exercícios sinais sistemas

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Lista de Exercícios – Sinais e Sistemas

Marcelo Basilio Joaquim

Lista de Exercícios No. 1 – Sinais e Sistemas

Números complexos

1.Mostre que:

a) AAe j = θ

−=θ j eej sen 2

2.Desenhe θjAez=no plano cartesiano e mostre que ()()θθjAsenAz+=cos 3.Prove o teorema de Moivre: ()()[]()()θ+θ=θ+θnjsenncosjsencosn

4.Admitindo θjAez=determine e desenhe no plano cartesiano: a) ( )piθ±= jAez1 b) ( )piθ 2 ±= jAez

5.Sendo θjAez=, z1 e z2 números complexos, mostre que: a) ( )z Re2* =+

Sinais e sistemas 6.Para o pulso retangular mostrado abaixo determine x(2t+3).

-1

1

7.Um sinal contínuo no tempo é mostrado na figura abaixo. Desenhe com escalas cada um dos seguintes sinais:

-1

0 1 2 3

8.Considere o pulso triangular mostrado na figura abaixo. Esboce cada um dos seguintes sinais: a) x(t-1) + x(t) + x(t+1)b) x(t-2) + x(t) + x(t+2)c) x(3t-2) d) x(2(t-2))

-1

0 1

9.Desenhe a forma de onda dos seguintes sinais: a) u(t) – u(t-2)b) u(t+1) – 2u(t) + u(t-1)c) –u(t+3) + 2u(t+1) – 2u(t-1) + u(t-3)

10.Mostre que o produto de dois sinais pares ou de dois sinais ímpares resulta em um sinal par. Mostre também que o produto de um sinal par por um sinal ímpar é um sinal ímpar.

1.Mostre que:

a dttx 0

dttxdttx 0 2

13.Determine a integral ()0>∆∫− εττ ε t d, para as seguintes funções trem de impulsos:

0 T 2T 3T 4T t

(função degrau) b) Δ(t)

0 T 2T 3T 4T t

(onda quadrada)

14.Considere os sinais mostrados na figura abaixo. Pede-se: 2 a)Frequência fundamental em Hz e rad/s, b)Potência média, c)Valor rms da amplitude.

0	0.1 0.2 0.3 0.4

0 0.1

0.2 0.3 0.4

15.Sejam x(t) e y(t) dois sinais periódicos com períodos T1 e T2, respectivamente. Sob que condições o sinal soma x(t) + y(t) é periódico? E se ele é periódico, qual é o seu período fundamental?

16.Determine se ou não cada um dos sinais abaixo é periódico. Para os periódicos determine o período fundamental.

5 tsentx pi

n ntetx 23

17.Calcule a energia ou então a potência dos seguintes sinais:

18.Considere que: ()()()2−δ−+δ=tttx. Calcule o valor da energia para o seguinte sinal:

ττ= t dxty

19.O sinal senoidal ()()63002/tcostxpi+= é aplicado a um dispositivo de lei quadrática tal que:

a)Mostre que a saída do dispositivo consiste de um componente dc mais um componente senoidal, b)Determine o valor do componente dc, c)Determine a frequência e a amplitude do componente senoidal, d)Valor de pico de y(t), e)Valor rms de y(t) (eficaz).

20.Determine se os sistemas abaixo são: sem memória, invariante no tempo, linear, causal e estável. a) ( ) ( ) ( )txtxty −+−= 2 ττ= t dxty

ττ= t dxty

dty =

21.Seja um sistema cuja relação entre entrada e saída é dada por: ()()btaxty+=, em que a e b são constantes. Pergunta-se: a)O sistema é linear? – justifique. b)Para que condições de a e b o sistema é linear?

Lista de Exercícios No. 2 – Sistemas LIT

2.Determine a integral de convolução entre os seguintes sinais: a) ( ) ( ) ( ) ( )tAuthea,tuetx at =>= − 0 c t t tx

23.Utilize a definição da integral de convolução para provar as seguintes propriedades: a) distributiva: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )th*txth*txthth*tx 2121 +=+

24.Mostre que se y(t) = x(t)*h(t) então y(-t) = x(-t)*h(-t) 25.Mostre que se x(t) = 0, t > T1 e h(t) = 0, t > T2 então y(t) = 0, t > t1 + T2.

26.Considere os seguintes sistemas LTI em que h(T) é a resposta ao impulso. Determine se eles são estáveis e/ou causais. Justifique a resposta.

27.Considere o sistema mostrado na figura abaixo, formado por dois sistemas em paralelo com respostas ao impulso:

a)Encontre a resposta ao impulso do sistema total, b)O sistema é estável?

28.Considere o sistema mostrado na figura abaixo, formado por dois sistemas em cascata, com respostas ao impulso:

a)Encontre a resposta ao impulso do sistema total, b)O sistema é estável?

29.Encontre a resposta natural do circuito RL mostrado abaixo em que x(t) é uma tensão de entrada e y(t) é a corrente de saída. Admita y(0) = 1.

LR y(t)x(t)

30.Para o exercício anterior encontre a resposta particular e a resposta total admitindo:

31.Encontre a resposta do circuito RC mostrado abaixo, admitindo: x(t) = u(t) e y(0) = -1V.

32.Considere um sistema LTI, causal, cuja entrada x(t) e saída y(t) são relacionadas pela seguinte equação diferencial:

a)Se ()()()tuetxtj31+−=, qual é y(t)? b)Determine a saída y(t) para a seguinte entrada:

Utilize o resultado da parte (a), notando que Re[x(t)] = x1(t)

3.Considere o circuito RLC mostrado abaixo: R L

Cx(t) y(t) a)determine a resposta natural, d determine a resposta natural para os seguintes valores de

R, L e C: b1) R = 0, L = C = 1b2) R = L = C = 1b3) R = 2, L = C = 1

34.Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:

dt dty dt

35.Determine e esboce as soluções das seguintes equações diferenciais:

36.Determine o diagrama de blocos (forma direta I) dos seguintes sistemas LTI:

dtxty dt dty

dt dtxtyty dt dty

37.Calcule a resposta ao degrau para os seguintes sistemas LTI:

38.Escreva e equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t) para o sistema representado pelo diagrama de blocos abaixo. (observe que ()()ty dt dtf=). Determine também a resposta em frequência e a resposta ao impulso do sistema.

Lista de Exercícios No. 3 – Séries de Fourier

39.Um sinal x(t) real, com período fundamental T0 = 8, apresenta os seguintes coeficientes não nulos para a série exponencial de Fourier:

Determine x(t) na forma ()∑k

k tkwcosA 0

2 pipi determine w0 e os coeficientes ak da

série de Fourier.

41.Determine a série de Fourier para os seguintes sinais: a) ( ) ( ) ( )tsentsentx pi+pi−pi= 622

pi

0 twcostwcostwsentx

pi

d)onda quadrada com período T0: t,

h)onda triangular: ()()periodicaTt T

Atx 2

j) periódica t,tsen tx

42.Determine a série de Fourier do sinal mostrado na figura abaixo:

43.Suponha que são dadas as seguintes informações a respeito de x(t): a)x(t) é real e ímpar, b)periódica com T0 =2 e apresenta série de Fourier, c)ak = 0, |k| > 1

Determine dois sinais que satisfazem as condições acima.

a)Linearidade	b)Deslocamento no tempo c) Compressão/expansão no tempo
d)Simetria par e ímpar	e)Relação de Parseval.

4.Demonstre as seguintes propriedades da série de Fourier:

45.Uma técnica para se construir uma fonte dc simples é pegar um sinal ac periódico e retificá-lo utilizando um retificador de onda completa. Isto é, colocamos o sinal x(t) na entrada de um sistema que produz uma saída y(t) = |x(t)|. Admitindo x(t) = cos((t), pede-se: a)O sistema é linear ou não linear? b)Desenhe as formas de onda na entrada e na saída. c)Quais os períodos e frequências fundamentais dos sinais de entrada e de saída. d)Determine os coeficientes da série de Fourier da saída y(t). e)Qual a amplitude da componente dc do sinal de entrada? f)Qual a amplitude da componente dc do sinal de saída?

46.Repita o problema anterior admitindo um retificador de meia-onda e compare os resultados.

Lista de Exercícios No. 4 – Transformada de Fourier

47.Determine a transformada de Fourier e esboce ao menos o espectro de amplitude dos seguintes sinais:

= tArettx

ta etx t,t tx

g)x(t) como na figura abaixo:

-2

0 2

48.Determine a transformada de Fourier inversa das seguintes funções:

= W wAretwX 2 w,wcos wX 0

wsenwX

= (utilize a propriedade da convolução)

49.Utilize o teorema de Parseval para determinar a seguinte integral:

50.Um sistema LTI apresenta a seguinte resposta ao impulso: ()()tuteth22− = a)Esboce o espectro de amplitude e fase da resposta em frequência (diagrama de Bode: amplitude e fase).

b)Determine o sinal de saída do sistema quando o sinal de entrada é dado por: ()()tutetx−=3

51.Suponha um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por: ()()tuteth−= e seja x(t) o sinal de entrada do sistema tal que:

aqueemeatx k tkjk pi

a)Determine ao sinal de saída do sistema. (Faça uma tabela com os valores das amplitudes dos harmônicos da entrada e da saída e interprete os resultados).

52.Utilize a propriedade da convolução para encontrar a transformada de Fourier da seguinte função: 9

53.Desenhe o diagrama de Bode das seguintes respostas em frequência: a) ( ) 101 /jwwH +=

54.A figura abaixo representa o diagrama de blocos de um sistema LTI de segunda ordem, o qual se pretende analisá-lo. a.Escreva a equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t). (observe que dt dtf = .

b.Determine a resposta em frequência H(w) e identifique os seus polos. c.Determine a resposta ao impulso h(t). d.Desenhe o diagrama de Bode (linear por partes) da resposta em frequência (somente o módulo).

Lista de Exercícios No. 5 – Transformada de Laplace

5.Determine a transformada de Laplace e a região de convergência dos seguintes sinais: a) ( ) ( ) 0>−= atuatetx ta etx

56.Determine a transformada de Laplace dos seguintes sinais: a) ( ) ( ) 0>−= atuattetx

c)Baseando-se nos itens a e b, determine também a transformada de Laplace do seguinte sinal:

= atuate !n nttx

57.Dado que 2 →←sstx , determine a transformada de Laplace de:

ττt dx

58.Determine a transformada de Laplace inversa de:

ssX s ssX s ssX

ssX s ssX s sssX s ssX .

a)Desenhe todas as regiões de convergência possíveis, b)Assinale as condições causais, não-causais e bilaterais, c)Assinale as regiões estáveis e não-estáveis, d)Forneça a resposta temporal para cada um dos casos.

60.Sabendo que os quatro diagramas de zero-polos abaixo correspondem a sinais causais, determine o correspondente sinal no domínio do tempo para cada um deles.

σ jw jw ×

jw ×

61.Considere um sistema LTI com resposta ao impulso: ()()tuteth22−=. Determine o sinal na saída do sistema quando se aplica na entrada o seguinte sinal: ( ) ( )ttutx =

62.Considere um sistema com M zeros e M polos tais que: kkkkkkjpejcβ+α−=β+α=. As localizações deles são simétricas em torno do eixo jw. Pede-se: a)Mostre que |H(w)| = 1 (sistema passa-tudo). b)Determine e esboce a resposta de fase e de amplitude para um par zero-polo tal que:

s ssX

63.A interconexão realimentada de dois sub-sistemas causais com funções do sistema A(s) e G(s) é dada na figura abaixo. Encontre a função do sistema total H(s).

Lista de Exercícios No. 6 – Família de Filtros 64.Considere um filtro passa-baixas ideal com resposta em freqüência:

w wH

Admitindo como entrada do filtro o sinal:

Determine o sinal na saída do filtro.

65.Um sinal x(t), cuja série de Fourier é dada por:

é aplicado na entrada de um filtro passa-baixas ideal com resposta em frequência,

Encontre o sinal y(t) na saída do filtro.

6.Mostre que, para N ímpar (ordem do filtro), o filtro de Butterworth passa-baixas apresenta um polo real em s = -Ωc.

67.Admitindo Ap (em dB) a atenuação máxima na banda de passagem e As a atenuação mínima na banda de atenuação. Determine uma fórmula para se determinar o valor de N para o filtro de

Butterworth em função de Ωp e Ωs.

68.Uma oitava é a diferença entre duas frequências Ω1 e Ω2, na qual uma é duas vezes a outra. Mostre que para o filtro de Butterworth nas frequências altas (Ω >> Ωc) a atenuação A(Ω) tem uma inclinação de aproximadamente 6N dB/oitava.

69.Determine a função de transferência de um filtro de Butterworth de ordem 2 com frequência de corte Ωc = 1 rad/s.

70.A partir do resultado do exercício anterior determine a função de transferência de um filtro com frequência de corte igual a 1 kHz.

71.Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev de ordem 2, com frequência da banda de passagem Ωp = 1 rad/s e ondulação igual a 1 dB.

72.Deseja-se projetar um filtro passa-baixas com as seguintes especificações: - banda de passagem: 0 a 1 MHz e atenuação ≤ 1dB

- banda de atenuação: acima de 2 MHz e atenuação ≥ 40 dB a)Determine a ordem do filtro de Butterworth, b)Determine a ordem do filtro de Chebyshev, c)compare os resultados.

73.Deseja-se projetar um filtro passa-baixas com as seguintes especificações: - banda de passagem: 0 a 2pi1000 rad/s e atenuação ≤ 1dB

- banda de atenuação: acima de 2pi1500 rad/s 2 MHz e atenuação ≥ 50 dB a)Determine a ordem do filtro de Butterworth, b)Determine a ordem do filtro de Chebyshev, c)Determine a ordem do filtro Elíptico, d)compare os resultados.

74.Encontre a ordem para um filtro de Chebyshev passa-baixas com as seguintes especificações: - banda de passagem: 0 a 0.5 MHz e ondulação ≤ 0.2dB

- banda de atenuação: acima de 1 MHz e atenuação ≥ 50 dB.

75.Repita o exercício anterior admitindo ondulação máxima igual a 1 dB. Compare os resultados.

76.Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev que satisfaça as seguintes especificações: ondulação na banda de passagem r = 2 dB, Ωp = 1000pi rad/s (Fp = 500 Hz), Ωs = 4000pi rad/s (Fs = 2000 Hz), As = 40 dB.

7.Considere um filtro de Chebyshev tipo I de terceira ordem, com frequência da banda de passagem igual a Ωp rad/s. Dado que: ()xxxC343 3−=, e que a ondulação “ripple” na banda de passagem é igual a 1 dB. Determine o valor da magnitude da resposta em amplitude do filtro para as frequências: Ω = Ωp e Ω = 2Ωp.

78.Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev tipo I que satisfaça as seguintes especificações: atenuação máxima banda de passagem 2 dB, Ωp = 2000pi rad/s (Fp = 1000 Hz), Ωs = 4000pi rad/s (Fs = 2000 Hz), atenuação mínima na banda de atenuação As = 20 dB.

79.Determine a ordem de um filtro elíptico que satisfaça as seguintes especificações: atenuação máxima (ou ondulação) na banda de passagem 0.1 dB, Ωp = 900 rad/s, Ωs = 1000 rad/s e atenuação mínima na banda de atenuação As = 50 dB.

80.A função de transferência de um filtro de Butterworth de ordem 3 é dada por:

Encontre a função de transferência para um filtro passa-altas com frequência de corte 1 rad/s. Desenhe o módulo da resposta em frequência.

81.Para o exercício anterior qual seria a função de transferência do filtro para uma frequência de corte qualquer Ωc?

82.Considere um filtro passa-baixas de primeira ordem com função do sistema:

sH Ω+ a)Transforme o filtro acima em um filtro passa-altas com frequência Ωp. b)Transforme o filtro acima em um filtro passa-banda com frequências da banda de passagem, inferior e superior Ω1 e Ω2, respectivamente. c)Transforme o filtro acima em um filtro rejeita-banda com frequências da banda de rejeição, inferior e superior Ω1 e Ω2, respectivamente. d)Compare os resultados.

83.Considere um filtro passa-baixas com função de transferência ()3 += s sH. A partir deste filtro, encontre a função de transferência do filtro passa-banda que apresenta freqüência de ressonância de 12 rad/s e largura de banda igual a 4.0 rad/s.

84.Considere um filtro passa-baixas com função de transferência ()3 += s sH. A partir deste filtro, encontre a função de transferência de um outro filtro passa-baixas que apresenta freqüência de corte igual a 12 rad/s.

85.Considere um filtro passa-baixas de primeira ordem com função do sistema:

Encontre a função de transferência do filtro passa-banda com frequência de ressonância Ω0 = 1 rad/s e largura de banda igual a 0.1 rad/s.

86.Considere a seguinte função de transferência: ( ) wss ssH

a)O tipo de filtro descrito por()sH (explique claramente), b)Mostre que a máxima magnitude do filtro ocorre em0ww=e determine o ganho nesta frequência.

87.Uma distorção multi-caminho ocorre quando um sinal chega a um receptor por dois caminhos com diferentes atrasos, como mostra a figura abaixo.

a)Encontre a função do sistema H(s). b)Desenhe a magnitude de H(s) em função da frequência para α = 1 (limite). c)Para compensar a distorção em x(t) utiliza-se um filtro equalizador com função de transferência Heq(s) = 1/H(s). Admitindo como equalizador um filtro transversal como mostrado abaixo, encontre Heq(s) e a0, a1, a2, a3 para α < 1.

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