O Guia Completo para Quem Não É C.D.F. – Cálculo

(Parte 2 de 5)

Não é que você não tenha tentado entender cálculo; você até teve a ideia brilhante de tentar e leu o seu livro escolar. Foi uma piada e tanto. Você teria mais chances de ganhar o prêmio Nobel de Química do que entender uma palavra sequer. Talvez você até tenha pedido ajuda a algum amigo seu, mas parecia que você estava tentando se comunicar com um índio. Vocês simplesmente não falavam a mesma língua.

Você gostaria que alguém lhe explicasse as coisas em uma linguagem acessível, mas lá no fundo sabe que o dialeto do cálculo vai voltar para assombrá-lo. Você tem de entendê-lo para ser aprovado no curso e acha que não irá conseguir. Quer saber? Você conseguirá, sim.

As coisas nunca são tão ruins quanto parecem. A mula não queria te dar aquele coice e, além disso, eu conheço um ótimo cirurgião plástico. Também sei como cálculo é aterrorizante. A única coisa mais assustadora do que aprender cálculo é ensinar cálculo para 35 adolescentes em uma sala abafada e lotada antes do horário do almoço. Eu lutei na linha de frente dessas trincheiras e sobrevivi para contar. Posso até contar a história de um jeito que intrigue, divirta e ensine algo a você.

Vamos viajar juntos por um tempo. Deixe-me guiá-lo pela selva do cálculo. Já estive lá antes e conheço o caminho de volta. Meu objetivo é ensinar tudo o que você precisa para sobreviver por conta própria. Vou explicar tudo em uma linguagem simples e compreensível. Sempre que resolver um problema, vou mostrar cada passo (até mesmo os mais simples), e vou dizer exatamente o que estou fazendo e o porquê. Depois, você poderá praticar sozinho, sem a minha orientação. Mas não tenha medo: eu lhe darei todas as respostas no final do livro.

Não vou mentir para você. Nem todos os problemas serão tão fáceis, mas no fim você vai solucionar todos eles. Você só precisa de um empurrãozinho na direção certa e de alguém que entenda como se sente. Com todas essas coisas no lugar, você não encontrará problemas para dar um pontapé nisso tudo. Bem, desculpe. Talvez tenha escolhido mal as palavras.

Como Este Livro Está Organizado

Este livro é dividido em cinco partes.

Na Parte 1, “As raízes do cálculo”, você vai aprender por que o cálculo é útil e quais habilidades ele adiciona ao seu repertório matemático. Você também vai aprender um pouco de sua história, que é permeada por bastante controvérsia. Mas como eu sou um cara da Matemática e não da História, vou entrar no assunto sem delongas. No entanto, antes de começarmos a discutir os conceitos de cálculo, xviiiO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo vamos passar um tempo valioso revisando alguns conhecimentos de álgebra e trigonometria que são pré-requisitos.

Na Parte 2, “Assentando as bases do cálculo”, você vai colocar a mão na massa. É o momento pelo qual esteve esperando. Certo? A maioria das pessoas considera cálculo como o estudo das derivadas e integrais, mas nós não vamos falar sobre isso até a Parte 3. E olhe que não estou te atiçando, hein?! Primeiro, temos que falar sobre limites e continuidade. São conceitos fundamentais que constituem o alicerce do cálculo e, sem eles, as derivadas e integrais não existiriam.

Finalmente, vamos encontrar um dos maiores astros na Parte 3, “A derivada”. O nome diz tudo. Todas as suas perguntas serão respondidas, inclusive o que é uma derivada, como ela é encontrada, e o que devemos fazer quando damos de cara com uma delas em um beco escuro, à noite (corra!). Você também vai adquirir um monte de habilidades baseadas nas derivadas: construir gráficos de funções que você nunca viu, calcular com que rapidez as variáveis mudam em determinadas funções e encontrar limites que já foram quase impossíveis de calcular. Mas, calma, tem mais! Como algo chamado “gráfico de sinais” pode ser nada mais do que um monte de sinais?

Na Parte 4, “A integral”, você vai encontrar outra grande personalidade do cálculo. Integração é quase a mesma coisa que diferenciação, mas ao contrário. Intrigado? Você vai aprender como a área sob uma função se relaciona com sua derivada inversa, chamada “antiderivada”. Também é hora de introduzir o Teorema Fundamental do Cálculo, que descreve de uma vez por todas como essas coisas malucas se relacionam. Você vai descobrir que integrais são um pouco mais desagradáveis do que derivadas, já que exigem o aprendizado de mais técnicas – e algumas delas são extremamente interessantes e (será possível?) até um pouco divertidas!

Agora que já conhecemos as personagens principais deste drama matemático, o que estaria faltando? Na Parte 5, “Equações, sequências e séries diferenciais e saudações”, você vai conhecer o elenco de apoio. Embora seus papéis sejam menores, o cálculo não seria cálculo sem eles. Você vai fazer experimentos com equações diferenciais usando campo de direção e o método de Euler, duas técnicas do cálculo que se tornaram populares na última década (e você pensando que o cálculo era a mesma coisa desde o início dos tempos...). Finalmente, você vai brincar com séries infinitas; elas parecem quebra-cabeças com os quais você brincava no jardim da infância (“Você sabe dizer qual é o próximo número nesse padrão de sequência?”). Depois de tudo isso, você fará uma prova final que abordará todo o conteúdo do livro e praticará ainda mais!

Extras

Como professor, eu vivia saindo pelas tangentes – tudo o que eu falava me lembrava de outra coisa. Esses fragmentos paralelos também são abordados neste livro. Aí vai um guia para os quadros que você vai encontrar pelas próximas páginas.

xixIntrodução

Embora eu vá adverti-lo sobre as armadilhas e perigos encontrados pelo livro, os alertas destes quadros merecem atenção especial. Pense neles como caveiras e ossos pintados em plaquinhas pelo seu caminho. Dar atenção a eles pode poupar horas de frustração.

Alerta do Kelley

Você Tem Problemas

A matemática não é um esporte para espectadores. Depois de discutirmos um tópico, explicarei como trabalhar com certo tipo de problema, e então você terá de tentar por você mesmo. Os problemas que você vai encontrar aqui serão bem parecidos com os que eu mencionarei nos capítulos, mas será a sua vez de brilhar. Ainda que as respostas estejam todas no Anexo A, você só deve checá-las para confirmar seus resultados.

Essas notinhas, dicas e pensamentos vão dar assistência, ensinar e divertir. Elas sempre adicionam algo ao tópico em questão, seja por meio de conselhos, conhecimento ou apenas algo para amenizar um pouco o clima.

Ponto Crítico

O Cálculo é cheio de palavras e frases que soam loucas e “nerds”. Para se tornar o Nerd Rei ou Rainha da matemática, você terá de entender o que elas significam.

Agradecimentos

Muitas pessoas me apoiaram, encorajaram e aturaram enquanto estava engajado na tarefa desafiadora de escrever um livro e, então, reescrevê-lo para a segunda edição. Embora eu não possa agradecer a todos aqueles que me ajudaram, gostaria de mencionar o nome de alguns aqui. Primeiramente, agradeço às pessoas que tornaram este livro possível: Jessica Faust (por me direcionar e me fazer dar vida a este “filhote”), Mike Sanders (que me mostrou o caminho da luz, e ainda o faz), Nancy Lewis (a única pessoa no mundo inteiro que realmente teve de ler tudo isto aqui) e Sue Strickland (que fez a revisão técnica do livro original, já que ela me apoia em tudo o que faço e gosta de dizer aos seus alunos da faculdade a quem recomenda o meu livro, “Eu sei. Eu estou nele”).

Em um escopo mais pessoal, preciso agradecer a alguns.

Lisa, que torna a minha vida melhor e mais fácil simplesmente sendo ela mesma. Poucas pessoas teriam concordado em se casar comigo, sem contar em viver rodeada de três pessoinhas que um dia entenderão que a melhor forma de dizer xxO Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Cálculo

“estou com fome” não é gritando até se acabarem. Obrigado por sua paciência e bondade, e por sempre me dizer onde guardar a centrífuga de salada; Deus sabe que eu nunca vou aprender.

Aos meus filhos Nick, Erin e Sara. Apesar de todos os meus erros, eu os amo muito – e o melhor de tudo é que vocês já sabem disso e me amam também.

Não posso me esquecer de minha mãe, que trabalhava 200 horas por semana quando as coisas não iam bem em nossa casa, só para que vivêssemos melhor.

Dave, um grande amigo. Aprendi muito com você e, sem desmerecer isso, mais do que qualquer outra coisa, eu também detesto passar camisas.

Também aos amigos que sempre estiveram por perto: Rob (Nickels) Hasltead, Chris (“Cobra”) Sarampote e Matt (“O profeta”) Halnon, três caras com quem sempre dividi apartamentos esquálidos e muitos bons jogos de pôquer. Por conveniência, seus apelidos de pôquer foram mencionados aqui e, por motivos embaraçosos, o meu não.

Finalmente, agradeço ao Joe, que sempre me perguntava como o livro estava indo, e por ter me convencido de que ele seria um grande sucesso.

Agradecimento Especial à Revisora Técnica da Obra Original

Este livro foi revisado por Susan Strickland, uma especialista que checou várias vezes a precisão do que você está prestes a aprender aqui. O editor gostaria de estender nossos agradecimentos a Sue, que nos ajudou a garantir que o conteúdo deste livro fosse entendido corretamente por seus leitores.

Susan Strickland se formou bacharel em Matemática na Saint Mary’s College, de Maryland, em 1979, tornou-se Mestre em matemática na Lehigh University, em Bethlehem, Pensilvânia, em 1982, e fez cursos de graduação em Educação Matemática na American University de Washington, de 1989 a 1991. Foi professora assistente de matemática e supervisionou professores de matemática em formação na Saint Mary’s College, Maryland, de 1983 a 2001. No verão de 2001, ela aceitou o cargo de professora de matemática na College of Southern Maryland, onde espera trabalhar até se aposentar! Seus interesses incluem ensino de matemática para os matematicofóbicos, treinamento para professores de matemática, e resolução de jogos e enigmas envolvendo matemática.

Marca Registrada

Todos os termos mencionados neste livro que se referem a marcas registradas ou serviços foram apropriadamente escritos em letras maiúsculas. As editoras não se responsabilizam pela exatidão dessas informações. O uso de termos neste livro não deve ser visto como ameaça à validade de qualquer marca ou serviço registrado.

As Raízes do Cálculo1Parte

Você já ouviu falar de Newton, certo? Bem, Sir Isaac Newton é um dos dois homens responsáveis pelo cálculo em nossas vidas e em nossos currículos escolares. Na verdade, ele é apenas um dos homens que deveria carregar a culpa nas costas. A história do cálculo é longa, mas seus conceitos antecedem o homem. Antes de começarmos a estudar cálculo, vamos dar uma breve olhada em sua história e desenvolvimento para responder à pergunta mais repetida: “Por que eu tenho que aprender isso?”.

Depois, é só partir para a prática das habilidades pré-requisito em matemática. Você não tentaria erguer 130 kg sem se aquecer antes, tentaria? Uma revisão rápida de equações lineares, fatores, equações quadráticas, propriedades das funções e trigonometria será essencial. Mesmo que você ache que já está pronto para mergulhar no cálculo, recomendo essa revisão. Aposto que você já se esqueceu de algumas coisas das quais precisará depois, então resolva isso agora!

Afinal, o que É Cálculo?

Neste Capítulo Por que cálculo é útil

A palavra “cálculo” pode significar uma dessas duas coisas: um método computacional ou um agregado mineral que se forma em órgãos ocos do corpo humano, como as pedras no rim – também chamados cálculos renais. Ambas as definições acabam por traduzir a dor e a agonia dos estudantes ao tentarem entender o assunto. É mais do que controverso sugerir que matemática não é um dos assuntos mais populares da educação contemporânea. Na verdade, o cálculo detém o posto de rei no reino do mal da matemática, principalmente pelos “matematicofóbicos”. Representa um objetivo inalcançável, um sopro de confusão e complicações, e poucos se aventuram em seu reino, a não ser quando impulsionados por certas forças, como crescimento no trabalho ou exigência curricular. Ninguém além do professor de cálculo sabe o quanto as pessoas temem essa matéria.

Quando as pessoas descobrem que fui professor de cálculo, sentem-se na obrigação de dizer, com muitos detalhes, como exatamente eles se saíram no ensino médio com a matemática, em que assunto eles tiveram sucesso e por que eles acham que cálculo é a encarnação do mal. Meus barbeiros formam a maioria desse grupo de pessoas, não me pergunte por quê. Todos os colegas da barbearia

1Capítulo

4Parte 1: As Raízes do Cálculo me conheceram como um estranho careca com um conhecimento enigmático e desconcertante de matemática.

Na maioria das vezes, os medos em relação ao cálculo são injustificáveis. O cálculo é apenas um passo à frente da álgebra do ensino médio e nada mais. Seguir continuamente uma série de etapas, exatamente como você faz com os problemas de álgebra, resolve a maior parte dos problemas de cálculo. Não nos interprete mal – cálculo nem sempre é algo fácil, e os problemas nem sempre são triviais, nem tão imponentes quanto parecem. O cálculo é uma ferramenta fascinante que admite inúmeras aplicações na vida real e, para vocês que gostam de novelas, carrega consigo uma das maiores controvérsias da história acerca de seus créditos.

Qual É o Propósito do Cálculo?

Cálculo é uma ferramenta versátil e útil, e não algo usado para apenas um propósito. Muitas de suas aplicações são atualizações diretas do mundo da álgebra – meios diferentes para atingir fins similares, mas em um número imensamente maior de situações. Ainda que seja impossível listar todos os usos do cálculo, a lista a seguir representa alguns pontos interessantes acerca das coisas que você terá aprendido ao final deste livro.

Determinando a Inclinação das Curvas

Um dos tópicos iniciais da álgebra é a determinação da inclinação de uma linha – um valor numérico que descreve o quanto essa linha é inclinada. O cálculo nos oferece um método bem mais generalizado para determinar inclinações. É possível definir não apenas o nível da inclinação de uma linha, mas de qualquer inclinação em qualquer momento. Pode não parecer útil em um primeiro momento, mas se trata de uma das aplicações matemáticas mais convenientes de que se tem notícia.

Calculando a Área de Formas Bizarras

Sem cálculo, é difícil determinar a área de formas além daquelas cujas fórmulas você aprendeu em geometria. É claro que você pode ser “profissa” em encontrar a área de um círculo, quadrado ou retângulo, mas como você faria para calcular a área de uma forma como a que aparece na Figura 1.1?

O que nós chamamos de cálculo é chamado pelos acadêmicos de “o cálculo”. Essa distinção é feita justamente pelo fato de que qualquer método de computação pode ser chamado de cálculo e porque descobertas do cálculo moderno são muito importantes. Pessoalmente, eu acho a terminologia um pouco pretensiosa e não a uso. Nunca alguém me perguntou “de que cálculo você está falando?”.

Ponto Crítico

5Capítulo 1: Afinal, o que É Cálculo?

Justificando Velhas Fórmulas

Houve uma época em sua vida matemática em que você confiava nas fórmulas. Às vezes ainda precisamos fazer isso, mas cálculo nos dá a oportunidade de finalmente verificar algumas daquelas velhas fórmulas, especialmente as de geometria. Sempre lhe disseram que o volume de um cone era um terço do volume de um cilindro de mesmo raio , mas, através de um simples cálculo de rotação linear tridimensional, podemos, enfim, provar isso (aliás, o processo é mesmo muito simples, ainda que não pareça assim agora).

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