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Estimação do Espectro Densidade de Potência Periodograma periodograma marcelo bj 2

Sinais, em geral, contém informações sobre um sistema físico, um fenômeno físico, etc.

Eles apresentam comportamento imprevisível, suas flutuações são complexas e por isso eles são caracterizados como processos aleatórios.

Para caracterizar um sinal deste tipo é necessário um tratamento estatístico,

no domínio do tempo as principais medidas são:

cruzada, função densidade de probabilidade,

•média, variância, função de autocorrelação, correlação

no domínio da frequência a medida principal é o: •espectro densidade de potência.

Introdução

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Nesta parte vamos estudar como determinar o comportamento em frequência destes sinais, utilizando a transformada discreta de Fourier, isto é,

vamos estudar como estimar o espectro densidade de potência de um sinal aleatório utilizando a tdf,

o resultado desta estimativa é conhecido como periodograma,

exemplo períodograma,

Introdução - cont

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O Espectro Densidade de Potência Caracterização dos sinais aleatórios no domínio da frequência:

sinais aleatórios apresentam energia infinita não possuem transformada de Fourier.

mas eles apresentam potência finita → apresentam espectro densidade de potência.

função de autocorrelação

se x(n) é um processo aleatório discreto, então a função de autocorrelação é definida como:

•em que k é um atraso temporal,

•quanto maior o atraso → maior a distancia entre x(n) e x(n+k) → menor a dependência entre as amostras.

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assim, a função de autocorrelação é uma medida no tempo, •ela está diretamente relacionada com as variações do sinal,

•portanto contém informações sobre o seu conteúdo de frequências do sinal.

sinais lentos – banda estreita sinais rápidos – banda larga

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O Espectro Densidade de Potência é definido como a transformada de Fourier da função de autocorrelação do sinal, isto é, fkj xxTF x

este resultado é conhecido como teorema de Wiener-Khintchine,

ele nos conta que para determinar o espectro densidade de potência de um sinal aleatório precisamos conhecer a sua função de autocorrelação,

e a obtenção da fac de um processo aleatório nem sempre é uma tarefa simples,

mas como veremos a seguir o podemos utilizar a tdf para estimar o espectro densidade de potência.

definição periodograma marcelo bj 7 situação prática

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é comum depararmos com a seguinte situação:

tem-se disponível somente uma função amostra do processo aleatório,

neste caso definimos a função de “autocorrelação temporal”,

M x knxnxM

a transformada de Fourier da equação acima fornece o espectro densidade de potência para a função amostra que se tem disponível, isto é, fkj periodograma marcelo bj 9

Se o processo aleatório é ergódico nos primeiro e segundo momentos então as médias temporais tendem às médias estatísticas, isto é, ffP kkr x

Tem-se ainda um outro problema:

em uma situação prática temos disponível somente um trecho finito do sinal a ser analisado (M finito),

•neste caso calculam-se as estimativas da função de autocorrelação e do espectro densidade de potência.

•para o espectro densidade de potência esta estimativa é conhecida como periodograma, como será estudado a seguir.

nesta situação o espectro densidade de potência pode ser calculado a partir da função de autocorrelação temporal rx(k).

periodograma marcelo bj 10 periodograma

Resumindo:

na prática encontramos dois problemas na determinação da função de autocorrelação e do espectro densidade de potência:

tem-se disponível somente uma realização do processo aleatório:

• portanto, é necessário a suposição de ergodicidade do processo,

a duração do sinal é finita:

•portanto tem-se que fazer uma estimativa da função de autocorrelação,

além disso, tem-se dois tipos de estimativas da fac: • a estimativa não polarizada,

• e a estimativa polarizada.

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Admitindo 0 n N-1 como o intervalo de observação do sinal:

A estimativa não polarizada da função de autocorrelação é dada por:

Nkknxnx kN kr x

O fator 1/(N-|k|) fornece uma estimativa consistente da fac.

Problema com esta estimativa:

para valores grandes no atraso k (próximos de N) ela apresenta variância muito grande.

razão: poucas amostras do processo x(n) entram no cálculo.

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NkknxnxN x

Fórmula mais apropriada para a estimativa polarizada da função de autocorrelação:

A equação acima apresenta vantagens:

para valores grandes de k, ela apresenta uma variância menor do que a anterior,

mantém a consistência e por isso é mais utilizada, •veja o exemplo a seguir.

periodograma marcelo bj 13 exemplo 1: Função de autocorrelação do ruído branco gaussiano com variância igual a 1.

1 polarizada (divide por 1/N) não-polarizada (divide por 1/N-k) função de autocorrelação teórica do ruído branco:

ruído branco

periodograma marcelo bj 14 estimativa do espectro densidade de potência esta estimativa é dada pela transformada de Fourier de fkj x ekrfP

substituindo fXN enxN fnj

este resultado é conhecido como PERIODOGRAMA.

x knxnxN

na equação anterior na equação acima obtém-se:

periodograma marcelo bj 15 fXN fPxx

observações importantes:

não há necessidade de se estimar a função de autocorrelação,

•assim, espectro densidade de potência pode ser estimado diretamente a através da transformada discreta de Fourier do sinal,

•ele é estimado em frequências discretas [ fk ],

•esta estimativa depende diretamente da quantidade de dados disponível, periodograma

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 Admitindo que se tem disponível N amostras { x(0), x(1),, x(N-1)}:

Utilização da TDF n N k j xxkxx enxN kPfP ak k ouN f k FfF f N k f

Frequência digital Frequência analógica

Resolução espectral Máxima frequência

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EXEMPLO 2:

Periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de frequências 100 Hz e 150Hz e frequência de amostragem 1 kHz.

Sinal N = 32 N = 128

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EXEMPLO 3: Periodograma de um ruído branco com valor médio nulo e variância igual á unidade.

SinalN = 128 N = 512

o aumento no número de pontos não diminui a variância do periodograma.

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Periodograma médio O exemplo anterior mostra que o periodograma não é consistente.

a razão para esta conclusão é a retirada do operador esperança no cálculo da fac temporal.

solução: utilizar o periodograma médio ou de Bartlett.

No cálculo do periodograma médio admite-se que:

se tem disponível uma sequência relativamente grande (N muito grande),

se o sinal é estacionário:

•então podemos então dividi-lo em sequências de tamanho menor,

• determina-se o periodograma de cada sequência menor,

• e faz-se a média de todos os periodogramas.

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Primeiramente a sequência de N amostras (N um valor grande) é subdividida em M segmentos não superpostos com L < N amostras cada um, tais que:

LnMiqueem iLnxnx i

Para cada segmento “i” calcula-se o periodograma:

nfj iki x enxL fP fqueem k

Periodograma médio

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Finalmente, calcula-se o periodograma médio utilizando a média abaixo:

ki xxkxx fPM

este procedimento permite uma estimativa do periodograma com variância reduzida por 1/M em relação ao anterior,

ele só pode ser aplicado nos trechos onde os sinais são estacionários,

veja o exemplo a seguir.

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EXEMPLO 4: Periodograma médio de um ruído branco com valor médio nulo e variância igual á unidade:

N = 1024 - L = 128 - M = 8

10 sinal period de um trecho period médio periodograma marcelo bj 23

Uso de janelas

Na formulação anterior o sinal foi considerado de tamanho finito. Na realidade estamos utilizando uma janela retangular para limitar o tamanho do sinal. Na maioria dos casos o uso de uma janela retangular pode mascarar algumas componentes de frequência de um sinal.

considerando sinais compostos de tons senoidais embebidos em ruído pode ocorrer uma situação na qual a componente de menor amplitude fica mascarada pelos lóbulos laterais da janela retangular,

nestes casos é recomendável o uso de uma janela de dados diferente da retangular,

a janela deve ser tal que não exista transições abruptas, como é o caso da janela retangular,

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em que w(n) é uma janela do tipo: •hamming, hanning, blackman, kaiser, etc.

No caso de uma janela diferente da retangular, os lóbulos laterais no domínio da frequência, são bem menores, minimizando os efeitos de mascaramento das componentes senoidais.

Assim, antes de se calcular o períodograma, o sinal é multiplicado por uma janela de dados tal que:

nfj kxx k enxnwN fP

Neste caso o periodograma será dado por:

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observe que temos um produto no tempo, isto é,

a convolução tende a “manchar” o espectro:

•portanto deve-se tomar muito cuidado com a escolha da janela e também com a escolha do seu tamanho:

como regra prática: • a janela deve conter de 2.5 a três “períodos” do sinal.

nxnw portanto, no domínio da frequência teremos a convolução:

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Algumas das janelas mais utilizadas:

Nn:queem n cos.

blackman hanning hamming

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Janela Retangular

domínio do tempodomínio da frequência

Freqüência em rad/s m p li d e d B

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Janela de Hanning

Nn, N

domínio do tempodomínio da frequência

Freqüência em rad/s m pl i tud e e m dB

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Janela de Hamming

Nn, N

domínio do tempodomínio da frequência

Freqüência em rad/s m p li d e d B

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Periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de frequências 100 Hz e 150Hz e freqüência de amostragem 1 kHz, utilizando janela de hamming e N =128.

Sinal retangular hamming

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Método de Welch Este método faz duas modificações no periodograma médio:

Os segmentos são permitidos se superporem.

Utiliza janelas diferentes da retangular.

Ele consiste de três passos:

O sinal é segmentado de tal forma que os segmentos permitam uma superposição de D amostras (em geral 50%).

alsindotamanho:N, L

Neste caso tem-se 2M-1 segmentos de tamanho L.

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Finalmente, calcula-se o periodograma médio:

ki xxkxx fPM

Cada segmento é multiplicado por uma janela w(n), diferente da retangular e calcula-se o periodograma:

nfj iki x enwnxUL fP ãonormalizaçdefatornwL U

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Periodograma de Welch de um sinal do exemplo anterior, admitindo: N = 1024 e L =128 pontos, janela de hamming e 50% de sobreposição, dando um total de 16 segmentos.

Sinal Um segmento Welch

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Melhoria na Visualização Gráfica

Pode ser utilização quando o conjunto de dados é pequeno e a resolução de frequências é baixa.

Neste acrescenta-se zeros ao sinal antes de calcular o periodograma:

LNNn

Nnnx nx

Em seguida calcula-se o periodograma:

nfj kxx k enxN fP

O acréscimo de zeros não melhora a resolução do periodograma, mas somente a visualização gráfica.

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Aumento da resolução gráfica de um periodograma de um sinal composto de dois tons senoidais de freqüências 100 Hz e 150Hz e freqüência de amostragem 1 kHz.

Sinal N = 24 L = 512 periodograma marcelo bj 36 apêndice periodograma marcelo bj 37 exemplo 01 – períodograma sinal composto de três tons senoidais

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1 sinal periodograma de um trecho periodograma médio sinal composto de três tons senoidais periodograma marcelo bj 39 exemplo 02 – períodograma de welch sinal composto de três tons senoidais

periodograma marcelo bj 40 sinal periodograma de um trecho periodograma médio sinal composto de três tons senoidais - welch periodograma marcelo bj 41 exemplo 03 fac e periodograma sinais de voz

periodograma marcelo bj 42

0.2 polarizada

0.2 não polarizada

exemplo de estimação da função de autocorrelação de um trecho sonoro de um sinal de voz

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períodograma de um sinal de voz - sonoro

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períodograma de um sinal de voz - sonoro

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períodograma de um sinal de voz – não sonoro periodograma marcelo bj 46 bibliografia

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