Aplicação do integral duplo

ANÁLISE MATEMÁTICA I

DUPLO CÁLCULO DE ÁREA e VOLUME

Estudantes:
Elias Arlindo Zeca

Docente:

Heggies Raul Staera Dr. Evaristo Nhassengo

Agradecimento	1
Capítulo 1. Prefácio e Objectivos	2
1.1 PRÉFACIO	2
2 Fundamentação Teórica	4
2.1 Integração	4
2.1.1 Integrais Duplos	4
2.1.1.3 Mudança de variáveis em integrais duplos	8
2.2 Aplicação do Integral Duplo	1
2.2.1 Calculo de área de Superficie	1
2.2.2 Cálculo de Volume	12
2.2.3 Interpretação Quando o Integrando é uma Função Densidade	13
2.2.4 Interpretação como Centro de Massa	14
3 Conclusão	17
4 Referências Bibliograficas	18
5 Índice Remissivo	19

INDICE 6 APÊNDICE .............................................................................................................................. 20

Agradecimento

Por este meio o grupo quer antes agradecer aos colegas que directa ou indirectamente ajudaram na compreesão e análise de alguns problemas relacionados a este tema, e ao docente da cadeira de Análise Matemática I que nos acompanha passo a passo para a compreenção desta disciplina, és que a sua postura serviu-nos de inspiração no método de investigação deste trabalho cujo insetivo é que não faltou neste caminho cheio de agruras, e quanto aos leitores desejamos boa leitura e bom trabalho.

Capítulo 1. Prefácio e Objectivos

1.1 PRÉFACIO

Este é um compendiolo relacionado com aplicação do integral duplo que tem como subtopicos Soma de Rieman, integrais iteradas,integrais sobre algumas regiões, integrais curvilineos, e suas condições necessarias e suficiente, também constam alguns exemplos para melhor interpretação e compreeção.

1.2 Objectivos do Tema

Objectivo Geral O presente tema tem como objectivo geral:

Estudar as aplicações do integral duplo

Objectivos específicos:

Considerando esta unidade um pequeno resumo do que é integral duplo no mundo científico em particular Análise Matemática I, no final o leitor deverá ser capaz de;

Ter a minima noção de integral duplo para cálculo de área e volume; Dominar e utilizar este conteúdo na resolução de problemas relacionados com integral duplo; Saber trabalhar com mudanças de coordenadas em particular as polares.

2 Fundamentação Teórica

2.1 Integração

Em 1910, Gomes Teixeira definia Cálculo Integral da seguinte forma: Chama-se Cálculo Integral o ramo da Analyse que tem por fim procurar as funções quando são dadas as suas derivadas.

As funções procuradas chamam-se integrales e o processo que se emprega para as achar chama-se integração. Os conceitos de integral e de integral definido foram estudados na disciplina de Análise Matemática I. No Cálculo integral de funções de uma variável é definido o integral de uma função continua sobre o intervalo de integração [a; b] como o limite da soma de Riemann.

Neste capítulo estendemos esta ideia, para definir o integral de funções contínuas de duas e três variáveis sobre uma região limitada R no plano. As aplicações dos integrais múltiplos incluem a determinação da áreia, volume, massa em uma variedade mais ampla de que podemos lhe dar na integração de funções de uma variável.Vamos agora estudar a integração e aplicacação de funções reais de duas variáveis e a integração.

2.1.1 Integrais Duplos

Designamos por integrais duplos os integrais de funções reais de duas variáveis. Primeiramente vamos definir o conceito de um integral de uma função real de duas variáveis definida num rectângulo de ℝ2

2.1.1.1 Integrais Duplas Sobre Regiões Retangulares

Seja z = f (x, y) uma função real limitada em uma região retangular R = [a,b]×[c, d]. Inicialmente, vamos considerar uma partição regular (ou uniforme) de R , em subretângulos, conforme a figura abaixo:

, com i, j= 0,

, n − 1 e

uma soma de Riemann de f sobre R :

com ΔΑ = ΔxΔy e , um ponto qualquer de um sub-retângulo de R .

A integral dupla de f (x,y) sobre R , denotada por ∬ ( , ) , é dada por

único.

Observação 1: Dizemos que = f (x,y) é uma função limitada em D ⊂ 2 se existe uma constante real positiva M tal que│f (x, y)│≤ M, ∀ (x, y) ∈ D

Observação 2: Se a integral de = f (x,y) sobre uma região R existe, então a função é dita integrável sobre R .

Observação 3: Toda função contínua numa região R é integrável sobre R .

Observação 4: Se a região R é a união de duas regiões disjuntas 1 e 2 então:

Observação 5: A observação anterior pode ser estendida para um número arbitrário (finito) de regiões.

Como f (x, y) é contínua em R , então é integrável sobre essa região. Vamos considerar uma partição regular de R tal que Δx = Δy = 1

. Pela definição dada em 1.2.1, temos:

limite acima independe da escolha de ( , ) nos sub-retângulos da partição.

Assim:

ou seja

Como lim

Obtemos

2.1.1.2 Integrais Iteradas

Assim como na integração de uma variável, calcular a integral de funções de duas variareis usando a definição pode também não ser simples. Todavia para facilitar os nossos cálculos daremos o conceito de integrais iteradas. Suponha que f seja uma função de duas variáveis que é integrável no retângulo = [ ; ]×[ ; ] . Usaremos a notação = [ ; ]×[ ; ] .

Se agora integramos a função A com à variável x de x=a a y=b, obteremos

A integral do lado direito acima é chamada integral iterada. Em geral, os colchetes sãos omitidos. Assim,

Significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de a até b. Da mesma forma, a integral iterada

Por outro lado

2.1.1.3 Mudança de variáveis em integrais duplos

Na teoria do integral simples ( de funções de uma variável) foi apresentado o chamado método de integração por substituição, que permite calcular integrais mais ou menos complicados, transformando-os em outros mais simples. No caso do integral duplo existe um resultado semelhante a este, que irá transformar um integral da forma, ∬( , ) onde D é uma região do plano XOY, num integral duplo ∬ ( , ) , onde T é a nova região no plano UOV.

Há que notar que, neste caso, terão que existir duas funções ∅1 ∅2, que relacionem (x,y) com (u,v), isto é, terá que existir uma função vectorial ∅=(∅1,∅2) de ℝ2 em ℝ2 definida por:

Estas duas equações definem portanto uma função que transforma um ponto (u; v) do plano UOV , num ponto (x; y) do plano XOY . Em certas condições é possível resolver o sistema acima em ordem a u e v, o que permite escrevê-lo sob a forma:

Suponha-se que as funções ∅1 ∅2 são continuas e de classe 1 em T e que aplicação

(∅1,∅2) de T em D é bijectiva. Então, se o jacobiano (isto é, o determinante da matriz jacobiana)

desta transformação nunca se anula no interior da região T, pode provar-se que é válida a seguinte igualdade, designada por fórmula de mudança de variáveis em integrais duplos:

2.1.1.4 Um caso especial: coordenadas polares

Sejam ( ; ) as coordenadas cartesianas de um ponto P qualquer do plano . Estas coordenadas podem ser obtidas em função da distância do ponto P à origem do referencial e do ângulo que o vector de posição do ponto faz com a parte positiva do eixo . Atendendo à figura ao abaixo. conclui-se então que:

e

cos

As coordenadas ( , ) dizem-se as coordenadas polares do ponto P de coordenadas cartesianas (x; y) e fornecem uma forma alternativa de representar a posição desse ponto.

Que representa a distância dum ponto de coordenadas (x; y) à origem, será sempre um número não negativo. Se > 0 e o ângulo pertencer ao intervalo [0; 2 [, a cada ponto de coordenadas cartesianas (x;y) corresponderá um único par ( , ) bem determinado e vice-versa, isto é, a transformação acima é bijectiva. Visto que o jacobiano é;

Assim:

Resolução:

0 2.2 Aplicação do Integral Duplo

2.2.1 Calculo de área de Superficie

Teorema:

Determinamos a área de um tipo especial de superficie uma superficie de revolução por métodos de cálculo de uma única variável. Calculamos aqui a área de uma superficie cuja equação é dado por:

z = f(x,y) o gráfico de uma função de duas variaveis. Seja S a superficie com equação z = f(x,y) tem derivadas parciais contínuas.

Que pode ser escrita da seguinte formula:

Exemplo 1.6- Determine a área de superfície = 2+2 que está acima da região triangular T no plano xy com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).

2.2.2 Cálculo de Volume

Seja z = f (x, y) ≥ 0 contínua em R = [a,b]×[c, d] . Seja , i = 1,..., n , a área da subregião do particionamento de R . Seja = ( , ) volume de cada prisma de altura

( , ) área da base . O volume aproximado do sólido delimitado superiormente por f (x, y) inferiormente pela região R é:

Exemplo 1: Calcular o volume do prisma triangular limitado superiormente por f (x, y) = 1− y e inferiormente pela região retangular R = [0,1]×[0,1] .

O volume aproximado, em unidades de volume, é dado por:

Observamos que a figura indica que o volume deve ser a metade do volume do cubo

com lado 1u.c

Pode-se ainda usar a aplicação do cálculo integral para calcular a massa, carga eléctrica, centro de massa e momento de inércia.

2.2.3 Interpretação Quando o Integrando é uma Função Densidade

Uma função de duas variáveis f (x, y) pode representar, por exemplo, a densidade de uma população por unidade de área ou a densidade de massa de uma placa. A integral dupla

∬ ( , ) representará, nesses casos, a população total ou a massa total da região

R

Exemplo 1: Se a densidade por unidade de área de uma população de bactérias sobre a região R =

essa região

[a,b]×[c,d] é f (x, y) = x + 4y em cada posição (x, y) ∈ R , calcular a população total sobre Basta calcularmos:

2.2.4 Interpretação como Centro de Massa

O centro de massa, de uma lâmina cuja medida da densidade de área é ρ(x, y) e cuja medida da massa é:

sendo

De forma simplificada, podemos dizer que o centro de massa ou centro de gravidade é o ponto de aplicação do peso de um corpo, ou seja, é “o ponto de equilíbrio de um sistema”.

Exemplo 1: Seja uma lâmina retangular de largura a = 2 u.c e altura b =1u.c. Se um sistema de coordenadas retangulares é disposto como mostramos na figura, determinar as coordenadas do centro de massa dessa lâmina sabendo que a densidade de área é ρ(x,y) = x cos (y) ua. Considerando R = [0,2]×[0,1], temos que a massa da lâmina é:

As coordenadas do centro de massa são:

3 Conclusão

Tendo chegado ao fim deste compendíolo O grupo chegou a concluir o seguinte: integral duplo tem muita aplicação em varias partes da engenharia, também conclui-mos que, para as cadeiras que se seguem como Termodinamica, mecanica dos fluidos e Fisica I, precisa-se ter noção de integral duplo e operar com cada espécie de integral duplo.

4 Referências Bibliograficas

JUDICE, Edson Durão – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS . 1ª Edição . Belo Horizonte . PUC/M.G . 1987

GONÇALVES, Míriam Buss e FLEMMING, Diva Marília – CÁLCULO B : Funções de Várias Variáveis. 1ª Edição. São Paulo . Editora Makron . 1999

Stewart, James Calculo, volume 2/ James Stewart

A.Chakrabarti, B.N. Mandal Applied Singular Integral Equations, Copyright reserved, New York, 2011

5 Índice Remissivo

Agradecimento, 1 APÊNDICE, 20 Aplicação do Integral Duplo, 1

Calculo de área de Superficie, 1

Cálculo de Volume, 12 Conclusao, 17 Conclusão, 17

F Fundamentação Teórica, 4

Indice Remissivo, 19 Integração, 4 Integrais Duplos, 4

Integrais Iteradas, 7 Interpretação como Centro de

Massa, 14

Interpretação Quando o Integrando é uma Função

Densidade, 13

Mudança de variáveis em integrais duplos, 8

O Objectivos Gerais, 3

P PRÉFACIO, 2

R Referências Bibliograficas, 18

Um caso especial: coordenadas polares, 9

6 APÊNDICE

Simbolo	Significado Exemplo
1. ∈	𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝐴 ∈𝐵
1. ≠	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴≠𝐵;
2. ∪	𝑢𝑛𝑖𝑎𝑜 𝐴∪𝐵;
3. >	𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 3>2;
4. <	𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2<3;
5. ∀	𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 ∈ ℝ;
∫	𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥;
6. ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎	∑𝑥𝑛𝑛

Simbologia (Sinais ou simbolos usados neste compêndio) =1;

7. ∧	𝑒 𝐴 𝑒 𝐵;
8. ⊂	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐴⊂𝐵;
9. ±	𝑚𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 +𝐴 𝑜𝑢−𝐴;

13. 𝜃	𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑜 "𝑇𝑒𝑡𝑎"
14. 𝜌	𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑜 "𝑅ó"
15. 𝐴(𝑆)	𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
16. 𝐽∅	𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜