Tensor de tensão, inércia e círculo de Mohr

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Podemos ver a inércia máxima está no ponto A. e a mínima está em B, com ′ ′=0.

á e definem as inércias principais do plano.

3.3. Tensor de inércia

Podemos tomar uma matriz com elementos de inércia para um plano qualquer, onde os eixos x e y estão no plano, e o eixo z está ortogonal ao plano.

De fato e serão zeros, já que não possui elemento de área nos planos z-x e z-y, e

será equivalente à inércia polar . Assim para a matriz de inércia, o tensor de inércia está definido para rotação em torno do eixo z (normal ao plano), e possuirá 3 autovalores e 3 autovetores, dois dos quais apontam para o máximo e mínimo momento de inércia, e o último aponta na direção de z, que é invariante com a rotação em torno de z.

A matriz acima é preenchida considerando os eixos x, y no plano e z normal ao plano, mas pode ser refeita para qualquer caso, seja x,z no plano e y normal ou y,z no plano e x normal.

3.4. Rotação do tensor de inércia Se retornarmos as equações anteriores de inércia em eixos rotacionados na seção 3.2:

′ ′= , já que o plano em 3.1 não possui dimensão nem área em z. Essas equações podem ser reescritas de forma:

Ou

Para a primeira equação matricial, podemos escrever o produto matricial como sendo: ′= ∙ ∙

Onde L representa a matriz de rotação dos eixos x,y.Como = −1, a inversa é igual a transposta, multiplicando a esquerda por L.

Se estamos interessados em ′ com as inércias máximas e mínimas, ′ ′ e ′ ′ se anulam, e ′ equivale a uma matriz diagonal. Pelo teorema da diagonalização em álgebra linear,

L é formado por autovetores e ′contém os autovalores em sua diagonal.

Onde são autovalores da matriz I, e são os autovetores associados aos respectivos autovalores . Para encontrar esses autovalores, devemos fazer:

Uma solução é 1= , e seu autovetor é [0 0

E as outras duas soluções, são a resolução da equação:

Isso prova a equivalência entre círculo de Mohr e matriz de inércia.

Após achar 2,3, encontre os autovetores 2e 3 associados e eles estarão apontados na direção dos eixos principais de inércia ′e ′.

4. Exemplos

Exemplo 1: Encontre os momentos de inércia e produtos de inércia para a área mostrada na figura abaixo em relação ao centróide da peça. Encontre os principais momentos de inércia de área usando Mohr e o método de autovalor e autovetor.

Solução: Dividindo a peça em duas figuras C1 e C2:

Onde a = 1, podemos achar o centróide por onde passam os eixos x’y’:

Os momentos de inércia com relação ao centróide podem ser calculados utilizando-se do teorema dos eixos paralelos:

O produto de inércia também pode ser calculado utilizando o teorema dos eixos paralelos:

Encontrando os momentos de inércia principais pelo método de autovalor e autovetor:

Utilizando o círculo de Mohr nós temos que os momentos de inércia principais podem ser determinadas fazendo o centro (C) somado ao raio (R):

Exemplo 2: Determine as principais tensões do elemento abaixo utilizando Mohr e o método de autovalor e autovetor. Além disso, determine o estado de tensao no elemento rotacionado em + 30º em torno de z.

Solução: Construindo o tensor:

τyx < 0 , pois a área aponta para +y e a tensão em –x.

Método de autovalor e autovetor:

Ao realizar o determinante encontramos 2=72,6 1=25,4 que são σmáx e σmín, respectivamente.

assim os autovetores n1 e n2 respectivos a λ1 e λ2

Assim, após realizar os cálculos

Para determinar os autovetores substituímos 1 e 2 em ( − ) =0 encontrando encontramos:

Portanto, para determinar o ângulo podemos fazer um produto interno entre 1 e o vetor unitário do eixo :

Pelo círculo de Mohr:

Utilizando o círculo de Mohr nós temos que as tensões principais podem ser determinadas fazendo o centro (C) somado ao raio (R):

O ângulo pode ser determinado da seguinte forma:

Substituindo os valores pode-se obter =18,2º para σy , então para σx =71,8º.

Rotacionando o elemento em +30° em torno de z. Utilizando tensor:

Utilizando Mohr:

Referências bibliográficas

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