O Guia Completo para Quem Não É C.D.F. – Cálculo

(Parte 1 de 5)

w.altabooks.com.br ISBN 978-85-7608-747-2

Passe em cálculo com boas notas!

É claro que você não é bobo. Há um monte de coisas em que você é bom — mas com certeza cálculo não é uma delas. Bastam alguns probleminhas cheios de fórmulas para você se dar conta de que chegou ao seu limite matemático...

Busque ajuda nas páginas de O Guia Completo para Quem Não É C.D.F. — Cálculo e entenda todos os conceitos que confundem você. Neste livro, você encontra:

♦ Uma seção de revisão abrangente que vai prepará-lo para enfrentar o cálculo.

♦ Explicações sensatas sobre equações diferenciais, sequências e séries.

♦ Um glossário muito útil que define termos matemáticos em uma linguagem amigável para os mortais.

W. Michael Kelley é um professor de cálculo contemplado com prêmio e autor de seis livros de matemática. Kelley foi premiado pelo

Conselho de Professores de Matemática da University of Maryland, sendo reconhecido como um professor de matemática notável, além de ter sido nomeado “o professor mais popular” por quatro anos consecutivos em sua escola. Também foi fundador e é o editor do site calculus-help.com.

Cálculo Tradução da 2ª Edição

W. Michael Kelley

O Guia Completo para Quem Não É C.D.F

. Cálculo

Não tema mais o cálculo.

♦ Recapitule os pré-requisitos do cálculo: álgebra e trigonometria.

♦ Explore o reino dos limites e continuidade.

♦ Domine as técnicas básicas para derivadas: regra da potência, do produto, do quociente e da cadeia.

♦ Encontre equações de linhas tangentes.

♦ Descubra a relação entre as funções e suas derivadas.

♦ Calcule áreas sob uma curva e entre duas curvas.

♦ Desvende os mistérios das séries de potência, de Taylor e de Maclaurin.

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T radução da 2ª Edição

“Você não encontrará companhia mais amigável como complemento para o seu livro mais rigoroso.”

— Danica McKellar, atriz, bacharel em Matemática Pura com menção honrosa Summa Cum Laude pela University of California

Entenda facilmente as aulas com explicações infalíveis e diversos problemas para praticar

Sobre a Segunda Edição

Acredite ou não, você tem em suas mãos uma raridade, um livro cuja segunda edição é substancialmente diferente da primeira. Eu não o culparia por ser cético em relação a essa afirmação, já que novas edições de livros acadêmicos são lançadas o tempo todo e, quando comparamos as versões, as únicas diferenças óbvias são as promessas ousadas na capa: “Edição novinha em folha! Totalmente mais informativa do que a edição passada, com a garantia de não deixar ninguém tomar bomba em cálculo!”.

Este livro não é assim. A mudança mais óbvia é a adição de um novo capítulo – Capítulo 25, “Teste Final”. Basicamente, o capítulo traz pelo menos um exercício prático extra ligado a cada um dos problemas já explicitados no decorrer do livro (nos quadros “Você Tem Problemas”). Portanto, você tem agora o dobro de exercícios práticos para se tornar um perito em cálculo.

Também revisei os diagramas do livro. As publicações sobre matemática mudaram significativamente em poucos anos, desde o lançamento da primeira edição. Naquela época, eu fiz os gráficos e as ilustrações em um papel e tive a esperança de que um artista gráfico pudesse entender o que eu tentava comunicar. Hoje em dia, eu mesmo posso criar as ilustrações eletronicamente, garantindo a sua precisão e confiabilidade. Pode me chamar de chato, mas eu decidi refazer quase 75% das ilustrações originais, tornando cada uma delas mais clara e precisa.

Falando em clareza, eu reli cuidadosamente todo o conteúdo e o editei com rigor. Ainda que a primeira edição tenha vendido muito bem, foi um dos primeiros livros que escrevi, e precisava de melhorias e reparos. Por exemplo, nunca me senti completamente seguro a respeito das sessões sobre regra da cadeia e substituição u na primeira edição; pareciam desajeitadas e muito resumidas. Tive a oportunidade de reconsiderá-las nesta edição e deixá-las do jeito que sempre quis. Grande parte das outras sessões também sofreu “cirurgias plásticas” leves e moderadas em extensões menores. (Mas não deixei cicatrizes, fui bem delicado.)

Enfim, esta é uma segunda edição da qual me orgulho, e espero que você a considere útil em sua pesquisa no campo do cálculo. Sinta-se à vontade para se fazer ouvir através do meu site (w.calculus-help.com) via e-mail, seja lá qual for a sua opinião. A opinião dos leitores teve papel fundamental na reforma deste livro, e estou ansioso para escutar o que você tem a dizer.

Seu colega da matemática,

W. Michael Kelley.

Sobre o autor

W. Michael Kelley é um professor de matemática ganhador de prêmios do condado de Calvert, Maryland. Ele se formou em matemática no St. Mary’s College em 1994 com dois objetivos em mente: (1) tornar a matemática algo mais fácil para todos que cruzassem o seu caminho, e (2) aprender a se comunicar com guaxinins e se infiltrar em sua estrutura social complexa. Como os remédios para resfriado e gripe foram acabando, ele decidiu se ater ao primeiro objetivo apenas.

Durante seus sete anos como professor do Ensino Médio, ele recebeu muitas honras e foi reconhecido como professor notável por inúmeras organizações, inclusive pelo Conselho de Professores de Matemática de Maryland. Porém, ele deu mais valor para a votação dos alunos: a de professor favorito a cada ano que ensinava cálculo. Ou eles adoravam seu senso de humor excêntrico ou o fato de ele passar menos lição de casa às sextas-feiras.

Kelley também lecionou em universidades, em alguns cursos de cálculo. Na verdade, um de seus alunos lhe deu de presente uma camiseta com a fórmula quadrática, para agradecê-lo por ter ensinado aquela fórmula aos alunos por meio de uma música que ele havia escrito. Até hoje ele não sabe em que ocasião deve usar essa camiseta, mas achou essa atitude muito gentil.

Ele também mantém o site w.calculus-help.com, que tem sido elogiado por muitos, inclusive pela Associação Educacional Nacional e pelo Conselho Nacional de Professores de Matemática. O site começou como uma fonte para exercícios e ferramentas de cálculo. Ele posta um novo problema a cada semana para ajudar aqueles que têm de lutar contra o monstro cálculo. Se gostar deste livro ou tiver qualquer coisa a dizer sobre ele, mande um e-mail para Michael pelo site.

Michael escreveu a primeira edição deste livro em 2001, e logo se tornou um best-seller da série no exterior, mesmo sendo o segundo livro dele. Cinco anos depois, já havia escrito mais seis livros, e não parou por aí.

Cálculo

Tradução da 2ª Edição por W. Michael Kelley

Rua Viúva Cláudio, 291 – Bairro Industrial do Jacaré

CEP: 20970-031 – Rio de Janeiro – Tels.: 21 3278-8069/8419 Fax: 21 3277-1253 w.altabooks.com.br – e-mail: altabooks@altabooks.com.br w.facebook.com/altabooks – w.twitter.com/alta_books

Translated from original The Complete Idiot’s Guide to Calculus © 2006 by W. Michael Kelley. ISBN 978-1-59257-471-1. This translation is published and sold by permission Peguin Group, the owner of all rights to publish and sell the same. PORTUGUESE language edition published by Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli, Copyright © 2013 by Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli.

Todos os direitos reservados e protegidos por Lei. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida.

Erratas: No site da editora relatamos, com a devida correção, qualquer erro encontrado em nossos livros. Procure pelo título do livro.

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Impresso no Brasil Vedada, nos termos da lei, a reprodução total ou parcial deste livro

O Guia Completo para Quem Não É C.D.F. — Cálculo, Tradução da 2a Edição Copyright © 2013 da Starlin Alta Editora e Consultoria Eireli. ISBN: 978-85-7608-747-2

Produção Editorial Editora Alta Books

Gerência Editorial Anderson Vieira

Supervisão de Texto Jaciara Lima

Supervisão de Qualidade Editorial Sergio Luiz de Souza

Supervisão Gráfica & Editorial Angel Cabeza

Conselho de Qualidade Editorial Anderson Vieira Angel Cabeza Jaciara Lima Marco Aurélio Silva Natália Gonçalves Sergio Luiz de Souza

Editoria de Séries Claudia Braga Thiê Alves

Equipe de Design Bruna Serrano Iuri Santos

Equipe Editorial Brenda Ramalho Cristiane Santos Daniel Siqueira Danilo Moura Evellyn Pacheco Juliana de Paulo Juliana Larissa Xavier Kellen Aires Licia Oliveira Livia Brazil Marcelo Vieira Milena Souza Paulo Camerino Pedro Sá

Vanessa Gomes Vinicius Damasceno

Tradução Melina Castro

Revisão Gramatical Carla Ayres Patricia Chaves

Revisão Técnica

Paulo Sérgio Costa Lino Mestre em Matemática Pura Universidade Federal de São Carlos

(UFSCar)

Diagramação Lúcia Quaresma

Marketing e Promoção Daniel Schilklaper marketing@altabooks.com.br

1ª Edição, 2013

Sumário Resumido

Parte 1: As Raízes do Cálculo 1

Todos já ouviram falar sobre cálculo, mas a maioria das pessoas não o reconheceria se topasse com ele por aí.

Espane as teias de aranha e remova as traças que saltam para fora do seu livro de álgebra quando você o abre.

Antes de se encontrar com o Senhor do cálculo, você terá de se encontrar com seus capangas.

É hora de entender exatamente, e de uma vez por todas, o que significa cosseno e por que ele não tem nada a ver com empréstimos.

Parte 2: Assentando as Bases do Cálculo 53

Aprenda a aferir as intenções de uma função – será que elas são sempre honestas?

Como devo organizar o meu estudo em casa? Deveria levar uma hora!

Hora de conhecer o limite mais famoso de todos cara a cara. Faça um penteado ou algo assim.

Parte 3: A Derivada 9

Todas as regras e leis das derivadas em um delicioso banquete self-service!

As tarefas que você teria de fazer diariamente se sua madrasta má fosse professora de matemática.

viO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo

Como colocar uma curva em seu gráfico, ou por que os puritanos não curtiam cálculo.

Introdução à posição, velocidade, aceleração e à gata Amendoim!

Parte 4: A Integral 155

Se você puder encontrar a área de um retângulo, você está no jogo.

Assim que estiver craque em dirigir, é hora de dar marcha à ré e ver o que acontece.

Você pode fazer tanto com algo tão simples como integrais definidos que vai se sentir um Bill Gates da matemática.

Você terá de integrar frações até cansar, então é bom que se entenda com elas já.

Quem diria que gráficos de rotação tridimensionais seriam tão divertidos?

Parte 5: Equações Diferenciais, Sequências, Séries e Saudações 219

Exatamente como as equações normais, mas com um recheio cremoso.

O que poderia ser mais divertido do que desenhar um monte de segmentos lineares pequenininhos? viiSumário Resumido

Se uma lista infinitamente grande de números não for empolgante o bastante, tente somá-los!

Será que você vai mesmo chegar a algum lugar com aquela lista enorme?

Quanto o seu cérebro absorveu? Você está craque em cálculo? Prepare-se para testar seus conhecimentos.

Apêndices

A Respostas de “Você Tem Problemas” 293 B Glossário 319 Índice 331

Sumário

Parte 1: As Raízes do Cálculo 1

Qual É o Propósito do Cálculo?	4
Determinando a Inclinação das Curvas	4
Calculando a Área de Formas Bizarras	4
Justificando Velhas Fórmulas	5
Calculando Raízes Complicadas	5
Visualizando Gráficos	5
Encontrando o Valor Médio de uma Função	5
Calculando Valores Ótimos	6
Quem É o Responsável por Isso?	7
Influências do Passado	7
Newton vs. Leibniz	9
Será que Vou Aprender Isso um Dia?	1

Andando na Linha: Equações Lineares	14
Formas Comuns de Equações Lineares	14
Calculando a Inclinação	16
Você Tem o Poder: Regras Exponenciais	17
A Separação É Difícil: Fatoração de Polinômios	19
Máximo Divisor Comum	20
Modelos Especiais de Fatoração	20
Resolvendo Equações Quadráticas	21
Primeiro Método: Fatoração	21
Segundo Método: Completando o Quadrado	2
Terceiro Método: A Fórmula Quadrática	23

Como Se Comporta uma Função?	26
Simetria Funcional	28
Gráficos para Saber de Cor	30
Construindo uma Função Inversa	31
Equações Paramétricas	3
O que É um Parâmetro?	3
Conversão para a Forma Retangular	3

xO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo

Tornando-se Repetitivo: Funções Periódicas	38
Introdução às Funções Trigonométricas	39
Seno (y = sen x)	39
Cosseno (y = cos x)	39
Tangente (y = tan x)	40
Cotangente (y = cot x)	41
Secante (y = sec x)	42
Cossecante (escrita como y = csc x)	43
Qual É o Seno: O Círculo Unitário	4
Identidades Incrivelmente Importantes	46
Identidades Pitagóricas	47
Fórmulas de Duplo Ângulo	49
Resolvendo Equações Trigonométricas	50

Parte 2: Assentando as Bases do Cálculo 53

O que É Limite?	56
Pode Alguma Coisa Ser Nada?	57
Limites Laterais	58
Quando Existe um Limite?	60
Quando Não Existe um Limite?	61

Os Principais Métodos	6
Método da Substituição	6
Método da Fatoração	67
Método da Conjugação	68
E Se Nada Funcionar?	70
Limites e Infinito	70
Assíntotas Verticais	71
Assíntotas Horizontais	72
Teoremas Especiais de Limite	74

O que É Continuidade?	78
A Definição Matemática de Continuidade	79
Tipos de Descontinuidade	81
Descontinuidade por Saltos	81
Ponto de Descontinuidade	83
Descontinuidade Infinita/Essencial	84
Descontinuidade Removível e Não-removível	85
Teorema do Valor Intermediário	87

xiSumário

Quando uma Secante Se Torna uma Tangente	90
Querida, Encolhi o ∆x	91
Aplicando o Quociente Diferencial	95
O Quociente Diferencial Alternativo	96

Parte 3: A Derivada 9

Quando Existe uma Derivada?	102
Descontinuidade	102
Vértice no Gráfico	102
Tangente Vertical	103
Técnicas de Derivadas Básicas	104
A Regra da Potência	104
A Regra do Produto	105
A Regra do Quociente	106
A Regra da Cadeia	107
Taxas de Variação	109
Derivadas Trigonométricas	1

Encontrando Equações de Tangentes	114
Diferenciação Implícita	115
Diferenciando uma Função Inversa	117
Derivadas de Funções Paramétricas	120

Extremos Relativos	124
Encontrando Números Críticos	124
Classificando Extremos	125
O Gráfico de Sinal	127
O Teorema do Valor Extremo	129
Determinando a Concavidade	131
Outro Gráfico de Sinal	132
Teste da Segunda Derivada	133

Equação de Posição	136
Velocidade	138
Aceleração	139
Movimento de Projéteis	140

Avaliando os Limites: Regra de L’Hôpital	144
Outros Teoremas de Existência	145

Teorema do Valor Médio	146
Teorema de Rolle	148
Taxas Relacionadas	148
Otimização	151

xiiO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo

Parte 4: A Integral 155

Somas de Riemann	158
Soma à Direita e à Esquerda	159
Soma Média	161
Regra do Trapézio	162
Regra de Simpson	165

A Regra da Potência para Integração	168
Integração de Funções Trigonométricas	170
Teorema Fundamental do Cálculo	171
Parte I: Áreas e Integrais Relacionadas	171
Parte I: Derivadas e Integrais São Opostas	172
Substituição U	174

Calculando a Área entre Duas Curvas	178
O Teorema do Valor Médio para Integração	180
Uma Interpretação Geométrica	180
Teorema do Valor Médio	182
Encontrando Distâncias Percorridas	183
Funções de Acumulação	185

Separação	188
Mágica da Substituição U e Divisão Longa	189
Integrando com Funções Trigonométricas Inversas	191
Completando o Quadrado	193
Selecionando o Método Correto	194

Integração por Partes	198
O Método da Força Bruta	198
O Método Tabular	200
Integração por Frações Parciais	201
Integrais Impróprias	203

xiiiSumário

Volume de Sólidos Rotacionais	208
O Método do Disco	208
O Método da Rosquinha	211
O Método das Cascas Cilíndricas	213
Comprimento do Arco	215
Equações Retangulares	215
Equações Paramétricas	216

Parte 5: Equações Diferenciais, Sequências,

Separação de Variáveis	2
Tipos de Solução	223
Família de Soluções	224
Soluções Específicas	224
Crescimento e Declínio Exponencial	225

Aproximação Linear	232
Campos de Direção	234
Método de Euler	237

O que É uma Sequência?	244
Convergência da Sequência	244
O que É uma Série?	245
Série Básica Infinita	247
Série Geométrica	248
Série p	249
Série Telescópica	249

Que Teste Você Usa?	252
Teste da Integral	252
Teste da Comparação	253
Teste da Comparação do Limite	255
Teste da Razão	257
Teste da Raiz	258
Séries com Termos Negativos	259
Teste da Série Alternada	259
Convergência Absoluta	261

xivO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo

Séries de Potência	264
Raio de Convergência	264
Intervalo de Convergência	267
Série de Maclaurin	268
Série de Taylor	272

Apêndices

A Respostas de “Você Tem Problemas” 293 B Glossário 319 Índice 331

Prefácio

Essa é nova: um livro de cálculo que não se leva muito a sério! Posso dizer honestamente que, em todos os meus anos de especialista em matemática, nunca tinha visto um livro como este antes.

Meu nome é Danica McKellar. Sou, antes de tudo, atriz e diretora de cinema (provavelmente mais reconhecida pelo meu papel como Winnie Cooper, em Anos Incríveis), mas há algum tempo decidi me desviar disso por quatro anos e me especializei em matemática na University of California. Durante esses anos, também fui coautora de um novo teorema de matemática e me tornei uma estudiosa reconhecida. O que posso dizer? Eu adoro matemática!

matemática do jeito que eu amo

ou de qualquer outro jeito. Este livro não

Mas vamos encarar! Você não comprou este livro porque adora matemática. E não há nada de errado com isso. Na verdade, a maioria das pessoas não ama foi feito para os especialistas da área que querem cada aspecto técnico de cada conceito explicado a eles com riqueza de detalhes.

Foi feito para cada especialista em biologia que precisa passar por dois semestres de cálculo para cumprir as exigências da Universidade. Ou para cada aluno que sempre fugiu de fórmulas matemáticas como o diabo foge da cruz, mas que de repente tem de lidar com um livro inteiro cheio delas. Conheci um estudante que migrou de química para inglês para evitar cálculo!

Kelley fornece explicações que lhe dão uma ideia geral dos conceitos de cálculo e então introduz ferramentas específicas (e truques!) para resolver alguns dos problemas rotineiros que você pode encontrar nas aulas de cálculo.

Pode respirar aliviado. O conteúdo deste livro não vai exigir de você o que outros livros de cálculo exigem. Achei as explicações dadas aqui amigáveis e casuais em geral. As definições não são sofisticadamente acuradas, mas trazem consigo a essência do que afinal o seu livro de estudo tentava descrever com suas palavras matemáticas difíceis. Na verdade, não considero este um livro de estudo de forma alguma. Aqui você vai encontrar uma conversa em forma de texto que segurará a sua mão, fará piadas e o apresentará aos tópicos mais importantes necessários para suas atuais aulas de cálculo. O tom amigável aqui utilizado é uma ruptura com a natureza clínica dos outros livros de matemática que já li.

E há também as ricas metáforas de Michael Kelley que comparam funções lineares com as partes do corpo do Frankenstein. Bem, você vai entender quando chegar lá.

Meu conselho é fazer a leitura desses capítulos como uma introdução inofensiva aos conceitos básicos do cálculo e, depois, a título de comparação, revisitar o seu livro de estudo. As explicações do seu livro de estudo irão fazer mais sentido depois da leitura deste livro, e você se sentirá muito mais confiante e qualificado para apreciar os detalhes específicos exigidos em classe. Então, você poderá controlar o nível de detalhamento e crítica que você quer, em termos de precisão matemática, para o seu entendimento consultando seu livro de estudos, aquele que não é amigável.

xviO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo

Parabéns por perseguir o nobre objetivo do cálculo! E parabéns por ser pró-ativo e comprar este livro. Você não encontrará companhia mais amigável como suplemento para o seu livro escolar mais rigoroso.

Boa sorte!

Danica McKellar Atriz, Bacharel em Matemática Pura com menção honrosa Summa Cum Laude pela University of California.

Introdução

Sejamos honestos. A maioria das pessoas quer aprender cálculo tanto quanto quer levar um coice de uma mula no rosto. Geralmente, elas precisam fazer um curso porque é exigido ou então porque estão muito perto da mula, nessa ordem. Cálculo é maçante, chato e nem mesmo lhe compra nada em seu aniversário.

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