Sistemas de numeração-pfr-jose-jamal
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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Elaborado por: José Jamal Munguambe, professor de Electrónica Digital
ESCOLA NACIONAL DE AERONÁUTICA
2018
Existem diversas formas de representar quantidades, que se designam por sistemas de numeração. A cada sistema esta associada uma base que se define como o número de símbolos distintos usados para representar as quantidades, segundo António Gil Padilla em seu livro intitulado electrónica digital pagina 125.
O sistema vulgarmente usado no nosso dia-a-dia é o sistema decimal associado a esse, a base 10, em virtude de se usarem dez símbolos distintos na sua representação, (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9). Neste sistema um número pode decompor-se em potências de 10, assim por exemplo o número 217 pode decompor-se de seguinte modo:
217 = 200 + 10 + 7 = 2*100 +1*10 +7*1
É fácil deduzir-se um numero N10 = abcd pode decompor-se em:
N10 = a*103+b*102+c*101+d*100
Dum modo geral,
N10=ab…d,ef..z = a*10n+b*10n-1+ …+d*100+e*10-1+f*10-2+…+z*10-m
Isto é aplicável a qualquer sistema de numeração de base B.
Uma vez que o sistema decimal (base 10) é bem conhecido por nós, nos cingiremos nos seguintes sistemas:
Sistema Binário (base 2);
Sistema octal (base 8) e
Sistema hexadecimal (base 16).
Objectivos
No final deste capítulo, o estudante devera desenvolver os seguintes objectivos:
Conhecer os diversos sistemas de numeração;
Fazer as conversões entre os diversos sistemas;
Saber fazer a aritmética em qualquer sistema de numeração.
No sistema binário, utilizam-se apenas dois símbolos, 0 e 1, normalmente designa-se por sistema de numeração de base 2 ou binário natural. Cada dígito binário designa-se por bit.
Esses dois sistemas são muito práticos no tratamento de informação digital, na qual é costume utilizarem-se números de oito ou dezasseis elementos.
O sistema octal possui 8 dígitos como mencionado anteriormente (0-1-2-3-4-5-6-7) e o sistema hexadecimal possui dezasseis caracteres (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-A-B-C-D-E-F).
Conversão entre os diversos sistemas de numeração
Conversão decimal binaria para números inteiros
Existem varias formas de converter numerais decimais em binário, far-se-á abordagem de apenas dois algoritmos, o de divisões sucessivas e o método de pesos (potências) ou ainda de subtrações sucessivas.
Pelo método de divisões sucessivas
O algoritmo consiste em dividir sucessivamente o número decimal por dois até que o quociente seja zero, sem se esquecer que trata-se duma divisão inteira. A cada divisão deverá se conservar o resto da divisão e no final escrever os restos desde o ultimo ao primeiro, a representação dos restos desde o ultimo ao primeiro representa o correspondente binário. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.1 Converter 1210 em binário pelo algoritmo de divisões sucessivas.
Dividindo sucessivamente o decimal (12) por dois (2) tem-se:
Conforme ilustra o exemplo1.1, o divisor é sempre 2 que vem da base do sistema destino (binário), os valores circundados representam o resto de cada divisão e estes quando lido de baixo para cima conforme mostra a ceta, indicam o valor correspondente binário, ou seja,
1210 =11002.
É importante observar que trata-se duma divisão inteira e não é obrigatório que as divisões terminem quando o quociente for 0 (zero), pode-se interromper as divisões a partir do momento em que o quociente é 1 porém, não se deve esquecer de tomar o mesmo 1 como o bit mais significativo, (MSB).
Exemplo 1.2. Pelo método de divisões sucessivas obter o correspondente binário do decimal 20.
Das divisões acima, verifica-se que o ultimo quociente é 1 e o mesmo foi considerado como ultimo resto (bit mais significativo), portanto como resposta tem-se 2010 =101002.
Exemplo 1.3.
3510 =(?)2
Dividindo sucessivamente o 35 por 2 tem-se:
Resposta: 3510 = 1000112
Exemplo 1.4
5210 = (?)2
Resposta: 5210 = 1101002
Bem, dá para verificar que quanto maior for o valor a converter mais trabalho temos em fazer as divisões dai a necessidade duma forma menos trabalhosa para converter.
Método de subtrações sucessivas
Para melhor aplicação desse método, é de vital importância conhecer potências de base 2. A tabela abaixo ilustra algumas potências que serão necessárias na resolução de alguns exercícios.
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 210 | 211 | 212 | 213 | 214 |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 | 8192 | 16384 |
Tabela 1 Potências de base 2
O algoritmo de conversão de decimal para binário usando o método de subtrações consiste em subtrair do valor a ser convertido uma potência de base 2 menor ou igual ao valor até que o resultado seja igual a zero, se o valor a subtrair é menor, deve ser a potencia imediatamente inferior ao valor que se pretende converter, e/ou representar o valor a ser convertido em somas de potencia de 2. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.5
7810 = (?)2
78 = 64 +8 + 4 + 2
Representando todas potências, pode-se escrever:
78 = 64*1 +32*0 +16*0 +8*1 +4*1 +2*1 +1*0
Os valores (0 e 1) a multiplicar representam o correspondente binário, ou seja, 7810 = 10011102.
O mesmo algoritmo é valido fazendo subtrações, como se sabe da matemática que a operação mais (+) inclui a operação (-), deixamos essa tarefa ao critério do estudante com o auxílio do professor na sala de aulas.
Exemplo 1.6.
50010 = (?)2
Representando o 500 por soma de potências de base dois tem-se:
500 = 256*1 +128*1 +64*1 +32*1 +16*1 +8*0 +4*1 +2*0 +1*0
Resposta: 50010 = 1111101002
Conversão decimal- binaria para números fracionários
Uma vez que para a conversão decimal-binaria de números inteiros faz-se divisões sucessivas por dois, para números fracionários a conversão consiste em fazer multiplicações sucessivas por dois até que o produto seja zero, caso seja finito. Há casos em que as multiplicações se tornam repetitivas e não se alcança o zero, nesses casos deve-se achar o momento em que as multiplicações são quase repetitivas e parar, é de salientar que o resultado nesses casos em que não se alcança o zero é um valor aproximado. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.7.
0.7510 =(?)2
Multiplicando sucessivamente o valor decimal (0.75) por dois (2) e conservar a parte inteira tem-se:
Da primeira multiplicação, tem-se como produto 1.5, conserva-se a parte inteira (retira-se a parte inteira, coloca-se de lado e no lugar substitui-se por 0), a próxima multiplicação é 0.5*2, uma vez que retirou-se a parte inteira e o produto é 1.0, conservando a parte inteira as próximas multiplicações seriam 0.0*2 cujo produto é zero. O equivalente binário é formado pelas partes inteiras conservadas lidas desde o primeiro valor conservado ao último conforme indica a ceta no exemplo 1.7, ou seja, 0.7510 = 0.112.
A parte inteira dum número fracionário é convertido conforme visto no ponto 3.3.1, no caso concreto do exemplo em causa a parte inteira é 0 e o seu equivalente binário é 0.
Exemplo 1.7
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