01 resumo sinal aleat discr

01 resumo sinal aleat discr

sinais aleatórios discretos marcelo bj 1 espectro densidade de potência sinais aleatórios discretos marcelo bj 2

o comportamento de um sinal “informação” não é previsível, suas variações são complexas, aleatórias,

o conhecimento de um sinal (fenômeno físico) em um dado instante de tempo não é suficiente para determiná-lo em outro instante,

existem incertezas a respeito do seu comportamento.

tais sinais são chamados de sinais aleatórios.

eles são caracterizados em termos estatísticos: média,

correlação, espectro densidade de potência,

variância, função densidade de probabilidade, função de auto-

função de auto-correlação, e espectro densidade de potência são as ferramentas utilizadas para se obter informações (medidas) destes sinais.

introdução

sinais aleatórios discretos marcelo bj 3 funçao de autocorrelação

mnmnmnmnx dxdxx,xpxxX,XEm,n

de um modo intuitivo, para um processo aleatório X: X(1) e X(2) são mais relacionados do que, por exemplo, X(1) e X(100000).

retirando a média tem-se a função de autocovariancia, sequência de autocovariância

sinais aleatórios discretos marcelo bj 4 sinais lentos sinais rápidos para processos aleatórios estacionários

variância ( potência ac ):

seja k = n – m, então, não dependem dos instantes n e m, mas somente do atraso k = n - m

sinais aleatórios discretos marcelo bj 5 espectro densidade de potência

O espectro densidade de potência é determinado a partir da função de autocorrelação;

um processo aleatório discreto no tempo é uma sequência de energia infinita: portanto, ele não possui transformada de Fourier.

mas apresenta potência média finita, fkj x fkj x dfefkeekf

então ele apresenta um espectro densidade de potência. •utilizando o teorema de Wiener-Kinchine tem-se que:

sinais aleatórios discretos marcelo bj 6

Observações:

x(f) representa a distribuição da potência do sinal em função da frequência.

Por este motivo x(f) é chamado de Espectro Densidade de Potência.

Para k = 0, temos a potência média do sinal (valor quadrático médio), isto é, sinais aleatórios discretos marcelo bj 7 médias temporais para um pa discreto no tempo

Na prática é comum ter-se somente uma sequência amostra do sinal aleatório.

neste caso utiliza-se as médias temporais, isto é, consideramos o processo em estudo como sendo um processo ergódico.

um processo ergódico apresenta as seguintes propriedades:

•uma única sequência amostra é representativa de todo o processo.

•assim, “As médias temporais convergem para as médias estatísticas.”

•a menos que especificado considera-se um processo como estacionário no sentido amplo e ergódico.

sinais aleatórios discretos marcelo bj 8

Sequência de autocorrelação:

N x knxnxN limkr 12

acpotênciamr x

Valor Médio:

N xn nxN limmx 12

Definições para processos aleatórios discretos ergódicos sinais aleatórios discretos marcelo bj 9

Estimativa das médias temporais

Uma limitação que se depara é que na prática é que se dispõe de uma única sequência aleatória com tamanho ou duração finita,

{ x(n), n = 0, 1, 2,, N-1 },

isto é, N é finito.

este caso, admitindo um processo ergódico, fazemos uma estimativa das médias temporais do sinal e admitimos que elas sejam iguais às médias estatísticas.

sinais aleatórios discretos marcelo bj 10 mvar x

O estimador é consistente quando N tende ao infinito (grande).

x nxN estimativa do valor médio de um sinal

sinais aleatórios discretos marcelo bj 1 x mnxN estimativa da variância de um sinal:

Valor esperado do estimador: x N

Variância do estimador:

x v:ondevEvEN

Para N a variância tende a zero.

sinais aleatórios discretos marcelo bj 12

Estimativa da função de autocorrelação:

x knxnxN

Primeiro modo:

x knxnx

1 Segundo modo:

sinais aleatórios discretos marcelo bj 13

Exemplo: Função de autocorrelação do ruído branco gaussiano com valor médio zero e variância igual a 1.

polarizada não-polarizada

sinais aleatórios discretos marcelo bj 14

0.2 polarizada

0.2 não polarizada

1 Exemplo: Função de autocorrelação de um trecho de um sinal de voz

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