectro de amplitude espectro de fase

-aa
-aa

transformada wa wX w arctanw

análise de Fourier I marcelo bj 8 exercício 3: transformada de Fourier da impulso unitário. = ( )

a transformada de Fourier da função (t) é igual a 1 (constante), contém todas as componentes de frequência.

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Transformada de Fourier para sinais periódicos

Um sinal periódico não é absolutamente integrável, portanto, a princípio, ele não possui transformada de Fourier,

como a série e a transformada estão relacionadas.,

assim, podemos obter a transformada de Fourier diretamente da série, utilizando os resultados para a função impulso, isto é,

se X(w) for uma combinação linear de impulsos, isto é, k kwwawX 0 tjkw k eatx

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Transformada de Fourier para sinais periódicos:

k kwwawX 0 k kffafX 0 exercícios tjkw k eatx

A transformada é dada por uma série de impulsos localizados nas frequências dos harmônicos, com coeficientes iguais ao da série exponencial de Fourier.

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Propriedades da transformada de Fourier

1. Linearidade: considere dois sinais x1(t) e x2(t)

2. Deslocamento no tempo

Seja:

•O módulo (espectro de amplitude) permanece o mesmo |X(w)|, •somente a fase é modificada -w .

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3. Se x( t ) é real, então:

O módulo é uma função par e a fase é ímpar

4. Integração e diferenciação wXjwtx dt

TF t nTF n

•Estas propriedades são muito utilizadas em sistemas LIT. •Exemplo: função degrau unitário

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5. Compressão/Expansão compressão no tempo ↔ expansão na frequência

TF 1

7. Teorema de Parseval energia no domínio do tempo = energia no domínio da frequência

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8. Área sob x(t)

9. Área sob X(w)

10. Convolução

1. Multiplicação

exercícios

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12. Deslocamento na frequência ( teorema da modulação )

0 wwXe.tx

exercício:

propriedade muito utilizada em telecomunicações (deslocamento espectral) f W - W

X(f) f0 f f0 + W f0 - W - f0 0

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Diagrama de Bode Representação polar da transformada de Fourier wY wH

Módulo ou magnitude:

•informações sobre as amplitudes das exponenciais complexas

para um sistema LIT:

ganho do sistema fase do sistema

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O módulo ou a magnitude é descrito em escala decibel [dB]:

diagrama de bode gráfico do ganho e/ou da fase contra a frequência

•observe na equação acima que o gráfico em escala logarítmica (bode) é aditivo,

•facilita um desenho manual. a fase é descrita em radianos ou em graus,

os gráficos são feitos com eixo de frequência em escala logarítmica,

é feita uma aproximação das curvas por linhas retas.

É uma representação gráfica muito utilizada para se observar a resposta em frequência H(w) de um sistema.

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considere uma função de transferência de primeira ordem tal que:

p/wlogKlog logwH dB

o módulo é dado por:

Se jw = - p0 => H(w) vai para o infinito (curva pode apresentar picos nesta frequência) => p0 é um polo de H(w).

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O primeiro termo da equação é uma constante. Admitindo K = 1: dBKlogA 0120

0 12020 p/wlogKlogjwHA

Para o segundo termo da equação acima, interessa-nos os valores de frequências (limites) abaixo e acima em relação a w = p0.

o ganho é linear na escala logarítmica frequência de corte

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Na região em que w > = p0:

20p/wlogAw1w2

w2 = 2w1 (oitava)

w2 = 10w1 (década) w1 w2

análise de Fourier I marcelo bj 28 exercício: circuito RC

fRCj fH

ganhofase

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Resposta em frequência de sistemas LIT

Vamos admitir um sistema LIT descrito por uma equação diferencial com coeficientes constantes tal que:

k k k k k tx d bty d a

aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da equação acima tem-se que:

k k k k k tx d bty d a

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pela propriedade da linearidade:

k k k k k tx d bty d a

aplicando a propriedade da diferenciação:

k k k wXjwbwYjwa k k

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Portanto, rearranjando a equação anterior tem-se, k k k k jwa jwb wY wH

H(w) é uma função racional de w (ou jw) com polinômios no numerador e denominador,

os coeficientes dos polinômios são os da equação diferencial,

H(w) ou H(jw) é conhecida como a resposta em frequência do sistema.

análise de Fourier I marcelo bj 32 exercícios

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Seja um sistema LIT com resposta ao impulso, tueth t ktj eatx •determine a saída admitindo como entrada

•por inspeção a resposta em frequência do sistema é,

•resposta do sistema à função(autofunção)

tjw ewHty 0

•então, ktj eakHty

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•substituindo H(w) na equação anterior, ktjk e

•amplitudes dos coeficientes na entrada e saída, a kbak tabela análise de Fourier I marcelo bj 35

•O sistema comporta-se como um filtro, observe que os harmônicos de frequências mais altas apresentam amplitudes atenuadas [pelo filtro] na saída do sistema/filtro.

•para casa: escreva os sinais de entrada e saída como uma soma de cossenos.

análise de Fourier I marcelo bj 36 exercício semelhante ao anterior melhor exemplificado

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0.3 13 6 30

ganho 0.95 0.95A ganho 0.7 0.7A entrada entrada entrada saída saída saída

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