05 wiener grad

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wiener marcelo bj 1 Filtros de Wiener wiener marcelo bj 2

Problema que se encontra em engenharia:

Estimação de um sinal desejado [s(n)] a partir de um outro [x(n)] em que x(n) consiste do sinal desejado mais um sinal de ruído ou interferência v(n), isto é, x(n) = s(n) + v(n)

objetivo:

•projetar um filtro que minimiza a interferência aditiva e ao mesmo tempo preserva as características do sinal desejado.

Filtros Clássicos:

Os filtros passa baixas, etc., raramente restauram o sinal em algum sentido ótimo.

Solução filtros ótimos: filtros de Wiener ou então de Kalman.

utilizam métodos dos mínimos quadrados

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1. Introdução ao problema

Problema:

Projeto de um filtro com resposta ao impulso h(n) que produz uma estimativa ótima de s(n).

O erro quadrático médio entre as amostras originais e as estimadas deve ser mínimo, isto é,

= E[ e2(n) ]MIN

Este critério tem a vantagem de ser simples na implementação e no tratamento matemático

H(z) x(n) = s(n) + v(n) s(n) estimativa ótima de s(n) erro na estimativa

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2. Filtro de Wiener FIR Admitindo um filtro FIR com M coeficientes constantes, então:

l zlhzH

Sendo x(n) o sinal de entrada, então o sinal estimado será dado pela soma convolução entre h(n) e x(n). Assim:

l lnxlhns

Encontrar os coeficientes h(k) : k = 0, 1,M-1 tal que o erro

Problema: quadrático médio seja mínimo, isto é:

MÍNIMO nsnsEneE

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3. Cálculo dos h(k) Derivando em relação a h*(k) tem-se:

ne neE neneE kh

Derivada do conjugado do erro:

knx kh nsns

Para que o erro seja mínimo tem-se que:

Sinal de erro e de entrada devem ser ortogonais. Princípio da ortogonalidade.

x e substituindo

wiener marcelo bj 6 l lnxlhnsnsnsne como:

knxlnxlhknxnsE knxlnxElhknxnsE

portanto:

Mklkrlhkr

Equações de Wiener- Hopf

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Na forma matricial: sxx x x rMrMr

Mrrr Mrrr

Rx = h h r r sx sx

Matriz de Toeplitz (hermitiana) xH = [XT]*

Erro mínimo:

sxsMIN lrlhnr

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4. Aplicação prática Em muitas aplicações sinal e ruído são admitidos descorrelacionados.

vsx R nvnsnx ssx

e as equações de Wiener-Hopf se tornam:

Solução das equações sxx rhR .Rx Matriz de Toeplitz

(hermitiana) xH = [XT]*

Algoritmos de Levinson e de Cholesky

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5. Filtro de Wiener como supressor de ruído

Estimação de um sinal s(n) a partir de uma medida x(n) contaminada por ruído aditivo.

x(n) = s(n) + v1(n)

Neste caso,as estatísticas do ruído são obtidas através de um sensor secundário como mostra a figura.

O sinal é utilizado para estimar o ruído v1(n).

Filtro de Wiener h(n)

+ sinal s(n) ruído

O ruído medido nos dois sensores são correlacionados mas não são iguais: o filtro estima v1(n) a partir de v2(n).

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Obtenção das equações de Wiener-Hopf

Sinal de entrada v2(n)

sinal a ser estimado v1(n)

equações de Wiener-Hopf: v rhR

Cálculo da correlação cruzada:

kxv kvv rknvnxE knvnsEknvnxE knvnsnxEknvnvEr xvv rhR

Observe que x(n) e v2(n) são sinais disponíveis e portanto é possível uma implementação prática deste filtro.

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5.1 Exemplo Sinal desejado:

Os sinais de ruído foram gerados considerando um modelo AR(1):

brancoruídongonde ngnvnv

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6. Filtro de Wiener IIR

MÍNIMO nsnsEneE

kkrlkrlh

Neste caso h(n) tem duração infinita.

Tem-se disponível uma medida x(n) contaminada por ruído aditivo.

x(n) = s(n) + v(n)

Dois tipos de filtros: causal e não causal. 6.1 Filtro de Wiener não causal

Saída do filtro:

Problema: Encontrar o filtro que minimiza o erro quadrático médio:

Solução: derivando o erro com relação aos h*(k) tem-se que:

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No domínio da freqüência:

jw sxjw eP eH

Erro quadrático médio mínimo:

sxs jw*sx jwjw sMIN lrlhrdwePeHeP 0

No caso de sinal e ruído serem descorrelacionados:

jwvjw s jw sjw ePeP jwjwvjw s jwjwvjw s eHePeP eHePeP Sinal predominante ruído predominante

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6.2 Exemplo

Sinal AR(1) com Edp:

zP s

Ruído branco com variância: 2

Resposta do filtro:

zzb b zH wiener marcelo bj 15

Apêndice Exemplos de filtragem de um sinal de voz

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Filtro de Kalman

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Filtro de Wiener

2 Sinal Limpo

2 Sinal Ruidoso

2 Sinal Filtrado

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Filtro de Butterworth

2 sinal limpo

2 sinal ruidoso

2 sinal filtrado wiener marcelo bj 19

Tabela Comparativa

Butterworth Wiener

Filtro

Kalman

Aumento na SNR

5 dB

8 dB 18 dB

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