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Famílias de Respostas de Filtros família de filtros marcelo bj 2

Introdução

Filtros seletivos em frequência, são sistemas lineares invariantes no tempo,

a função primária de um filtro é selecionar, com pouca ou nenhuma atenuação, determinadas componentes de frequência e rejeitar ou remover todas as outras componentes de um sinal aplicado em sua entrada,

tais filtros de são chamados de filtros seletivos em frequência para diferenciar de outros tipos de filtros,

em um contexto mais amplo define-se um filtro como um dispositivo que modifica as componentes de frequência de um sinal aplicado em sua entrada,

análise e projetos destes filtros são baseados no domínio da frequência, família de filtros marcelo bj 3

Introdução

os filtros são utilizados onde há necessidade de redução de ruído e equalização de sinais,

em geral, quando se trabalha com sinais, o primeiro tratamento no sinal é um processo de filtragem.

aplicações:

telefonia, sistemas de TV e áudio, radar, sonar, medidas, controle, etc,

em todas aplicações onde há alguma forma de tratamento dos sinais envolvidos.

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Definições preliminares

Um filtro seletivo em frequência é um sistema linear invariante no tempo. Ele pode ser representado pelo diagrama de blocos abaixo, em que x(t) é o sinal de entrada e y(t) o de saída.

filtro x(t) y(t)

Utilizando a transformada de Laplace, a relação entre entrada e saída do sistema é dada por:

H(s) é a função do sistema H(jΩ) é a resposta em frequência

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Forma polar de H(j )

a resposta de amplitude é uma função adimensional, em geral ela é expressa em escala logarítmica, decibel (dB), isto é, dB 10 resposta de amplitude resposta de fase

a resposta de fase é expressa em graus ou em radianos.

•|H( )| também é chamado de ganho do sistema, o inverso de H( ) é chamado de atenuação,

jH jH jA dB 10 log20

família de filtros marcelo bj 6 exemplo: filtro RC

Ganho em dBfase

família de filtros marcelo bj 7 exemplo família de filtros marcelo bj 8 característica em frequência dos filtros seletivos ideais

Um filtro deixa passar por seus terminais as componentes frequências dos sinais estão em determinadas bandas ou faixas ( chamadas de banda de passagem) e rejeita ou atenua as componentes de frequências que estão em outras bandas (bandas de atenuação ou de rejeição ou de parada).

O filtro é classificado por sua resposta de amplitude;

a forma da resposta de amplitude (o módulo ou magnitude de H( )) classifica o filtro,

conforme com a localização das bandas de passagem e de rejeição, se obtém um tipo especifico de filtro,

para um filtro ideal a resposta de amplitude é constituída de retas paralelas ao eixo de frequências ( ) – figura à frente, família de filtros marcelo bj 9 característica em frequência dos filtros seletivos ideais

assim, para um filtro ideal as bandas de passagem e de rejeição são planas e a transição entre elas apresenta uma inclinação infinita,

desse modo pode-se obter os seguintes tipos de filtros: •passa-baixa,

•passa-banda ou passa-faixa,

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Tipos de filtros ideais

Parâmetros

frequência de corte Ωc ou Fc, banda de passagem,

banda de transição (linhas tracejadas),

banda de atenuação,

atenuação máxima na banda de passagem,

atenuação mínima na banda de atenuação,

frequência de ressonância Ω0 ou F0:

H a (j )

c

c1 c2 passa-baixa passa-alta passa-banda rejeita-banda

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Um filtro ideal é fisicamente irrealizável,

os circuitos realizáveis (práticos) apresentam como função de transferência uma razão de polinômios e portanto não possuem descontinuidades,

a figura abaixo mostra a resposta de um filtro passa-baixa ideal e sua aproximação realizável.

exercício 2 jp jH

0 c s irrealizável realizável

|H(j )| - 3 dB

família de filtros marcelo bj 12 k k k k s sH

Função do sistema

Um filtro realizável, é representado, no domínio da frequência, pela função do sistema que é uma razão entre dois polinômios, tais que,

em que: k e k são coeficientes constantes e N é ordem do filtro.

•a maior potência (M) do numerador define o número de zeros da função de transferência,

•a maior potência (N) do denominador define o número de polos de H(s). A ordem N define a seletividade da função de transferência e a taxa de atenuação na banda de transição.

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Famílias de respostas

As respostas em frequência mais importantes e mais utilizadas nos projetos de filtros são:

resposta de Butterwoth,

resposta Chebyshev,

resposta Cauer ou filtros elípticos,

resposta Bessel. O objetivo é aproximar o melhor possível a resposta dos filtros ideais.

Estas respostas são realizadas a partir de funções de transferência que são a razão entre dois polinômios em s.

Observação:

as famílias, aqui discutidas, são apresentadas para o protótipo passa-baixa, os outros tipos de filtros podem ser facilmente obtidos por transformação de frequências.

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Filtro de Butterworth

Nc N c s

•em que: c é a frequência de corte (queda de 3dB no ganho) e N é a ordem do filtro.

O filtro de Buterworth procura aproximar a característica plana da banda de passagem do filtro ideal através de uma função polinomial,

isto é, ele apresenta uma resposta de amplitude maximamente plana na faixa de passagem e uma resposta monotônica (decrescente) na banda de parada,

módulo ao quadrado da sua função de transferência é definido por:

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admitindo n = / c observa-se as seguintes propriedades: |H(0)| = 1 → ganho igual 1 na faixa de passagem,

|H(1)| = 0.707 → frequência de corte igual a 1 rad/s,

expandindo |H( n )| em série de Taylor tem-se que:

NnN n n jH

as derivadas de |H( n)| para n = 0 são todas nulas, isto é, n k por isso o nome: “aproximação maximamente plana”

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conforme N aumenta, a resposta de amplitude torna-se mais plana na faixa de passagem e a taxa de atenuação na banda de transição torna-se mais acentuada.

acima da frequência de corte, n >>1 ou >> c, a função de transferência exibe uma taxa de atenuação correspondente a 20N dB por década (cada vez que se aumenta por 10 a frequência) ou

6N dB por oitava (cada vez que se dobra a frequência). Nesta situação a resposta assintótica será:

N n n jA atenuação:

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Os polos do filtro de Butterworth:

s N/kj c N

estes polos estão localizados no semi plano esquerdo do plano s e em pontos regularmente espaçados de um círculo de raio c.

consequentemente, os polos que permitem que a equação acima seja estável são:

Os polos do filtro de Butterworth são aqueles anulam o denominador da função do sistema. Assim:

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localização dos polos módulo da função de transferência

1 N=2

N=3

N=4 exercício

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Especificações para o projeto de filtros passa-baixas Identificam-se três regiões na resposta de amplitude:

e uma banda de atenuação ou de parada (acima de s).

• p é a frequência da banda de passagem, s é a frequência da banda de atenuação, p e s são a atenuação máxima da banda de passagem e atenuação mínima da banda de parada.

p s banda de transição passagem atenuação ou parada ou rejeição

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Na faixa de passagem (0 a p) a atenuação não pode exceder a p.

Na banda de atenuação (acima de s) a atenuação não deverá ser menor que s.

Para se obter a melhor aproximação possível de um filtro ideal, a banda de transição BT = s - p deve ser a menor possível. Quanto menor a banda de transição, maior será a ordem do filtro.

Com estas informações determina-se facilmente a ordem N e a frequência de corte da característica de Butterworth.

Determinado N e c determina-se os polos.

Equações de projeto:

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: atenuação máxima na banda de passagem ou atenuação mínima na banda de atenuação.

: frequência da banda de passagem, ou frequência de início da banda de atenuação. obs: atenuação é o inverso do ganho.

Atenuação

Ordem N

Polos do filtro de Butterworth

/log N s p

As e Ap: são as atenuações em decibels

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Filtro de Chebyshev

Apresenta maior taxa de atenuação na banda de transição do que as outras famílias de filtros.

Tem-se dois tipos: I e I

TIPO I: Apresenta comportamento oscilatório na banda de passagem (equiripple) e monotônico na banda de atenuação.

TIPO I: Comportamento monotônico na banda de passagem e oscilatório na banda de atenuação.

H j

C N p

Resposta de amplitude: tipo I

: parâmetro controla a ondulação (ripple) na banda de passagem. CN(x): polinômio de Chebyshev de ordem N.

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O polinômio de Chebyshev de ordem N é dado por

1,coshcosh xxN xxN xC N

Fórmula de recursão para o cálculo de CN(x) xxCexCqueem xCxxCxC N

Cn(x) : Varia entre ± 1 para |x| 1 Aumenta monotonicamente para |x| > 1.

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Polinômios de Chebyshev

00.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

C N ( n )

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Resposta de amplitude para o filtro de Chebyshev: tipo I

p

Rad/s

N=2

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Propriedades 1. Para = 0 tem-se :

ímparN,

2. Para = p, o ganho é mínimo na banda de passagem ou máxima atenuação nesta banda:

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3. A ondulação (em dB) na banda de passagem é definida como:

MAX log

H logr

4. O número total de máximos e mínimos na banda de passagem é determinado pela ordem do filtro.

5. A banda passante é definida como a faixa de frequências em que a ondulação oscila na amplitude mínima.

rad/s

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Localização dos polos

Os polos do filtro de Chebyshev (tipo I) estão localizados em uma elipse cujos eixos maior (r1) e menor (r2) são dados por:

r e r p p localização dos polos

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O parâmetro depende de , e é dado por:

Cálculo dos polos:

k :queem senjrcosrp k k exercício

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Para o projeto dos filtros de Chebyshev são requeridos 4 parâmetros:

Frequências da banda de passagem e de atenuação: p e s;

Ondulação (ripple) ( p) ou atenuação máxima (banda de passagem) Atenuação mínima na banda de atenuação.

O parâmetro ε é calculado através da ondulação (ripple):

A ordem do filtro é determinada através de:

psp s log log N

família de filtros marcelo bj 31 p s cosh cosh N

ou mais usualmente,

Com os valores de N e , os polos são determinados pelas equações

calcula-se r1 e r2; calcula-se os polos pk k = 0, 1, 2, ..., N-1

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Efeitos dos parâmetros na resposta do filtro de Chebyshev

N = 5 r = 0,5 dB r = 0,5 dB r = 1,0 dB r = 2,0 dB r = 3,0 dB N=4

Variação na ordem do Filtro Variação do ripple na faixa de passagem

família de filtros marcelo bj 3 exemplo: Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev que satisfaça as seguintes especificações: ondulação na banda de passagem r = 2 dB, p = 1000p rad/s (Fp = 500 Hz),

s = 4000p rad/s (Fs = 2000 Hz), As = 40 dB ( MIN). Cálculo de :

Cálculo da ordem do Filtro:

.log log

. log

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Filtro de Chebyshev tipo I

Também chamado de filtro inverso de Chebyshev.

Apresenta comportamento monotônico na banda de passagem e oscilatório na banda de atenuação.

Para se obter a resposta em frequência deste filtro, a variável n é recolocada por 1/ n, o que transforma a resposta para passa-altas.

Subtraindo esta característica da unidade obtém o filtro passa-baixas de Chebyshev tipo I.

Neste caso, o módulo ao quadrado da resposta em frequência será dado por:

/C jH

: parâmetro controla a ondulação (ripple) na banda de atenuação. CN(x): polinômio de Chebyshev de ordem N.

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Resposta de amplitude para o filtro de Chebyshev: tipo I

N=2

N=3 N=4

N=6

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A função de transferência apresenta zeros e polos. Os zeros estão localizados no eixo imaginário tal que:

Os polos são os recíprocos daqueles do filtro convencional de Chebyshev (tipo I).

•Denotando os polos do filtro inverso de Chebyshev por:

s k k' ks sk e k são as partes real e imaginária do filtro de Chebyshev tipo I.

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Modo de se especificar o filtro de Chebyshev tipo I:

Frequência da banda de passagem ( p) e atenuação máxima permitida nesta banda Ap ( p).

Frequência da banda de atenuação ( s) e da atenuação mínima permitida nesta banda As ( s). O ganho máximo na banda de passagem é admitido ser igual a 1, tal

A ordem do filtro pode ser encontrada como o menor inteiro que satisfaz a seguinte relação:

p s cosh cosh

N p

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O fator de ondulação é dado por:

O filtro é projetado através do seguinte procedimento: Determina-se .

Determina-se a ordem do filtro.

Determina-se os zeros.

Calcula-se os polos do filtro de Chebyshev tipo I. Os recíprocos serão os polos do filtro inverso tipo I

A função de transferência, com ganho na banda passante igual a 1, é determinada por:

psps zszs p sH

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Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev tipo I que satisfaça as seguintes especificações:

•atenuação máxima banda de passagem Ap = 0.1 dB, p = 2000p rad/s (Fp = 1000 Hz),

• s = 4000p rad/s (Fs = 2000 Hz), atenuação mínima na banda de atenuação As = 20 dB.

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Chebychev tipo I - N = 6 r = 0,5 dB

Butter N = 6 comparação das respostas dos filtros de Butterworth e Chebyshev família de filtros marcelo bj 41

Filtros Elípticos

Os filtros elípticos (ou de Cauer) apresentam resposta em frequência com ondulações tanto na banda de passagem quanto na de atenuação.

A resposta em frequência é especificada do mesmo modo que nas seções anteriores.

ondulação ou variação máxima Ap ( p) na banda de passagem, banda de transição ( s - p),

ondulação ou resposta As ( s) na banda de atenuação, •A ordem (N) do filtro é determinada.

Especificando as ondulações e frequências da banda de transição este projeto conduzirá a um filtro com ordem mínima.

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A resposta em amplitude apresenta comportamento oscilatório (equiripple) tanto na banda de passagem quanto na banda de atenuação.

Ela apresenta zeros e polos, sendo uma generalização dos filtros de Chebyshev.

É caracterizada pela seguinte equação p N

G( ) é uma função racional, que é uma generalização do polinômio de Chebyshev, gerada através da função elíptica Jacobiana,

é o parâmetro relacionado com a ondulação na banda de passagem.

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Resposta de Amplitude para o filtro Elíptico

Rad/s

c

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Cálculo da ordem do filtro:

Determine o fator de seletividade:

Determine o fator de discriminação:

p d k q

determine a ordem:

q log d log exercício

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Filtro de Bessel

Os filtros de Bessel são uma classe de filtros somente com polos, caracterizados por apresentarem fase linear (atraso de tempo constante) na banda de passagem.

Eles são caracterizados pela seguinte função de transferência:

b sH em que: b0 = BN(0), e

BN(s) é o polinômio de Bessel de ordem N.

0 kNk aqueemsasB kN k

O polinômio de Bessel de ordem N, que pode ser expresso pela seguinte equação:

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Equação de Recursão para o polinômio de Bessel

com condições iniciais:

Diferentemente dos filtros de Butterworth e de Chebyshev, não existe uma regra simples para se determinar as raízes de B(s), porém elas podem ser determinadas através de métodos computacionais.

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