04 parametrico 2

04 parametrico 2

paramétrico marcelo bj 1 Estimação Espectral Paramétrica

em quesão, respectivamente, as estimativas da

paramétrico marcelo bj 2 função de autocorrelação e do espectro densidade de potência,

na prática não é necessário determinar ou estimar a função de autocorrelação,

o edp pode ser calculado diretamente a partir das funções amostras do sinal.

estimação espectral clássica fkj x ekrfP

vimos anteriormente que o espectro densidade de potência é definido como a transformada de Fourier da função de autocorrelação,

para sinais reais tem-se,

paramétrico marcelo bj 3

Neste caso define-se o periodograma, ele é definido utilizando a tdf do sinal x(n), isto é, fXN enxN fnj

vantagens: •o edp é facilmente calculado via DFT,

•basta estabelecer

•assim, não há necessidade do calculo do fac,

•simplicidade.

f k

paramétrico marcelo bj 4 k fNkqueem n N k j xxkxx enxN kPfP

Períodograma via DFT:

desvantagens: •requer o uso de janelas,

•resolução de frequência baixa (pois em geral N é relativamente pequeno).

kXN kPxx

paramétrico marcelo bj 5 estimação espectral clássica •a resolução espectral é baixa, exemplo,

HzfNeKHzF admitindo ouN f

•outro método: estimação espectral paramétrica paramétrico marcelo bj 6

vantagens: • alta resolução de frequência,

• em alguns casos não é necessário o uso de janelas,

desvantagem:

• requer o uso algoritmos sofisticados.

principais aplicações: •telefonia digital (vocoder),

•filtragem ótima,

estimação espectral paramétrica

paramétrico marcelo bj 7

Modelo de função do sistema racional zB zH

Na estimação espectral paramétrica o sinal é modelado por um sistema racional,

•admite-se que o processo x(n) possa ser modelado por um sistema linear de tempo discreto tal que:

•em que U(z) é a transformada z do sinal de excitação e H(z) é a função de transferência racional que representa o sinal (modelo de geração do sinal):

•A(z) e B(z) são polinômios em z, com coeficientes constantes.

paramétrico marcelo bj 8 h(n) u(n) x(n)

H(z) U(z) X(z) sinal excitação modelo do sinal

paramétrico marcelo bj 9

|H(z)|

paramétrico marcelo bj 10 modelo de função do sistema racional k k k k zB zH

•os coeficientes bk e ak são admitidos constantes, •Q representa o número de zeros da função,

•P é o número de polos ou a ordem do modelo,

•assim,

paramétrico marcelo bj 1 no domínio do tempo k k k knubknxanx

calculando a transformada z inversa de H(z) obtemos a representação do sinal no domínio do tempo,

•pela equação anterior,

zUzbzXza Q k k

•assim, correspondente equação de diferenças para o sistema será:

paramétrico marcelo bj 12 k k k knubknxanx

A equação acima nos mostra que x(n) consiste de duas partes:

•uma parte determinística dependente dos coeficientes ak e de valores passados do sinal,

• e uma parte, em geral aleatória, que depende dos coeficientes bk e de u(n),

•a análise no domínio do tempo determina os coeficientes ak, bk, etc, •no domínio da frequência temos a estimação espectral.

amostras passadas de x(n) sinal de excitação

paramétrico marcelo bj 13

Admitindo que x(n) seja um processo aleatório estacionário, como consequência u(n) também é estacionário,

•sabemos que,

•então espectro densidade de potência de x(n) será dado pelo edp de u(n) multiplicado por no domínio da frequência

paramétrico marcelo bj 14

em muitas situações práticas a sequência de entrada u(n) pode ser

nulo e variância,

admitida um sinal semelhante a um ruído branco, com valor médio como o espectro do ruído é plano,

substituindo na equação anterior (edp),

•como o edp da excitação é constante, então o edp do sinal é uma função racional no domínio da frequência,

•ele depende dos coeficientes ak e bk do modelo.

paramétrico marcelo bj 15

o modelo definido acima indica que o processo é gerado por um sistema linear com resposta em frequência que é uma razão de dois polinômios,

•os polos e zeros fornecem informações a respeito do sinal,

este modelo é conhecido como modelo ARMA(P,Q) : modelo autorregressivo com média móvel,

•em que P (número de polos) e Q (número de zeros) são as ordens do modelo.

observações zA zX

paramétrico marcelo bj 16

a partir do modelo ARMA, outros dois modelos são identificados:

• modelo de média móvel MA(Q) modelo somente com zeros (sistema FIR).

• modelo autorregressivo AR(P) modelo somente com polos (sistema IIR).

zA zX

paramétrico marcelo bj 17

No modelo de média móvel MA(Q): P = 0, isto é, A(z) = 1, assim: )()()( zUzBzX k k knubnx 0

No modelo de autoregressivo AR(P): Q = 0, isto é, B(z) = 1, assim:

zA zX nuknxanx P

paramétrico marcelo bj 18

Predição linear - modelo autoregressivo

O problema da predição linear consiste em estimar (ou predizer) uma amostra não observada (instante atual) x(n), baseando-se em um

{ x(n-1),, x(n-P) },

conjunto de amostras observadas (instantes passados) do sinal, isto é,

x(n) é estimada com base em P amostras anteriores do sinal.

Define-se então o preditor linear como uma combinação linear das P amostras anteriores do sinal, isto é:

kP knxaPnxanxanx

o sobrescrito “chapéu” indica amostra está sendo estimada, ela não é exata.

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•os coeficientes ak são admitidos constantes

•o sinal negativo é utilizado por conveniência no equacionamento,

•as amostras passadas, x(n-1),, x(n-P), não formam uma base

para x(n),

•assim, existe uma diferença entre a estimativa e o valor correto da amostra. Esta diferença é chamada de erro de predição, ou resíduo.

kP knxaPnxanxanx

paramétrico marcelo bj 20

O erro de predição é definido como a diferença entre as amostras original e estimada. Assim:

k k knxanxnxnxne 1

rearranjando a equação acima tem-se:

neknxanx P

observe que a equação acima é idêntica à equação do modelo AR, basta substituir e(n) por u(n),

podemos afirmar que os coeficientes ótimos da predição são os parâmetros do modelo AR,

estes coeficientes ak são determinados pela minimização da potência do erro de predição.

paramétrico marcelo bj 21

Determinação dos coeficientes ak

Para que o erro seja mínimo, este deve ser ortogonal aos valores do sinal { x(n-k) } que entram na predição. Assim:

Desenvolvendo tem-se que:

Pklkrakr P l xxlxx

Wiener-Hopf

rxx(k) é a função de autocorrelação do sinal,

a equação acima é chamada de equação de Wiener-Hopf ou de Yule-Walker.

paramétrico marcelo bj 2 r r rPrPr

Prrr Prrr x x x x

Na forma matricial:

A potência mínima do erro será:

xxkxx* MIN

Admitindo que o erro apresente características de um ruído branco tem-se:

MINxx fA paramétrico marcelo bj 23 exemplo:

paramétrico marcelo bj 24

Métodos para a estimação espectral AR

Para a solução das equações de Wiener-Hopf é necessário conhecer a matriz de autocorrelação do processo.

Em geral ela não está disponível.

tamanho finito: { x(0), x(1),, x(N-1) }.

Na prática o que se tem disponível é uma observação dos dados com

A função de autocorrelação deve ser estimada.

Serão apresentados dois dos métodos principais para a estimação dos parâmetros AR.

Método de autocorrelação e Método de covariância.

Eles diferem entre si pelo modo que é estimado o erro quadrático médio de predição.

Este por sua vez conduz a diferentes estimativas de rxx(k)

paramétrico marcelo bj 25

Método de autocorrelação

x(1),, x(N-1) :

Vamos admitir que se tem disponível N amostras de um processo: x(0), Define-se a seguinte estimativa do erro quadrático médio de predição:

Nn P k k knxanx

O erro mínimo pode ser obtido derivando a equação acima e igualando o resultado a zero.

Após alguma manipulação algébrica tem-se que:

Pkkrlkra x l xxl

paramétrico marcelo bj 26 r r rPrPr

Prrr Prrr x x x x

A estimativa da função de autocorrelação é dada por:

PkknxnxN kr

O erro mínimo será dado por

Na forma matricial tem-se:

paramétrico marcelo bj 27

A matriz de autocorrelação é de Toeplitz, onde apresenta as seguintes propriedades:

É simétrica.

Os termos da diagonal principal são constantes.

Solução: algoritmo de Levinson.

Algoritmo de Levinson 1. Determine a função de autocorrelação

PkknxnxN kr

2. Dados iniciais:

x r a e

paramétrico marcelo bj 28

3. Estabeleça k = 2 e calcule:

k k l xxkxx ka kiikakaiaia lkrlakr ka

4. Recursão de Levinson:

6Se k = P + 1  FIM

5. Aumente a ordem do preditor k = k+1 Se k P VOLTE AO PASSO 4 paramétrico marcelo bj 29

Se o processo é realmente auto regressivo de ordem P então a(j) = 0 para j > P.

Se MIN = 0 então o processo consiste somente de senóides.

Não se recomenda o uso deste método quando se tem disponível poucas amostras do sinal.

Quando da utilização é vantajoso utilizar uma janela de dados tipo hamming ou uma outra qualquer diferente da retangular.

No matlab tem-se as seguintes funções: • lpc.m

• levinson.m

• prony.m

paramétrico marcelo bj 30

Método de covariância

amostras de um processo: x(0), x(1),, x(N-1) :

Como anteriormente, vamos admitir também que se tem disponível N A estimativa do erro quadrático médio de predição é dada por:

Pn P k k knxanx

Seguindo o mesmo procedimento anterior tem-se que:

c c

PPcPrPc

Pccc Pccc x x x x

paramétrico marcelo bj 31

cxx(j,k) é conhecida como matriz de covariância do sinal tal que:

Pkjknxjnx PN kjc k xxkxxMIN kcac 1

O erro mínimo será dado por

Note que a diferença em relação ao método anterior está no estabelecimento dos limites da somatória.

Neste caso a matriz de covariância é simétrica, mas os elementos ao longo da diagonal principal não são iguais.

Um método eficiente para resolver o sistema é utilizar a decomposição de Cholesky, que será visto a seguir.

paramétrico marcelo bj 32

Algoritmo de Cholesky 1. Determine a função de covariância

2. Faça:

Pjijnxinx PN jic

Decomposição da matriz de covariância em uma matriz triangular inferior tal que: C = VVT

3. Estabeleça i = 1 4. Calcule:

Piijkjvkivjic iiv ijv

paramétrico marcelo bj 3

5. Estabeleça i = i + 1 6. Calcule:

x kiviiciiv

7. TESTE: se i < P então volte ao passo 4. Caso contrário:

8. Calcule os valores intermediários:

Pie v c yonde kykivic iiv iy k x

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9. Calcule os valores ak

PPke PPv

Py aonde akjvky kkv a kj jk

10. Calcule o erro mínimo de predição:

k kxxMIN kcac 1

1. Fim

OBSERVAÇÕES: Método bom para sinais com componentes senoidais.

Mais lento do que o método anterior.

paramétrico marcelo bj 35

Apêndice exemplos

paramétrico marcelo bj 36 tom senoidal frequência de amostragem: fa = 11025 ordem da análise: M = 4

40 Autocorrelação

40 Covariância

paramétrico marcelo bj 37 três tons senoidais frequência de amostragem: fa = 11025 ordem da análise: M = 10 N = 40

50 Autocorrelação

50 Covariância

paramétrico marcelo bj 38 três tons senoidais frequência de amostragem: fa = 11025 ordem da análise: M = 10 N = 150

50 Autocorrelação

50 Covariância

paramétrico marcelo bj 39 sinal de voz frequência de amostragem: fa = 11025 ordem da análise: M = 10

50 Autocorrelação

50 Covariância

paramétrico marcelo bj 40

Interferência – 60 Hz frequência de amostragem: fa = 1000 ordem da análise: M = 12

40 Autocorrelação

60 Covariância

paramétrico marcelo bj 41

Interferência – 60 Hz - DFT paramétrico marcelo bj 42 algumas aplicações

Controle etc.

Voz Imagem Geofísicos Biológicos Etc.

Wiener Kalman

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