05 wiener grad
wiener marcelo bj 1 Filtros de Wiener wiener marcelo bj 2
Problema que se encontra em engenharia:
Estimação de um sinal desejado [s(n)] a partir de um outro [x(n)] em que x(n) consiste do sinal desejado mais um sinal de ruído ou interferência v(n), isto é, x(n) = s(n) + v(n)
objetivo:
•projetar um filtro que minimiza a interferência aditiva e ao mesmo tempo preserva as características do sinal desejado.
Filtros Clássicos:
Os filtros passa baixas, etc., raramente restauram o sinal em algum sentido ótimo.
Solução filtros ótimos: filtros de Wiener ou então de Kalman.
utilizam métodos dos mínimos quadrados
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1. Introdução ao problema
Problema:
Projeto de um filtro com resposta ao impulso h(n) que produz uma estimativa ótima de s(n).
O erro quadrático médio entre as amostras originais e as estimadas deve ser mínimo, isto é,
= E[ e2(n) ]MIN
Este critério tem a vantagem de ser simples na implementação e no tratamento matemático
H(z) x(n) = s(n) + v(n) s(n) estimativa ótima de s(n) erro na estimativa
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2. Filtro de Wiener FIR Admitindo um filtro FIR com M coeficientes constantes, então:
l zlhzH
Sendo x(n) o sinal de entrada, então o sinal estimado será dado pela soma convolução entre h(n) e x(n). Assim:
l lnxlhns
| Encontrar os coeficientes h(k) : k = 0, 1, | M-1 tal que o erro |
Problema: quadrático médio seja mínimo, isto é:
MÍNIMO nsnsEneE
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3. Cálculo dos h(k) Derivando em relação a h*(k) tem-se:
ne neE neneE kh
Derivada do conjugado do erro:
knx kh nsns
Para que o erro seja mínimo tem-se que:
Sinal de erro e de entrada devem ser ortogonais. Princípio da ortogonalidade.
x e substituindo
wiener marcelo bj 6 l lnxlhnsnsnsne como:
knxlnxlhknxnsE knxlnxElhknxnsE
portanto:
Mklkrlhkr
Equações de Wiener- Hopf
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Na forma matricial: sxx x x rMrMr
Mrrr Mrrr
Rx = h h r r sx sx
Matriz de Toeplitz (hermitiana) xH = [XT]*
Erro mínimo:
sxsMIN lrlhnr
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4. Aplicação prática Em muitas aplicações sinal e ruído são admitidos descorrelacionados.
vsx R nvnsnx ssx
e as equações de Wiener-Hopf se tornam:
Solução das equações sxx rhR .Rx Matriz de Toeplitz
(hermitiana) xH = [XT]*
Algoritmos de Levinson e de Cholesky
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5. Filtro de Wiener como supressor de ruído
Estimação de um sinal s(n) a partir de uma medida x(n) contaminada por ruído aditivo.
x(n) = s(n) + v1(n)
Neste caso,as estatísticas do ruído são obtidas através de um sensor secundário como mostra a figura.
O sinal é utilizado para estimar o ruído v1(n).
Filtro de Wiener h(n)
+ sinal s(n) ruído
O ruído medido nos dois sensores são correlacionados mas não são iguais: o filtro estima v1(n) a partir de v2(n).
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Obtenção das equações de Wiener-Hopf
Sinal de entrada v2(n)
sinal a ser estimado v1(n)
equações de Wiener-Hopf: v rhR
Cálculo da correlação cruzada:
kxv kvv rknvnxE knvnsEknvnxE knvnsnxEknvnvEr xvv rhR
Observe que x(n) e v2(n) são sinais disponíveis e portanto é possível uma implementação prática deste filtro.
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5.1 Exemplo Sinal desejado:
Os sinais de ruído foram gerados considerando um modelo AR(1):
brancoruídongonde ngnvnv
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6. Filtro de Wiener IIR
MÍNIMO nsnsEneE
kkrlkrlh
Neste caso h(n) tem duração infinita.
Tem-se disponível uma medida x(n) contaminada por ruído aditivo.
x(n) = s(n) + v(n)
Dois tipos de filtros: causal e não causal. 6.1 Filtro de Wiener não causal
Saída do filtro:
Problema: Encontrar o filtro que minimiza o erro quadrático médio:
Solução: derivando o erro com relação aos h*(k) tem-se que:
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No domínio da freqüência:
jw sxjw eP eH
Erro quadrático médio mínimo:
sxs jw*sx jwjw sMIN lrlhrdwePeHeP 0
No caso de sinal e ruído serem descorrelacionados:
jwvjw s jw sjw ePeP jwjwvjw s jwjwvjw s eHePeP eHePeP Sinal predominante ruído predominante
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6.2 Exemplo
Sinal AR(1) com Edp:
zP s
Ruído branco com variância: 2
Resposta do filtro:
zzb b zH wiener marcelo bj 15
Apêndice Exemplos de filtragem de um sinal de voz
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Filtro de Kalman
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Filtro de Wiener
2 Sinal Limpo
2 Sinal Ruidoso
2 Sinal Filtrado
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Filtro de Butterworth
2 sinal limpo
2 sinal ruidoso
2 sinal filtrado wiener marcelo bj 19
Tabela Comparativa
Butterworth Wiener
Filtro
Kalman
Aumento na SNR
5 dB
8 dB 18 dB