Exercícios Resolvidos: Sentido da Concavidade, Exercícios de Matemática

Baixe Exercícios Resolvidos: Sentido da Concavidade e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Concavidade Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 24/09/2017 Seja ƒ () : R→ R uma função continua e diferenciável num intervalo (, b), com  e b ∈ R e ƒ ′′() 6= 0, então: „ ƒ () tem concavidade para cima no intervalo (, b) se ƒ ′′() > 0; „ ƒ () tem concavidade para baixo no intervalo (, b) se ƒ ′′() < 0; Exemplo 1: Estude o sentido da concavidade da função ƒ () = cos() para  ∈ (0, 2π)? Solução: Observe que: „ A função cos() é contínua e diferenciável em [0, 2π], logo, também é contínua e diferenciável no intervalo (0, 2π). „ A segunda derivada da função (escreve-se ƒ ′′()) é diferente de zero. Com a ocorrência das duas condições acima podemos aplicar o teste da derivada segunda. Note que a segunda derivada de ƒ () é −cos(). ƒ () = cos() ⇒ ƒ ′() = −sen() ⇒ ƒ ′′() = −cos() Olhando o círculo trigonométrico 1 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA cosseno seno 0π π/2 3π/2 percebe-se que a inequação: −cos() < 0 ocorre apenas para  ∈  0, π 2 ‹ e  3π 2 ,2π  . e −cos() > 0 ocorre para  ∈  π 2 , 3π 2  . Concluímos então que nos intervalos (0, π/2) e (3π/2, 2π) a concavidade é voltada para baixo. Já no intervalo (π/2, 3π/2) a concavidade é voltada para cima. Exemplo 2: Estude o sentido da concavidade da função ƒ () = 4 − 43. Solução: Como a função é polinomial ela é contínua e diferenciável em todo o R e como ƒ ′′() 6= 0 , então podemos usar o teste da derivada segunda. ƒ () = 4 − 43 ⇒ ƒ ′() = 43 − 122 ⇒ ƒ ′′() = 122 − 24 Finalmente resolvemos ƒ ′′() > 0 e ƒ ′′() < 0. „ Resolvendo a inequação 122 − 24 > 0 chega-se à:  ∈ (−∞,0) e  ∈ (2,∞). „ Resolvendo a inequação 122 − 24 < 0 chega-se à:  ∈ (0,2). 2